Teste de avaliação (Versão A) Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação (Versão A) Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 pontos, cada pergunta não respondida, anulada ou com resposta errada vale 0 (zero) pontos. 1. A secção produzida pelo plano que passa nos pontos M, N e G (M e N são pontos médios das arestas a que pertencem) é (A) Um triângulo equilátero (B) Um paralelogramo (C) Um trapézio (D) Um triângulo rectângulo.. De um triângulo equilátero sabemos que o lado mede 4. Podemos afirmar que a sua área mede: (A) 6 (B) 4 3 (C) 3 (D) Num referencial o.n. ( O, x, y ) a recta vertical que passa no ponto de coordenadas (, 3) tem equação: (A) x = 3 (B) y = (C) x = (D) y = 3 4. Considere, num referencial o.n. Oxyz: - a esfera E definida pela condição ( ) ( ) ( ) - a recta r de equação ( x, y,z) = ( 1,,3 ) + k (,0,1 ),k x 1 + y + z 3 36 PROFESSORA: Rosa Canelas 1

2 A intersecção da recta r com a esfera E é um segmento de recta. O comprimento desse segmento de recta é: (A) 8 (C) 1 (B) 10 (D) Supondo que XY = PQ. Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira (A) XY PQ (B) XQ = PY (C) XQ PY (D) [ XYQP ] é um paralelogramo Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. O gráfico da figura representa a variação da temperatura num determinado local ao longo de um período de 48 horas Que variáveis estão relacionadas através deste gráfico? Qual é a variável independente e qual é a variável dependente? 1.. Justifique que a relação entre as variáveis representada pelo gráfico é uma função Indique o domínio e o contradomínio da função Qual foi a temperatura máxima em cada dia e a que horas se fez sentir essa temperatura em cada dia? 1.5. Construa uma tabela de monotonia e extremos desta função A que horas foi nula a temperatura em cada dia? 1.7. Construa uma tabela de variação de sinal da função. PROFESSORA: Rosa Canelas

3 . Considere o referencial xoy da figura. Nele os pontos A e C pertencem à recta s e A pertence à circunferência de centro C..1. Indique uma equação cartesiana que sirva para definir o eixo Ox... Escreva uma equação vectorial que sirva para definir o eixo Oy..3. Mostre que a equação reduzida da recta s é y = x+. 1 O y A C s x.4. Determine as coordenadas do ponto simétrico de A em relação ao ponto C..5. Calcule, na forma mais simplificada possível, a equação da mediatriz do segmento [AC]..6. Represente analiticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira. 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4. O vértice A pertence ao eixo Oz O vértice B pertence ao plano yoz O vértice D pertence ao plano xoz O vértice C tem coordenadas ( 4, 4, 4 ) A altura da pirâmide é Indique as coordenadas dos pontos A, B, D e E. 3.. Escreva uma equação vectorial da recta CE 3.3. Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xoy PROFESSORA: Rosa Canelas 3

4 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa... 9 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL PROFESSORA: Rosa Canelas 4

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA A Teste de avaliação proposta de resolução (Versão A) Grupo I 1. (C) A secção produzida pelo plano que passa nos pontos M, N e G (M e N são pontos médios das arestas a que pertencem) é o trapézio isósceles [MNGD]. A E M B N F. (B) De um triângulo equilátero sabemos que o lado mede 4. Podemos afirmar que a sua área mede 4 3, porque da figura D H C G resulta por aplicação do Teorema de Pitágoras que h + = 4 h = 1 h= 3 e por aplicação da fórmula que dá a área de um triângulo resulta que h A = A = (C) Num referencial o.n. ( O,x,y ) a recta vertical que passa no ponto de coordenadas (, 3) tem equação x = porque se a recta é vertical todos os pontos têm a mesma abcissa. 4. (C) Considere, num referencial o.n. Oxyz: - a esfera E definida pela condição ( x 1) + ( y ) + ( z 3) 36 - a recta r de equação ( x, y,z) = ( 1,,3 ) + k (,0,1 ),k A intersecção da recta r com a esfera E é um segmento de recta. O comprimento desse segmento de recta é 1 porque a recta passa no centro da esfera intersectando-a segundo um segmento de comprimento igual ao diâmetro da esfera, que tendo raio 6 tem diâmetro 1. Y 5. (D) Supondo que XY = PQ. A afirmação que é necessariamente verdadeira é [ XYQP ] é um paralelogramo. X Q P PROFESSORA: Rosa Canelas 5

6 Grupo II 1. O gráfico da figura representa a variação da temperatura num determinado local ao longo de um período de 48 horas As variáveis relacionadas são o tempo e a temperatura, sendo a primeira a independente e a segunda a dependente. 1.. A relação entre as variáveis representada pelo gráfico é uma função porque a cada valor do tempo corresponde um e um só valor para a temperatura O domínio desta função é o conjunto D = [0,48]. O contradomínio é o conjunto D' = [ 3,11] A temperatura máxima no primeiro dia é 8ºC atingida às 14 horas e no segundo dia é 11ºC atingida também às 14 h do segundo dia Uma tabela de monotonia e extremos desta função é: t (h) temp (ºC) M m M m M m 1.6. A temperatura foi nula às 8 h e às 0 h do 1º dia e às 8 h e às h do segundo dia Uma tabela de variação de sinal da função é: t (h) temp (ºC) Consideremos o referencial xoy da figura. Nele os pontos A e C pertencem à recta s e A pertence à circunferência de centro C..1. Uma equação cartesiana que sirva para definir o eixo Ox é y = 0 y s.. Uma equação vectorial que sirva para definir o eixo Oy é ( x, y) = ( 0,0 ) + k ( 0,1 ), k 1 A C O x PROFESSORA: Rosa Canelas 6

7 .3. A equação reduzida da recta s é y = x+, porque: a recta s passa nos pontos A(1,1) e C(3,) Dos dois pontos podemos definir o vector AC de coordenadas AC = C A = 3, 1,1 =,1 ( ) ( ) ( ) e concluir que o declive é 1. 1 Substituindo na equação y = x+ b as coordenadas x e y pela abcissa e pela ordenada de um dos pontos da recta podemos concluir que 1 1= 1+ b b= 1 b=. Finalmente como já sabemos o declive e a ordenada na origem podemos escrever a equação da recta y = x+ como queríamos demonstrar..4. As coordenadas do ponto simétrico de A em relação ao ponto C são (5,3) e obtêm-se C+ AC = (3,) + (,1) = 5,3. calculando ( ).5. Calculemos, na forma mais simplificada possível, a equação da mediatriz do segmento [AC]. ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 + y 1 = x 3 + y x x+ 1+ y y+ 1= x 6x+ 9+ y 4y x + y = 11 y = 4x + 11 y = x +.6. Representemos analiticamente o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira. Comecemos por identificar as fronteiras: o Eixo Ox com equação y = 0 o Eixo Oy com equação x = 0 o Recta s com equação y = x+ o Circunferência com centro em C e que passa em A e que por isso tem raio igual a AC = + 1 = 5. A equação da circunferência é ( ) ( ) x 3 + y = 5. O conjunto de pontos que queremos definir estão acima do eixo Ox, à direita do eixo Oy, abaixo da recta s e fora da circunferência de centro C e raio 5 e por isso y 0 x 0 y x+ x 3 + y 5 define-se pela condição: ( ) ( ) PROFESSORA: Rosa Canelas 7

8 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4. O vértice A pertence ao eixo Oz O vértice B pertence ao plano yoz O vértice D pertence ao plano xoz O vértice C tem coordenadas ( 4, 4, 4 ) A altura da pirâmide é As coordenadas dos pontos A, B, D e E. são: A ( 0,0, 4 ), B( 0,4,4 ), D( 4,0,4 ) e E(,, ) 3.. Para escrevermos uma equação vectorial da recta CE vamos começar por calcular as coordenadas do vector CE. CE = E C = (,, ) ( 4, 4,4 ) = (,, 6) Podemos agora escrever uma equação vectorial de CE ( x, y,z) = ( 4,4,4 ) + k (,, 6 ),k 3.3. Determinemos a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xoy. A secção é o quadrado que serve de base à pirâmide de altura que fica situada abaixo do plano xoy. A pirâmide [ABCDE] é semelhante à pirâmide de altura que fica situada abaixo do plano xoy e a razão de semelhança é a razão das alturas. As bases das pirâmides também são semelhantes com a mesma razão de semelhança. Se x for o lado do quadrado que é a secção produzida na pirâmide pelo plano xoy podemos escrever: x 4 = x = x = E finalmente concluir que a área da secção é 4 16 A = A = 3 9 PROFESSORA: Rosa Canelas 8