Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na sua folha de respostas, o número de cada item e a letra que identifica a opção escolhida. π π, :tan.. Considere o conjunto A ( ) Qual dos seguintes poderá corresponder à representação em etensão do conjunto A? (A) (C) π π π π,, 4 (B) π π, 4 (D) π π, 4. Considere, num referencial ortonormado O, os pontos A(, 4), B(, ) e um ponto C pertencente ao eio das abcissas. Admita que o triângulo [ABC] é retângulo em A. Quais são as coordenadas do ponto C? (A) (, 0) (B) (, 0) (C) (, 0) (D) (4, 0). Considere, num referencial ortonormado do espaço, a reta r definida por: z Em qual das opções seguintes se apresentam as coordenadas de um ponto P e de um vetor diretor r da reta r? (A) (B) (C) (D) P 0, 6, e r (, 0, ) P 0, 6, e r (, 0, ) P, 6, e r ( 0, 6, ) P, 6, e r ( 0, 6, ) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

3 4. Na figura estão representados, em referencial ortonormado Oz: o ponto A de coordenadas (0, 0, ); z a superfície esférica de equação + + z 6 a circunferência que resulta da interseção dessa superfície esférica A com o plano de equação z 0. Um ponto P percorre essa circunferência, dando uma volta completa. Considere a função f que faz corresponder, à abcissa do ponto P, a distância de P a A. O P Qual das seguintes opções corresponde ao gráfico da função f? (A) (B) 4 O 4 O π (C) (D) 4 O 4 O π. Na figura está representada, num referencial O, parte do gráfico de uma função polinomial f de domínior. A função f tem apenas dois zeros: 4 e. Seja g a função definida por g( ) f ( ). Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função g? (A) ], 4] { } (B) [ 7, + [ (C) ], ] { } (D) [ 4, ] 4 O f Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

4 Grupo Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Na figura estão representados, num referencial ortonormado O: os pontos A(, 0) e B(, 0) ; uma circunferência de centro A e que passa por B; uma circunferência de centro B e que passa por A; o ponto D que se desloca sobre a circunferência de centro A sendo a amplitude, em radianos, do ângulo BAD, com D A O B C π, π ; o ponto C desloca-se sobre a circunferência de centro B de tal forma que se tem sempre a reta DC paralela à reta AB... Mostre que a área do trapézio [ABCD] é dada, em função de, por: ( ) 4sin ( cos ) A.. Determine o valor eato de A π.. Considere, num referencial ortonormado Oz, o plano α definido pela condição + z 0... Considere o ponto P(,, a), sendo a um certo número real. Sabe-se que a reta OP é paralela ao plano α, sendo O a origem do referencial. Determine o valor de a... Seja A o ponto de interseção do plano α com o eio O e B o simétrico de A relativamente ao plano Oz. Determine uma equação cartesiana do plano β, paralelo ao plano α e que passa pelo ponto B. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 4

5 . Considere a função g, de domínio \ R, definida por g( ) +... Determine as equações das assíntotas ao gráfico de g... Resolva analiticamente a condição g( ) +. Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalo de números reais... Na figura ao lado está representada, num referencial ortonormado O, parte do gráfico de uma função h, de domínio [, + [. O Determine o domínio da função h g. h F 4. Na figura está representado um octaedro regular [ABCDEF]. Sabe-se que: C o ponto G é o centro do octaedro; D G B AB a. E Mostre que a EF EG. A Cotações Grupo Grupo ( 0) Total 00 Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

6 . ( ) ( ) Proposta de resolução Grupo π π π kπ tan tan tan + kπ, k Z +, k Z 4 4 π π As soluções da equação no intervalo, são, e 4 7 Portanto, Resposta: (C) A π, π, π. 4 π π π (obtidas para {, 0, } k ).. O ponto C tem coordenadas do tipo (, 0 ), R. Como o triângulo [ABC] é retângulo em A, os vetores AB e AC são perpendiculares. Portanto, AB AC AB AC 0. AB B A (, ) (, 4) ( 4, ) AC C A (, 0) (, 4) (, 4) AB AC 0 4,, Então, C ( 4, 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Resposta: (D) z + z + z + r: Portanto, um ponto P e um vetor diretor r podem ser Resposta: (B) P 0, 6, e (, 0, ) r. 4. Sabemos que OP 4 (raio da superfície esférica) e OA (cota do ponto A). Pelo Teorema de Pitágoras: AP OP + OA AP 4 + AP, donde AP. As abcissas do ponto P pertencem ao intervalo [ 4, 4]. Assim, o gráfico da função f é um segmento de reta definido pela condição: 4 4 Resposta: (C) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 6

7 . Dg { R: f ( ) 0 } { R : 4 } { R : } ], ] { } Resposta: (C) Grupo.. AD AB Se π < π : DE DE sin sin DE sin AD AE AE cos cos AE cos AD A D C E O B DC EO AO AE cos 4cos ( ) ( ) Se π < < π: DE DE sin sin DE sin AD ( π ) AE AE cos cos AE cos AD ( π ) D π E A O B C DC EO AO + AE cos 4cos ( ) ( ) Área do trapézio [ ABCD] AB + DC DE + 4cos 4 4cos sin sin ( ) ( ) cos sin cos sin ( ) 4sin cos. Portanto, A( ) 4sin( cos) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 7

8 .. π π π A 4sin cos π π 4sin π cos π π π π π 4sin cos 4sin + cos Como a reta OP é paralela ao plano α, qualquer vetor com a direção da reta (e em particular OP ) e o vetor normal do plano n α são perpendiculares. u α (,, ) OP P O a a Como os vetores são perpendiculares, n α OP 0. ( ) ( ) (,, ) ( 0, 0, 0) (,, ) 7,,,, a 0 4+ a 0 a 7 a Logo,.. Ponto A: 7 a. + z 0 0 z z 0 A 0,, 0 Ponto B: 0 z 0 Como B é o simétrico do ponto A relativamente ao plano Oz, então tem as mesmas abcissa e cota e ordenada simétrica. Logo, Plano β: B 0,, 0. Por outro lado, sendo β paralelo a α, os seus vetores normais são colineares, pelo que um vetor,, e passa pelo ponto B, logo uma equação cartesiana do plano β é: n α normal ao plano β é ( ) ( 0) + ( z 0) z 0 + z + 0 Portanto, + z + 0 é uma equação cartesiana do plano β. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 8

9 .. Recorrendo à divisão inteira de polinómios: + + ( ) g( ) g Assim, e são as equações das assíntotas ao gráfico da função g... g( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) 0 Zeros de numerador: 0 Zeros de denominador: ( )( ) Tabela de sinais: ( )( + ) ( )( + ) n.d. + 0 n.d. + + Portanto, g( ),, +. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 9

10 { }.. : ( ) D D g D hg R g h + R: R \ [, + [ + R : + Vamos resolver a condição. ( ) Zeros do numerador: + 0 Zeros do denominador: 0 Construindo uma tabela de sinais, vem: n.d. + 0 Logo, + 0,. + Dhg R: R : <, Portanto,, D. h g 4. EF EG EF EC EF ( EF FC) + ( EF EF EF FC) + ( EF 0) a + a EG EC EC EF + FC EF AB a e EF FC pois se o octaedro é regular, [ ACFE] é um quadrado. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 0