ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TURMA A. TESTE Nº 2 Grupo I

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1 ESOL SEUNÁRI OM º ILO. INIS º NO E ESOLRIE E MTEMÁTI TURM TESTE Nº Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale 0 (zero) pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Sabendo que senα = indique qual das afirmações seguintes é verdadeira.. sen( π + α) =. sen( π α) = π π. cos + α =. cos α =. O círculo da figura tem raio. Se α = 50º, as coordenadas do ponto P são:. (,).,. ( 0,87;0,5). (, ). Em qual das respostas seguintes se apresentam amplitudes com a mesma representação no círculo trigonométrico?.. 9π 7π e. 4 4 π 5π e. 7π 5π e 4 4 7π π e. 4. figura representa um hexágono regular de lado 4 cm e centro O. O produto escalar O O é: E O F Professora: Rosa anelas //007

2 5. Qual das expressões seguintes representa a área da região sombreada, em função de α? tgα. π +. π tgα + y. π tgα +. 4 π + 4 tgα α 6. O ângulo dos dois vectores u = (,) e v = ( 4,) é: O x. agudo. recto. raso. obtuso 7. Em qual das situações o produto escalar dos vectores representados é negativo? () () () () Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Num referencial o. n., considere as rectas: s: ( x,y) = (,) + k(,5 ),k IR e t de inclinação 5º que passa pelo ponto de coordenadas (0,)... Escreva uma equação reduzida da recta t... Escreva uma equação reduzida da recta perpendicular à recta s e que contém a origem do referencial... etermine a amplitude do ângulo das rectas s e t, apresentando o resultado em graus e arredondado às centésimas.. Num referencial o. n. os pontos (, -5, a), ( 4, a, -) e ( a, -5, ) são vértices de um triângulo []. etermine a de modo que o triângulo seja rectângulo em. Professora: Rosa anelas //007

3 . Seja ( ) θ = e considere o triângulo []. π cosθ sen +θ.. Mostre que ( θ ) = tgθ e que ( ) θ representa a área do triângulo [], para π θ 0;... etermine analiticamente o valor de θ para o qual a área do θ cm triângulo [] é cm. 4. Em relação à pirâmide quadrangular regular da figura, sabe-se que todas as arestas têm o mesmo comprimento e que o perímetro da base é. 4.. alcule V. e V. 4.. onsidere um referencial com origem em, de modo que pertença à parte positiva do eixo V das abcissas e à parte positiva do eixo das ordenadas. O eixo das cotas terá o sentido de MV etermine uma equação cartesiana para o plano V Utilizando produto escalar, mostre que [ V] [ V]. M FIM Professora: Rosa anelas //007

4 OTÇÕES Grupo I... 6 ada resposta certa ada resposta errada, não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTL Professora: Rosa anelas //007

5 ESOL SEUNÁRI OM º ILO. INIS º NO E ESOLRIE E MTEMÁTI TURM TESTE Nº Proposta de Resolução Grupo I.. Sabendo que sen α = a afirmação, das dadas, que é verdadeira é sen( π α) porque como sen( π α ) = senα tem-se que sen( ) π α = senα =. =.. O círculo da figura tem raio. Se α = 50º são ( cos50º,sen50º ) = ( cos0º,sen0º ) = (,), as coordenadas do ponto P.. é das respostas dadas aquela em que se apresentam amplitudes com a mesma representação no círculo trigonométrico, porque 9 π 7 π + = 4π que 4 4 representa duas voltas inteiras. 4.. figura representa um hexágono regular de lado 4 cm e centro O. O produto escalar O O = 4 4 cos 60º = 8, porque se o lado mede 4cm os E O dois vectores têm norma 4 e o ângulo é 60º 60º 6 = F 5.. é das expressões dadas a que representa a área da região sombreada, em função de α porque a área do quarto de círculo é π π = e a área 4 4 do triângulo é O O O =, mas y tgα= O = O tg α logo a área total é π tgα π + = tgα α O x Professora: Rosa anelas //007

6 6.. O ângulo dos dois vectores u = (,) o produto escalar é negativo. e v = ( 4,) u v = 4 + = 5 é obtuso porque ( ) 7.. é a situação em que o produto escalar dos vectores representados é negativo porque é a única em que o ângulo dos vectores é obtuso. Grupo II. Num referencial o. n., consideremos as rectas: s: ( x,y) = (,) + k(,5 ),k IR e t de inclinação 5º que passa pelo ponto de coordenadas (0,)... Vamos escrever uma equação reduzida da recta t. Precisamos do declive que é dado por m = tg( 5) = e sabemos que a ordenada na origem é. equação reduzida é y = x+.. Uma equação reduzida da recta perpendicular à recta s e que contém a origem do 5 referencial é y = x porque o declive é o simétrico do inverso do declive de s 5 e a ordenada na origem é zero porque a recta passa pela origem... eterminemos a amplitude do ângulo das rectas s e t, para o que precisamos de dois s=,5 t =, o ângulo α das duas rectas é dado vectores directores das rectas: ( ) por ( ) ( ) 5 e ( ) + 5 cosα= cosα= cosα= α 75,96º, resultado em graus e arredondado às centésimas.. Num referencial o. n. os pontos (, -5, a), ( 4, a, -) e ( a, -5, ) são vértices de um triângulo []. eterminemos a de modo que o triângulo seja rectângulo em. Para que o triângulo seja rectângulo em terá de ser = 0 isto é (,a + 5, a) ( a,0, a) = 0 ( a ) + ( a)( a) = 0 a 4 a + a + a = 0 ± + 4 ± 5 a + a 6 = 0 a= a= a= a= O valor de a para o qual o triângulo é rectângulo em é a= porque se a= os pontos e coincidem. Professora: Rosa anelas //007

7 . Seja ( ) θ = π cosθ sen +θ e considere o triângulo []... Mostremos que ( ) θ = tgθ. e facto: ( θ ) = ( θ ) = π cos θ+ cos θ cosθ sen +θ senθ ( θ ) = ( θ ) = ( θ ) = tgθ cosθ cosθ θ cm e que ( θ ) representa a área do triângulo [], para π θ 0;. área do triângulo [] é dada por = = e como tg podemos dizer que se a área do triângulo é tgθ e ( θ ) = θ então ( ) tgθ= = tgθ θ representa a área do triângulo [], para π θ 0;... etermine analiticamente o valor de θ para o qual a área do triângulo [] é π Pretendemos resolver em 0, a equação tg tg π θ = θ= θ= cm. 4. Em relação à pirâmide quadrangular regular da figura, sabe-se V que todas as arestas têm o mesmo comprimento e que o perímetro da base é. 4.. alculemos V.. omo as arestas são todas iguais o triângulo [V] é equilátero com lado igual a = 4 e o M ângulo dos vectores V e mede 60º. V Será então 9 V. = cos60 =. alculemos agora V que fazem um ângulo de 0º 9 = = pelo que V cos( 0º ) Professora: Rosa anelas //007

8 4.. onsidere um referencial com origem em, de modo que pertença à parte positiva do eixo das abcissas e à parte positiva do eixo das ordenadas. O eixo das cotas terá o sentido de MV eterminemos uma equação cartesiana para o plano V. z V omecemos por encontrar as coordenadas de, e V. ( 0,0,0 ),,0,0e ( ) V,, Porque se considerarmos o triângulo x M y rectângulo [MV] podemos calcular MV utilizando o teorema de Pitágoras. 8 diagonal [] mede então MV + = MV = 9 MV = 4 =,0,0 e alculemos um vector n( x,y,z) V =,, do plano: ( ) ( ) normal ao plano, a partir dos vectores ( ) x, y,z,0,0 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 ( x, y,z ),, = 0 x+ y+ z = 0 y = z y = z n= 0,, Pode ser ( ) Então a equação do plano será da forma y + z =. omo o plano passa pela origem será =0 e a equação do plano é y+ z = Utilizando produto escalar, mostremos que [ V] [ V]. omecemos por calcular as coordenadas de V = V = (,0,0 ),. =,, e as coordenadas de V = V = ( 0,,0 ),. =,, e agora vamos calcular o produto escalar V V =,,,, = + = Se o produto escalar é zero é porque os vectores são perpendiculares e o mesmo acontece às arestas que têm a direcção dos vectores. Professora: Rosa anelas //007

9 ritérios de orrecção Grupo I... 6 ada resposta certa... 9 ada resposta errada, não respondida ou anulada Grupo II alcular m = tgα Identificação da ordenada na origem Escrever a equação Identificação do declive m de s alcular m' = m Identificação da ordenada na origem Escrever a equação Identificar os vectores directores das rectas 6 s t plicar a fórmula cosα= s t alcular o ângulo α 75,96º Escrever a condição = Escrever as coordenadas dos vectores em função de a Substituir na condição e obter a + a 6 = 0 5 Encontrar a solução que se adequa π Substituir sen + θ oncluir que ( ) por cos θ θ = tgθ alcular = tgθ alcular a área do triângulo e concluir Escrever a equação tgθ= Resolver a equação (5+5) Escrever as coordenadas dos pontos (++) 5 alcular o vector normal ao plano Escrever a equação do plano alcular as coordenadas dos vectores alcular o produto escalar e concluir --- (5+) 7 TOTL Professora: Rosa anelas //007