Data: 02/12/2008. Nome:... Nº:... 11º Ano Turma A " # $ % & Duração da prova 90 min. Escola Secundária Afonso Lopes Vieira

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1 Escola Secundária Afonso Lopes Vieira Nome:... Data: 0/1/008 Duração da prova 90 min Nº:... 11º Ano Turma A! " # $ % &

2 1. Relativamente à recta de equação y = x 1, qual das seguintes afirmações é verdadeira? A] A sua inclinação é radianos B] O ponto P (1, 1) pertence à recta C] O ângulo de inclinação da recta é dado por tan 1 63,43º ( c. d.) D] A recta de equação y = x + 1 / é-lhe perpendicular. Dados os vectores u e v tais que u =, v = 3 e u ^ v = 10º, pode concluir-se que: A] o produto escalar de u por v é nulo B] u. v = u x v x cos 60º C] u. v = 3 D] o produto escalar de u por v é 3 3. Sendo α um ângulo do 1º Quadrante, qual das seguintes proposições é verdadeira? A] sen (90º + α) = sen α B] cos (π + α) = cos (π α) C] sen ( 5π + α) = sen α D] π + α pertence ao º Quadrante 4. Dados aos vectores a e b, num referencial o. n. sabe-se que a.b = 3, a = 1 e b = 3 Sendo α a amplitude do ângulo formado por a e b, qual é o valor de sen α? A] 3 /3 B] 6 /3 C] 3 /3 D] 6 /3 5. Considere, num referencial o. n. Oxyz, a recta r de equação (x, y, z) = (3,, 1) + k(0, 0, 1), k IR. Qual das seguintes condições define uma recta paralela à recta r? A] (x, y, z) = (3,, 1) + k(0, 1, 0), k IR B] (x, y, z) = (0, 0, 1) + k(3,, 1), k IR C] x = 3 y = z = 1 D] x = y = 1

3 $ # % & ' & ( ) ' &' 1. Considere no referencial o.n. xoy e os sucessivos triângulos [OAP] formados pelo deslocamento do ponto P sobre a semicircunferência de centro O e raio OA = 4 cm. 1.1 Mostre que a área do triângulo pode ser dada em função de α por A(α) = 8 sen α P y α O A x 1. Determine os valores de α para os quais a área do triângulo é superior a 4 cm. Se preferir, opte por resolver, no universo das amplitudes, a seguinte equação trigonométrica: 1 cos (x + π /6) = 3 /. Simplifique a seguinte expressão trigonométrica: sen (7π α) + 3 cos (π + α) sen (4π + α) sen (α π) 3. Considere os pontos do plano de coordenadas A ( 1, ); B (, 1) e C (3, 3) y 3.1 Calcule a amplitude do ângulo BÂC (1 c. d.) 3. Determine a abcissa do ponto D (a, 1) de tal forma que [ACD] seja um triângulo rectângulo em A. 3.3 Defina pela sua equação reduzida a tangente no ponto C à circunferência de centro em B. C A B x 4. Considere o ponto P e a recta r assim definidos: P(0, 1,1) r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + k(1, 1, ), k IR. 4.1 Defina por uma equação cartesiana o plano π que contém o ponto P e é perpendicular à recta r. 4. Apresente as coordenadas dos extremos de um segmento de recta [AB] de tal forma que P seja o seu ponto médio e π o seu plano mediador.

4 Formulário Tabela de razões trigonométricas α sen cos tg π/6 1/ 3 / 3 /3 π/4 / / 1 π/3 3 / 1/ 3 COTAÇÕES Grupo I...50 Cada resposta certa Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL O Professor:

5 E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA A Proposta de resolução Nome:... Data: 0/1/008 Nº:... 11º Ano Turma A 1. C] O ângulo de inclinação da recta é dado por tan 1 63,43º ( c. d.). D] Como u = e v = 3, u. v = u. v cos(10º) = x 3 x ( 1/) = 3 I 3. B] cos (π + α) = cos (π α) α {universo das amplitudes} 4. D] cos ( a ^b a b 3 ) = = a b 3 sen α + cos α = 1 <=> sen α = 1 ( 3 /3) <=> sen α = ( 1 3 / 9) α [0, π ] <=> sen α = / 3 <=> sen α = 6 /3 5. D] O vector director (0, 0, 1) da recta r é vertical e x = y = 1 define uma recta paralela a Oz II 1.1 A [AOP] = b h P y b = OA = 4, h = OA sen α = 4 sen α A(α) = OA. OA AO sen OA sen α = 16 sen = 8 sen α h α O b A x 1. 8 sen α > 4 <=> sen α > 1/ <=> α > π/6 α < π π/6 <=> α ]π/6, 5π/6 [ 1. 1 cos (x + π/6) = 3/ <=> cos (x + π/6) = 1/ <=> cos (x + π/6) = 1/ <=> x + π/6 = ± π/3 + kπ, k <=>x = ± π/3 π/6+ kπ, k <=>x = 4π/6 π/6+ kπ, k v x = 4π/6 π/6+ kπ, k <=>x = π/ + kπ, k v x = 5π/6 + kπ, k <=>x = π/4 + kπ, k v x = π/1 + kπ, k. sen (7π α) + 3 cos (π + α) sen (4π + α) sen (α π) = = sen (π α) + 3( cos α) sen α ( sen α) = sen α 3 cos α sen α + sen α = 3 cos α!

6 3. Pontos: A ( 1, ); B (, 1) e C (3, 3). 3.1 AB = B A = (, 1) ( 1, ) = ( 3, 1) AC = C A = (3, 3) ( 1, ) = (4, 1) cos  = cos  = 3 (3, 1).(4,1) + ( 1) <=> cos  = AB AC AB AC <=>  = cos -1 ( 11 ) 3,5º AC = C A = (3, 3) ( 1, ) = (4, 1) AD = D A = (a, 1) ( 1, ) = (a + 1, 3) CAD ˆ = 90º se AC. AD = 0 AC. AD = 0 <=> (4, 1). (a + 1, 3) = 0 <=> 4a = 0 <=> 4a = 1 <=> a = 1/4 º Processo a recta AC tem declive m = 1/4 o declive da recta perpendicular AC é m = 4 e a sua equação reduzida y = 4x + b para A( 1, ) AD : = 4 x ( 1) + b <=> b = y = 4x como D(a, 1) AD : 1 = 4a <=> 4a = 1 <=> a = 1/4 3.3 A tangente à circunf. no ponto C, definida pelos pontos C e P(x, y), é tal que BC _ _ CP, logo CP = P C = (x 3, y 3) e BC = C B = (3, 3) (, 1) = (1, ) CP. BC = 0 <=> (x 3, y 3). (1, ) = 0 <=> x 3 + y 6 = 0 <=> y = x/ + 9/ 4. P(0, 1,1) r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + k(1, 1, ), k IR. 4.1 Se o plano π é perpendicular à recta r, então o vector director da recta n (1, 1, ) é perpendicular ao plano e este contém o ponto P(0, 1, 1), logo 1(x 0) + 1(y 1) (z 1) = 0 <=> x + y 1 z + = 0 <=> x + y z + 1 = 0 4. Se P é ponto médio de [AB] e π o seu plano mediador, então [AB] pertence à recta r. Assim, A e B são pontos tais que A = P + k n, k IR + e B = P k n, k IR + Por exemplo: k = 1: A = (0, 1, 1) + (1, 1, ) = (1,, 1) e k = 1: B = (0, 1, 1) (1, 1, ) = ( 1, 0, 3) A k n P B t // r!

7 Escola Secundária Afonso Lopes Vieira Nome:... Data: 0/1/008 Duração da prova 90 min Nº:... 11º Ano Turma A! " # $ % &

8 1. Relativamente à recta de equação y = 3x, qual das seguintes afirmações é verdadeira? E] A sua inclinação é 3/ radianos F] O ponto P (3, ) pertence à recta G] O ângulo de inclinação da recta é dado por tan 1 ( 3/ ) 56,3º (1 c. d.) x H] A recta de equação y = + é-lhe perpendicular 3. Sendo α um ângulo do 1º Quadrante, qual das seguintes proposições é verdadeira? E] α π pertence ao º Quadrante F] sen (90º + α) = sen α G] cos α = cos (π α) H] sen ( 5π + α) = sen ( α) 3. Dados os vectores u e v tais que u = 1, v = 1 e u ^ v = 180º, pode concluir-se que: E] u. v = u x v x cos 0º F] u. v = 1 G] o produto escalar de u por v é positivo H] o produto escalar de u por v é nulo 4. Considere, num referencial o. n. Oxyz, a recta r de equação (x, y, z) = (1,, 3) + k(0, 1, 0), k IR. Qual das seguintes condições define uma recta paralela à recta r? E] x = 3 y = z = 1 F] x = z = 3 G] (x, y, z) = (1,, 3) + k(1, 0, 1), k IR H] (x, y, z) = (0, 1, 0) + k(1,, 3), k IR 5. Dados aos vectores a e b, num referencial o. n. sabe-se que a. b =, a = 3 e b = 1 Sendo α a amplitude do ângulo formado por a e b, qual é o valor de sen α? E] 7 /9 F] /3 G] 7 /3 H] 1/

9 $ # % & ' & ( ) ' &' 1. Considere no referencial o.n. xoy e os sucessivos triângulos [OAP] formados pelo deslocamento do ponto P sobre a circunferência de centro O e raio OA = 6 cm. y P 1.1 Mostre que a área do triângulo pode ser dada em função de α por A(α) = 18 sen α O α A x 1. Determine os valores de α para os quais a área do triângulo é superior a 9 3 cm. Se preferir, opte por resolver, no universo das amplitudes, a seguinte equação trigonométrica: 5/ + cos (x + π /3) =. Simplifique a seguinte expressão trigonométrica: sen (5π α) sen ( 3π / + α) + cos (3π + α) sen ( α π) 3. Considere os pontos do plano de coordenadas A (, ); B (3, 1) e C (4, 3) y 3.1 Calcule a amplitude do ângulo ABˆ C (1 c. d.) 3. Determine a abcissa do ponto D (a, 5) de tal forma que [ACD] seja um triângulo rectângulo em C. 3.3 Defina pela sua equação reduzida a tangente à circunferência de centro B, no ponto A. C A B x 4. Considere o ponto A e a recta r assim definidos: A(0,,1) r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + k( 1, 0, 1), k IR. 4.1 Defina por uma equação cartesiana o plano π que contém o ponto A e é perpendicular à recta r. 4. Apresente as coordenadas dos extremos de um segmento de recta [PQ] de tal forma que A seja o seu ponto médio e π o seu plano mediador.

10 Formulário Tabela de razões trigonométricas α sen cos tg π/6 1/ 3 / 3 /3 π/4 / / 1 π/3 3 / 1/ 3 COTAÇÕES Grupo I...50 Cada resposta certa Cada resposta errada... 0 Cada questão não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL O Professor:

11 E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira FICHA SUMATIVA MATEMÁTICA A Proposta de resolução Nome:... Data: 0/1/008 Nº:... 11º Ano Turma A 1. H] As rectas de equações y = x 1 e y = x /3 + são perpendiculares dado que m = 1/m I. H] sen ( 5π + α) = sen ( π + α) = sen ( α) 3. F] Sendo u = 1, v = 1 e u ^ v = 180º, então u. v = u. v cos 180º = 1 x 1 x ( 1) = 1 4. F] A recta r é paralela a Oy e x = 3 y = z = 1 define uma recta paralela a Oy 5. G] cos ( a ^b a b ) = = a b 3 sen α + cos α = 1 <=> sen α = 1 ( /3) <=> sen α = ( 1 / 9) α [0, π ] <=> sen α = 7 /3 b h 1.1 A [AOP] = b = OA = 6, h = OA sen α = 6 sen α A(α) = OA. OA AO sen OA sen α = II 36 sen = 18 sen α y P h α O b A x sen α > 9 3 <=> sen α > 9 3 /18 <=> sen α > 3 / <=> α > π/3 α < π π/3 <=> α ]π/3, π/3 [ 1. 5/ + cos (x + π/3) = <=> cos (x + π/3) = 5/ <=> cos (x + π/3) = 1/ <=> x + π/3 = ± π/3 + kπ, k <=>x = ± π/3 π/3+ kπ, k <=>x = π/3 π/3+ kπ, k v x = π/3 π/3+ kπ, k <=>x = π/3 + kπ, k v x = 3π/3 + kπ, k <=>x = π/6 + kπ, k v x = π/ + kπ, k. sen (5π α) sen (3π/+ α) + cos (3π + α) sen ( α π) = = sen (π α) ( cos α) cos α sen α = sen α + cos α cos α sen α = cos α!"

12 3. Pontos: A (, ); B (3, 1) e C (4, 3). 3.1 BA = A B = (, ) (3, 1) = ( 5, 1) BC = C B = (4, 3) (3, 1) = (1, ) cos Bˆ = cos Bˆ = ( 5) ( 5,1).(1, ) <=> cos Bˆ = 6 BA BC BA BC <=> Bˆ = cos -1 3 ( ) 105,3º AC = C A = (4, 3) (, ) = (6, 1) CD = D C = (a, 5) (4, 3) = (a 4, ) ACD ˆ = 90º se AC. CD = 0 AC. AD = 0 <=> (6, 1). (a 4, ) = 0 <=> 6a 4 + = 0 <=> 6a = <=> a = 11/ 3 º Processo a recta AC tem declive m = 1/6 o declive da recta perpendicular CD é m = 6 e a sua equação reduzida y = 6x + b para C(4, 3) AD : 3 = 6 x 4 + b <=> b = 7 y = 6x + 7 como D(a, 5) AD : 5 = 6a + 7 <=> 6a = <=> a = 11/3 3.3 A tangente à circunf. no ponto A, definida pelos pontos A e P(x, y), é tal que AB _ _ AP, logo AP = P A = (x +, y ) e AB = (5, 1) AB. AP = 0 <=> (5, 1). (x +, y ) = 0 <=> 5x + 10 y + = 0 <=> y = 5x A(0,, 1) r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + k( 1, 0, 1), k IR. 4.1 Se o plano π é perpendicular à recta r, então o vector director da recta n ( 1, 0, 1) é perpendicular ao plano e este contém o ponto A(0,, 1), logo 1(x 0) + 0(y ) + 1(z 1) = 0 <=> x + z 1 = 0 4. Se A é ponto médio de [PQ] e π o seu plano mediador, então [PQ] pertence à recta r. Assim, P e Q são pontos tais que P = A + k n, k IR + e Q = A k n, k IR + Por exemplo: k = 1: P = (0,, 1) + ( 1, 0, 1) = ( 1,, ) e k = 1: Q = (0,, 1) ( 1, 0, 1) = (1,, 0) P k n A Q t // r!"