FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 1
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- David Valgueiro Alencastre
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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 1.º Teste 11.º Ano de escolaridade Versão 1 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 08/11/0 Apresente o seu raciocínio de forma clara indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando para um resultado não é pedida uma aproximação pretende-se sempre o valor exato na sua forma mais simples. Nota: Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é constituído por duas partes Caderno 1: 50 minutos (é permitido o uso de calculadora) Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 1/7 Versão 1
2 Caderno 1: 50 minutos (é permitido o uso de calculadora) 1. No triângulo [ABC] da figura seguinte os ângulos internos têm amplitudes e. Conhecem-se também as medidas de dois lados: AB 7 e BC 5. (5) 1.1. Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) cos cos (B) sen sen (C) sen cos (D) cos cos Sabemos que portanto sen sen sen e cos cos cos (10) 1.. Determine a amplitude de com duas casas decimais para 5º. Pela lei dos seno temos: Pelo que sen sen 5. sen sen 5º sen º (c.d.) OPÇÃO A. No referencial ortonormado Oxy da figura do lado estão representados: a circunferência trigonométrica; o triângulo [ABC] inscrito na circunferência; o ângulo orientado DOA. Sabe-se ainda que: o ponto A desloca-se sobre a circunferência no primeiro quadrante; o ponto B é simétrico do ponto A relativamente ao eixo Oy. (15).1. Mostre que a área do triângulo [ABC] em função de é dada por: cos cos sen Temos Área ABC AB h em que AB cos e h OC sen 1 sen cos1sen Área ABC cos 1 sen cos cos sen c.q.m. Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão 1
3 (10).. Indique as coordenadas dos pontos A e B quando. Como estamos no círculo trigonométrico quando as coordenadas do ponto A são cos 1 sen. Como o ponto B é simétrico do ponto A relativamente ao eixo Oy as suas coordenadas são cos 1 sen. (5).. Qual é o valor da área do triângulo [ABC] para? (A) (B) (C) Usando a expressão obtida em.1. temos (D) 1 Área cos cos sen OPÇÃO C O relógio da figura do lado marca 10:10 (10 horas e 10 minutos). (10).1. Determine em graus e em radianos a amplitude do ângulo convexo (menor ângulo) formado pelos ponteiros do relógio. A amplitude do ângulo entre dois números (horas) consecutivos é 0. 0º 1 º entre o 10 e o temos um ângulo de 0º 10º ou de. Contudo das 10:00 até às 10:10 o ponteiro da horas avançou um ângulo que correspontende aos 10 minutos isso é º 5º ou Portanto o ângulo dos dois ponteiros é 10º 5º 115º ou radianos. (5).. Após as 10:10 o ponteiro dos minutos descreveu um ângulo de amplitude 810º e parou (o relógio avariou). Que horas marca o relógio quando avariou? (A) 1:5 (B) 1:15 (C) 1:0 (D) 1:5 Do algoritmo da divisão inteira sabemos que 810º 90º 0º. o ângulo generalizado 810º 90º tem os mesmos lados do ângulo de 90º. Portanto o ponteiro dos minutos deu duas voltas completas mais 90º ou um quarto de hora isto é o relógio avançou horas e 15 minutos. Logo avariou nas 1:5 OPÇÃO D Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão 1
4 . Na figura seguinte estão representados os triângulos [ABC] e [ADE]. Os segmentos BD e CE intersetam-se no ponto A. (15).1. Traçando uma altura adequada do triângulo Seja h [ADE] mostre que a d e decos A. EF a altura do triângulo [ADE] em relação ao vértice E. FA cos A d pelo que FA d cos A e DF e FA e d cos A Aplicando o Terorema de Pitágoras a cada um dos triângulos retângulos obtemos: a h DF d h FA h a e d cos A h a DF h d d cos A h d FA Destas duas igualdades resulta a e d cos A d d cos A Simplificando vem a e decos A d cos A d d cos A a e decos A d cos A d d cos A a e decos A d a d e decos A c.q.m. (10).. Sabendo que a d 5 e e determine a amplitude do ângulo EAD com aproximação à décima do grau. Da questão anterior sabemos que a d e decos A (lei dos cossenos) Portanto 5 5 cos A 1 5 0cos A º (1 c.d.) 1 A cos...º cos A cos A 0 (5).. De acordo com os dados anteriores qual das opções seguintes representa o valor exato da medida do lado [BC]? (A) (B) Da lei dos cossenos sabemos que BC 5 5 (C) (D) cos A Como os ângulos BAC e EAD são verticalmente opostos têm a mesma amplitude pelo que cos A. Portanto BC BC BC BC OPÇÃO B 90 Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão 1
5 (15) 5. Determine cos arc tan apresentando todos os cálculos ou raciocínios efetuados. Sendo cos arc tan cos x com De arc tan x tan x resulta: arc tan x temos de calcular cos x tan x x logo x 1.º Quadrante (tangente positiva) sen x cos x sen x cos x Usar a F.F.T. 1 Outro processo: Usar a fórmula secundária tan x 1 cos x 1 Portanto 1 cos x cos x 1 cos x Como x 1.º Quadrante temos cos x logo cos arc tan cos x 5 cos x 1 5 Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora). Considere a função f real de variável real definida por: 1 f x sen x cos x tan (15).1. Mostre que f x cos x 1. 1 f x sen x cos x tan Simplifiquemos a expressão dada: 1 cos x cos x tan cos x cos x tan cos x tan cos x 1 c.q.m. (15).. Determine o contradomínio de f e escreva uma expressão geral dos minimizantes de f. Usemos a expressão simplificada: f x cos x Sabemos que x 1 cos x 1 1 tal como cos x Portanto cos x e cos x Ou seja f x 1 logo D' f Mínimo -1 assim f x cos x 1 cos x cos x 1 x k k x k k expressão geral dos minimizantes de f Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 5/7 Versão 1
6 (5).. Qual das afirmações seguintes é falsa? (A) x x f x f x (B) x x f x f x (C) x x f x f x (D) x : f x x x f x f x é VERDADEIRA pois a função f é par; Portanto A é FALSA pois f não é pode ser ímpar; x x f x f x é VERDADEIRA pois f tem período ; f x é possível pois D' f D é VERDADEIRA. (15).. Considere a função g definida em por g x sen x. Sabendo que os gráficos de f e g intersetam-se três vezes em abcissas dos três pontos de interseção. determine as Temos de resolver a equação f x g x em. cos x 1 1 cos x cos x cos x cos x 1 sen x cos x cos x 0 cos x cos x 0 cos x 0 cos x 0 x k k cos x x k k eq.impossível x k k Para k 0 temos x Para k 1 temos x Para k 1 temos x Para k temos x As duas funções intersetam-se para x x e x. Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão 1
7 7. Considere a expressão A (15) 7.1. Calcule A cos 1 sen para k k. 1 sen cos apresentando o resultado com denominador racional. Precisamos de calcular cos e sen Temos: Portanto cos cos cos cos cos sen sen sen 5 1 cos 1 sen A 1 sen cos (15) 7.. Mostre que A Temos A cos. cos 1 sen cos 1 sen 1 sen cos 1 sen cos cos 1 sen cos 1 sen sen 1 sen cos sen 1 sen cos 1 sen cos sen cos 1 sen 1sen c. q. m. 1 sen cos cos cos 1sen 1 sen cos 1sen 1 1 sen cos (15) 7.. Determine A sabendo que 1 cos Para calcular A temos de conhecer cos. e. Sabemos que 1 cos 1 s en 1 s en pelo que.º Q 1 cos 1 1 cos cos 9 cos 8 9 Como.º Q temos Portanto 8 cos A cos Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 7/7 Versão 1
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