FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [ABC]. O ponto B pertence à circunferência, o ponto A tem coordenadas 0, e o ponto C pertence ao eixo Ox e tem a mesma abcissa do ponto B. é a amplitude, em radianos, do ângulo DOB, com,. (0).. Diga, justificando adequadamente, qual das expressões seguintes representa a área do triângulo [ABC], em função de. sen cos sen (A) A (B) A cos sen sen (C) A cos (D) A cos Área ABC Temos Sendo Bcos, sen AC CB, temos Ccos, 0 Como A, 0, temos Portanto,, portanto CB y y sen 0 sen AC x x cos cos C A cossen sen Área ABC A cos Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página /6 Versão B C

2 (5).. Determine a inclinação da reta AB, com aproximação às décimas do grau, quando. Queremos descobrir a amplitude do ângulo positivo que a reta AB faz com o sentido positivo do eixo Ox. A inclinação de uma reta está relacionada com o seu declive m através da fórmula m tan. Para temos B cos, sen 0, yb ya Como A, 0, podemos calcular o declive da reta AB usando a fórmula m x x v Outro processo: Determinar AB e usar a fórmula m Assim, m 0 0 Como m tan, sendo a inclinação da reta, temos tan Portanto, 6,º 6 v tan B 6, A. Na figura seguinte está representada parte de um plano ABC, em que A, B e C pertencem aos eixos coordenados. O plano ABC interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 6, o eixo Oy no ponto de ordenada -3 e o eixo Oz no ponto de cota. Seja P um ponto do plano ABC de abcissa a, com a 03,. (0).. Mostre que o plano ABC tem equação geral x y 3z 6 0. Para determinar o plano definido por três pontos temos de descobrir um vetor que seja perpendicular a dois vetores definidos por esses três pontos, que será o vetor normal do plano por eles formado. n a,b,c o vetor normal do plano; Assim, sendo: BA A B 6, 0, 0 0, 3, 0 6, 3, 0 ; BC C B 0, 0, 0, 3, 0 0, 3, ; n BA a,b,c 6, 3, 0 0 6a3b0 6a 3b Temos: n BC a,b,c 0, 3, 0 3bc 0 c 3b Portanto, o vetor normal do plano é da forma 3 3 Para b temos n,, 3 Como A 600,, é um ponto desse plano, temos d 0 d 6 a b 3 c b n b,b, b b,,, b 0. Assim, o plano ABC tem equação da forma x y 3z d 0 Portanto, a equação do plano é x y 3z 6 0 Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 (5).. Seja r a reta definida pelas equações cartesianas: x 0 3y z Estude a posição da reta r em relação ao plano ABC e determine, caso exista, a interseção da reta com o plano. Comecemos por determinar dois pontos da reta para descobrir um vetor diretor. Para x 0 e y 0 temos 0 O 000,, é um ponto da reta. z. Assim, Para x 0 e y temos z 3. Assim, 0 3 Portanto, r OR R O 0,, 3 O vetor normal do plano é n,, 3 R,, é outro ponto da reta. y z é um vetor diretor de r, ou notar que 3y z 3 Já podemos concluir que a reta não é perpendicular ao plano pois os vetores r e n não são colineares. Como r n , ( r não é perpendicular a n ) podemos concluir que a reta não é paralela ao plano. Note que r n r ABC. Ora, se não é paralela, então interseta o plano. Descubramos o ponto de interseção. P 0, k, 3 k, k. Como a reta passa na origem do referencial, os seus pontos são da forma 6 Substituindo na equação do plano temos 0 k33k 6 0 5k 6 k Assim, a reta e o plano intersetam-se no ponto I 0,, 3 0,, Outro processo: Resolver o sistema x 0 3y z x y 3z 6 0 (5).3. Determine a amplitude do ângulo, com aproximação às décimas do grau, que o plano ABC forma com o plano yoz. Temos de determinar o ângulo que o plano ABC forma com o plano de equação x 0. Sabemos que o ângulo de um plano com outro plano verifica a relação cos m, 0, 0 são os vetores normais dos planos ABC e yoz, respetivamente. Temos: n m,,,, n e 4 4 Portanto, cos e cos 74, m 0 0 Assim, o plano ABC faz um ângulo de 74,5º ( c.d.) com o plano yoz. nm n m 5, em que n,, 3 e (0).4. Diga, justificando, qual das equações seguintes representa um plano paralelo ao eixo Oz. (A) x3y (B) 3yz (C) x3z (D) x 3y 3z O eixo Oz é a reta de equações x 0 y 0 Notemos que r n r x 3y. Assim, um vetor diretor de Oz é, por exemplo, z 0, 0, tem vetor normal n, 3, 0, que é perpendicular a Oz 0, 0, z tem vetor normal n 03,,, que é perpendicular a Ox, 0, 0 z tem vetor normal n, 0, 3, que é perpendicular a Oy 0,, 0 tem vetor normal n, 3, 3 3y x 3 x 3y 3z, portanto Oz, portanto Ox, portanto Oy, que não é perpendicular a nenhum dos eixos coordenados. (0).5. Suponha que P se desloca no plano ABC de forma a ser sempre um vértice de um prisma quadrangular regular e em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados. V a a a. Mostre que o volume desse prisma é dado, em função de a, por 3 Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 3/6 Versão

4 Sabemos que V prisma Área da base altura Também sabemos que Pa, a,c, pois a base do prisma é um quadrado de lado a e a sua altura corresponde à cota c do ponto P. Como o ponto P pertence ao plano ABC vem a a 3c 6 0 3a 3c 6 0 3c6 3a c a Portanto, o volume do prisma é dado, em função de a, por V a c a a a a 3 c.q.m. 3. Considere o seguinte problema: Uma agência de viagens pretende organizar uma excursão para 400 pessoas que vão ver a final da Taça de Portugal em Futebol. Para o efeito terá de alugar autocarros a uma empresa que apresentou as seguintes condições: nesse dia dispõe de 8 autocarros de 50 lugares e 0 autocarros de 30 lugares; o aluguer de um autocarro de 50 lugares custa 800 euros e de um autocarro de 30 lugares custa 450 euros; no dia da excursão apenas tem disponíveis 5 motoristas. Quantos autocarros de cada tipo devem ser alugados de modo a minimizar o custo da viagem? (5) 3.. Numa pequena composição, justifique que o problema pode ser traduzido pelo sistema: 50x30y400 x y 5 0 x 8 0 y 0 Sendo: x o número de autocarros de 50 lugares y o número de autocarros de 30 lugares Como a empresa tem disponíveis, nesse dia, apenas 8 autocarros de 50 lugares sabemos que 0 x 8; Como a empresa tem disponíveis 0 autocarros de 30 lugares sabemos que 0 y 0 ; Como a empresa tem disponíveis, nesse dia, apenas 5 motoristas, o número de autocarros que a agência pode alugar não pode ultrapassar 5, daí a condição xy 5 ; Como há 400 pessoas para transportar, o número de lugares nos dois tipos de autocarros não pode ser inferior a 400, daí a condição 50x30 y 400 ; A conjunção (sistema) das 4 condições representa todas as soluções possíveis para o problema. (5) 3.. Represente geometricamente o sistema anterior e determine as coordenadas dos vértices da região admissível. Comecemos por determinar os pontos de interseção com os eixos coordenados: xy 5 50x30 y 400 x y x y x 0 e x 8 são retas verticais y 0 e y 0 são retas horizontais A região admissível corresponde ao quadrilátero ABCD. x 8 x 8 Coordenadas do ponto B: x y 5 y 7 y 0 y 0 Coordenadas do ponto C: x y 5 x 5 y 0 y 0 Coordenadas do ponto D: 5x3y 40 x 87 Os vértices da região admissível são: A,, B,, C 5, 0 e 0 D,. Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 4/6 Versão

5 (0) 3.3. Escreva a função objetivo e determine a solução ótima do problema. A função objetivo do problema é f x, y 800x 450 y Como a solução ótima corresponde, pelo menos, a um vértice da região admissível, determinemos o valor da função para cada vértice: f A f 8, f B f 8, f C f 5, f D f, O custo mínimo, de 600 euros, verifica-se no vértice D, 0. Portanto, a agência deve alugar autocarros de 50 lugares e 0 miniautocarros de 30 lugares. x 4. Considere a função real de variável real, f, definida por: f x x (0) 4.. Determine o domínio de f e indique, caso existam, as assíntotas verticais do seu gráfico. Temos Df x : x 0 \ As assíntotas verticais são os valores que anulam apenas o denominador. Como x não anula o numerador, pois 0, a reta de equação x é assíntota vertical. (5) 4.. Transforme a expressão de f na forma assíntotas não verticais do gráfico de f. c f x ax b e indique, caso existam, as x Como o grau do numerador é uma unidade superior ao grau do denominador, a função tem uma assíntota oblíqua. Para descobrir essa assíntota apliquemos o algoritmo da divisão. x 0x x x x x x x Portanto, x f x x x x (5) 4.3. Resolva, analiticamente, a condição f x x. Assim, a reta de equação yx é assíntota oblíqua do gráfico da função. Comecemos por reduzir a condição dada à forma 0 nx d x x x Temos: f x x x x 0 x x Zeros do numerador: x 3x 0 xx 3 0 x 0 x 3 x x x x x 0 Zeros do denominador: x 0 x Construamos uma tabela para estudar o sinal de cada termo da fração e o sinal do quociente x x 3x x x 3x x + 0 s.s. + 0 Pela análise da tabela temos x 3x 0 x em S, 0, 3 x 3x 0 x Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 5/6 Versão

6 (0) 4.4. Suponha agora que uma função g tem assíntotas x e y x. Seja h uma nova função definida por hx g x. Indique, justificando, quais das seguintes são as assíntotas do gráfico da função h. (A) x 3 e y x (B) x e y x (C) x e y x (D) x e yx O gráfico de g sofre duas translações. Portanto, mantém a sua forma original, mudando apenas de lugar. Como há uma translação de unidades para a esquerda (o x é mentiroso ), a assíntota vertical também se desloca unidades para a esquerda. Assim, passa de x para x. Quanto à assíntota oblíqua, também sofre um deslocamento de unidades para a esquerda e unidade para baixo, mantendo-se assim paralela à reta yx. Mas agora temos de ter cuidado, pois não se trata de uma reta horizontal. A nova assíntota passa a ser y x, quer dizer, yx De outra forma, usando o ponto da reta de abcissa, que ao deslocar-se unidades para a esquerda passa a abcissa 0. Ora, o ponto da reta em causa é 3, que se transforma em 0,, sendo precisamente este o ponto de interseção com Oy (ordenada na origem). Portanto, a assíntota oblíqua de h é yx. (5) 5. Responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. 5.A. Recorrendo às propriedades do produto escalar, prove que o ângulo inscrito numa semicircunferência de raio r (na figura, o ângulo ABC) é reto. Sugestão: Oriente os lados do ângulo como vetores e exprima-os como soma de dois vetores de norma r. Resolução: ver versão 5.B. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico. A e B são dois pontos do círculo trigonométrico, sendo B o simétrico de A em relação a Ox. C é o ponto de interseção do semieixo positivo Ox com o círculo trigonométrico. Sendo a amplitude do ângulo COA, recorrendo ao produto escalar dos vetores OA e OB, mostre que cos cos sen. Temos Acos,sen e Bcos, sen Assim, OA A O cos,sen e OB B O cos, sen A definição de produto escalar diz que OA OB OA OB cos OA, OB Como OA OB raio e OA,OB, temos OA OB cos cos (A) Por outro lado, como temos as coordenadas dos dois vetores, podemos calcular diretamente o produto escalar: OAOB cos,sen cos, sen cos sen (B) cos cos sen c.q.m. De (A) e (B) resulta BOM TRABALHO! Prof. José Tinoco Ficha de avaliação de Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão

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