TESTE GLOBAL 11.º ANO

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Victoria Marques de Miranda
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1 TESTE GLOBAL.º ANO NOME: N.º: TURMA: ANO LETIVO: / AVALIAÇÃO: PROFESSOR: ENC. EDUCAÇÃO: DURAÇÃO DO TESTE: 90 MINUTOS O teste é constituído por dois grupos. O Grupo I é constituído por itens de escolha múltipla e o Grupo II é constituído por itens de construção. GRUPO I Este grupo é constituído por itens de escolha múltipla. Para cada item, seleciona a opção correta. 3. Considera, num referencial o.n. Oxy, a reta r de equação y x. Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas,4. Qual é a equação reduzida da reta s? (A) yx. (C) (B) y x 6. (D) y x. 3 3 y x. Adaptado de Teste Intermédio de Matemática A,.º ano, Na figura estão representados dois vetores, AD e AE, de normas e, respetivamente. No segmento de reta AD está assinalado o ponto B e no segmento de reta AE está assinalado o ponto C. O triângulo ABC é retângulo e os comprimentos dos seus lados estão indicados na figura. Indica o valor do produto escalar AD AE. (A) 08 (B) 8 (C) 34 (D) 44 Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados.

2 3. Na figura está representada a circunferência trigonométrica e o triângulo OPR. O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no.º quadrante. O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo OPR é sempre isósceles. Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área do triângulo OPR, em função de? (A) sin cos (B) sin cos (C) sin cos cos sin (D) 4. Seja,. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo? (A) cos sin (B) cos sin (C)sin tan (D) sin tan Banco de Itens do Ensino Secundário, IAVE.. Seja f a função cujo gráfico da função derivada está representado na figura ao lado e seja g a função definida por g x x Qual é o valor de. f g? (A) 4 (B) 0 (C) 4 (D) 6 6. Considera a função f definida por f x Qual é o valor de lim x f x? x x. (A) 0 (B) (C) (D) Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados.

3 7. Seja g uma função de domínio. Sabe-se que a reta de equação yx é assíntota ao gráfico de g. Qual é o valor de g x lim g x x x x? (A) 0 (B) (C) 6 (D) Banco de Itens do Ensino Secundário, IAVE. 8. Relativamente a uma amostra de dados bivariada x, y, conhece-se a equação da reta de mínimos quadrados: y x 4. Sabe-se também que a correlação linear entre as variáveis x e y é forte. Qual dos seguintes valores pode corresponder ao coeficiente de correlação linear entre x e y? (A) 0, 96 (B) 0, (C) 0, (D) 0,96 GRUPO II Este grupo é constituído por itens de construção. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias. 9. Considera a função real de variável real f, definida por f x tan x 3 9. Indica o domínio e o contradomínio de f. 9. Determina uma expressão geral para os zeros de f. 9.3 Considera a função bijetiva g, restrição da função f ao intervalo expressão analítica da função g, função inversa de g.,. Apresenta uma Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 3

0. Na figura seguinte, estão representados em referencial ortonormado Oxy : a circunferência trigonométrica; os pontos A e C da circunferência, simétricos relativamente ao eixo Ox ; B,0 o ponto ; o

4 0. Na figura seguinte, estão representados em referencial ortonormado Oxy : a circunferência trigonométrica; os pontos A e C da circunferência, simétricos relativamente ao eixo Ox ; B,0 o ponto ; o ângulo ABC, de amplitude, com 0,. 0. Mostra que a área do triângulo ABC é dada pela seguinte expressão: A cos sin Na tua resolução, começa por justificar que AOD ˆ. 0. Sabe-se que, é tal que tan. Determina o valor exato de A.. Na figura está representado, em referencial ortonormado Oxyz, o cubo OPQRSTUV de aresta. O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial. Os vértices P, R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respetivamente. O triângulo escaleno MNQ é a interseção do cubo com o plano de equação 0x y 6z.. Escreve uma equação vetorial da reta que passa por U e é perpendicular ao plano.. Determina ˆ MQN. Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Sugestão: Começa por determina as coordenadas de M e N. Adaptado de Teste Intermédio de Matemática A,.º ano, 008. Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 4

. A partir de uma placa retangular pode construir-se uma caixa sem tampa cortando quadrados nos cantos, como se apresenta na figura, dobrando em seguida os retângulos laterais que constituirão as

5 . A partir de uma placa retangular pode construir-se uma caixa sem tampa cortando quadrados nos cantos, como se apresenta na figura, dobrando em seguida os retângulos laterais que constituirão as paredes da caixa. Pretende-se obter uma caixa com o maior volume possível, a partir de um retângulo com 8 m de comprimento e 4 m de largura. Determina a medida do lado dos quadrados que devem ser cortados nos cantos do retângulo. Apresenta o resultado arredondado às centésimas. Sugestão: Representa a medida que queremos determinar por x e começa por mostrar que a função que relaciona o volume da caixa, V, com o lado dos quadrados, x, é definida por x 3 V 4x 4x 3x. 3. Considera a sucessão de termo geral u n n n. 3. Prova, a partir da definição, que o limite da sucessão é. 3. Determina a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são valores aproximados de, a menos de 0,0. 4. Numa progressão aritmética, a soma do 6.º termo com o.º termo é igual a 90. Sabendo que o.º termo é igual à razão da progressão, determina a soma dos primeiros termos.. Seja f uma função real de variável real tal que o declive da reta tangente no ponto de abcissa 3 é igual a 4. Calcula o valor de lim x3 f x f x 9 3 Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados.

7 RESOLUÇÕES GRUPO I. O declive da reta s é ; As opções possíveis são, então, a (A) ou a (C). Substituindo x por, nas respetivas equações, verifica-se que a opção correta é a (A), pois 4. Opção correta: (A) 4 cos 44 Opção correta: (D). AD AE AD AE BAC ˆ 3. Decompondo o triângulo OPR em dois triângulos retângulos geometricamente iguais, OPQ e RPQ, em que o ponto Q tem a mesma abcissa de P, temos: A OQ QP A cos sin sin cos OPR OPQ Opção correta: (A) 4. Sendo,, tem-se cos 0, sin 0 e tan 0. Portanto, sin tan 0. Opção correta: (D) ;. g x f g f g g f 3 4 Opção correta: (C) 6. lim f x x 3 lim x 0 x x Opção correta: (C) Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 7

8 7. (*) g x g x lim g x x lim lim g x x. x x x x x (*) m ; g x lim x x lim g x x 0 lim g x x 0 lim g x x x x x Opção correta: (B) 8. Como o declive da reta de mínimos quadrados é negativo, o coeficiente de correlação linear tem de ser negativo; por outro lado, como a correlação linear é forte, das opções apresentadas só podemos considerar r 0,96. Opção correta: (A) GRUPO II 9. Df x : x k \ k, k 3. Df 9. f x 0 tan x 0 tan x 3 3 k x k, k x k, k x, k tan x y tan x y x arctan y x arctan y x arctan y 3 6 g x arctan x 6 Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 8

9 0. ˆ AC AOD A A ABC ABD BD DA OD DA cos sin 0. tan tan tan ; tan cos cos ; cos cos sin tan cos ;, cos sin A.. Um vetor diretor de uma reta perpendicular ao plano deve ser um vetor normal ao plano; portanto, podemos considerar o vetor de coordenadas 0,,6 ; o ponto U tem coordenadas,, ; logo, ( x, y, z),, k 0,,6, k. uma equação vetorial da reta é. Sabe-se que 0 y 6 y 3 M M, y,,0 y ; como M pertence ao plano, tem-se M M M ; portanto, obtemos M,3,. Analogamente se obtém,, N. MQN ˆ QM, QN ; ^ ^ QM QN cos QM, QN QM QN ; QM M Q tem coordenadas,3, 0 0,, ; tem coordenadas,, 0 3, 0, QN N Q ; Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 9

10 QM QN ; QM 0 9 ; QN ; Então, cos,, arccos ^ ^ QM QN QM QN.. 3 V x 8 x 4 x x 4x 4x 3x V x x 48x 3; V x 0 x 48x 3 0 x x 0,8 ; 4 0x x 0,8 m x 0 0,8 V ND 0 ND V ND Máx. ND 3. Queremos mostrar que 0, p : n, n p u n Seja 0, qualquer; Então: n n n n ; n n n n Logo, mostrámos que 0, p : n, n p u n, sendo a ordem p correspondente à parte inteira de. Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados. 0

11 3. n 0, 0 n 0 ; n 0, 0 Portanto, a partir do.º termo, inclusive, todos os termos da sucessão são valores aproximados de, a menos de 0,0 4. u r; u6 u r r r 6r ; u u r r r r ; u6 u 90 6r r 90 8r 90 r ; S u u f x f 3 f x f 3 f x f 3 4 lim lim lim lim f 3 4 x3 x 9 x3 x 3 x 3 x3 x 3 x3 x x x x x x x x x h x 3 3 x x x x x x x x x x x x x 4 48x 3 3 x 4 48x lim x x x h x lim x lim lim 48 x x x x x 4 x x FIM Raiz Editora, 07. Todos os direitos reservados.

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