Matemática A. Versão 2 RESOLUÇÃO GRUPO I. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 2. Teste Intermédio. Duração do Teste: 90 minutos

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1 Teste Intermédio de Matemática A Versão Teste Intermédio Matemática A Versão Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de Março RESOLUÇÃO GRUPO I. Resposta (A) A opção (D) é excluída, porque o ponto (0,) não pertence à fronteira da região admissível. Relativamente às restantes opções, tem-se: Opções x y L x + y (A) L + 3 (B) 0 L (C) 3 L Resposta (D) Na figura, estão representados o círculo trigonométrico, os lados extremidade dos ângulos cujo seno p p 3p é 0,9 e, a ponteado, os lados extremidade dos ângulos que têm -, e radianos de amplitude y 0,9 O x TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6

2 Como se pode observar: p p no intervalo -,, a equação sen x 09, tem uma solução; no intervalo 0, p, a equação sen, x 09 tem duas soluções; p 3p no intervalo, 4 4 p p no intervalo -, 4 4, a equação sen x 09, tem duas soluções;, a equação sen x 09, não tem solução. 3. Resposta (D) Na figura, está representado o triângulo [ABC ] A B 50º 5º 5º C Tem-se AB. AC AB AC cos AB AC cos 50º Resposta (C) Recorrendo à calculadora, podemos obter um valor aproximado da amplitude, em radianos, do ângulo pertencente ao intervalo E 0, p ; cuja tangente é igual a Tem-se tg - ( ), 07 Portanto, a, 07 + p 4, 5 5. Resposta (B) p p Como a + b, tem-se b - a Como a + q p, tem-se q p - a p cosa + sena - cosa sena Logo, cosa cosb cosq cosa cos a cos( p a) TI de Matemática A Resolução Versão Página / 6

3 GRUPO II.. No triângulo [OPQ ], o segmento de recta [PR ] é a altura relativa à base [OQ ] Assim, a área do triângulo [OPQ ] é dada por OQ PR Tem-se: OR OR cosa, pelo que OR 0 cosa e, portanto, OQ 0 cosa OP 0 PR PR sena, pelo que PR 0 sena OP 0 Portanto, a área do triângulo [OPQ ] é 0 cosa 0 sena 00 senacos a f ( a).. f ( a) 00 cos a 00 senacosa 00 cos a senacosa cos a Como a 0, p, tem-se cosa 0 Portanto, para a 0, p, tem-se senacosa cos a sena cosa a p 4.3. f ( q) 0 00senqcosq 0 senq cosq Então ( ) senq + cosq sen q + senq cosq + cos q sen q + cos q + senqcosq + senqcosq Portanto, ( sen cos ) q q TI de Matemática A Resolução Versão Página 3/ 6

4 .4. A ordenada do ponto P é PR Como o triângulo [OPR ] é rectângulo, por aplicação do teorema de Pitágoras, tem-se PR OP - OR Assim, as coordenadas do ponto P são (6, 8) Vamos determinar a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P por dois processos..º Processo A recta tangente à circunferência no ponto P é perpendicular à recta OP. Como o vector OP tem 8 4 coordenadas (6, 8), o declive da recta OP é e, portanto, o declive da recta tangente à circunferência no ponto P é - 4 Assim, a equação reduzida da recta pedida é da forma y - 3 x + b 4 Como o ponto P pertence a esta recta, vem b b b b Assim, a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P é y x + 4.º Processo Um ponto Gxy (, ) pertence à recta tangente à circunferência no ponto P se e só se os vectores OP GP forem perpendiculares, ou seja, se e só se OP GP 0 e Tem-se OP P - O ( 68, )-( 00, ) ( 68, ) GP P - G (, 68) -(, x y) ( 6-x, 8-y) OP GP 0 (, 68) ( 6-x, 8- y) 0 6( 6 - x) + 8 ( 8 - y) x y y 6x -00 y - x + y - x Portanto, a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P é 3 5 y - x + 4 TI de Matemática A Resolução Versão Página 4/ 6

5 ... Dois planos paralelos admitem o mesmo vector normal. Portanto, uma condição cartesiana do plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial é 7x + 3y + 3z 0... Um plano perpendicular à recta QN é paralelo ao plano yoz Portanto, o plano pedido pode ser definido por uma equação da forma x k Como o ponto V tem abcissa 3, uma condição cartesiana do plano perpendicular à recta QN e que passa no ponto V é x O plano QTV é definido pela equação 7x + 3y + 3z 4 Então, o vector de coordenadas (7, 3, 3) é perpendicular ao plano QTV, sendo, portanto, um vector director da recta de que se pretende escrever uma condição cartesiana. Uma condição cartesiana da recta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U(6, -6, -6) é x - 6 y + 6 z O ponto U tem coordenadas (6, -6, -6), e o raio da superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T é UT 6 Uma equação cartesiana dessa superfície esférica é ( x - 6) + ( y + 6) + ( z + 6) 36.. Seja z a cota do ponto A Então o ponto A tem coordenadas (6, -6, z) e, portanto, o vector OA tem coordenadas (6, -6, z) O ponto T tem coordenadas (6, 0, -6) e, portanto, o vector OT tem coordenadas (6, 0, -6) OA OT 6 (, 6-6, z) (, 6 0, - 6) z 6 z 5 Portanto, o ponto A tem cota 5.3. O volume do poliedro VNOPQURST pode obter-se como soma do volume do cubo NOPQURST com o volume da pirâmide VNOPQ 3 O cubo tem aresta 6 e, portanto, o seu volume é 6 6 Para calcular o volume da pirâmide é necessário determinar a sua altura. A altura da pirâmide é igual à cota do ponto V. Este ponto é o ponto do plano QTV que tem abcissa 3 e ordenada -3 Substituindo x por 3 e y por -3 na equação do plano QTV, obtém-se: (- 3) + 3z 4 3z z 4 TI de Matemática A Resolução Versão Página 5/ 6

6 Tem-se, então, que a altura da pirâmide é igual a 4. Como a base da pirâmide é um quadrado de lado 6, o volume da pirâmide é O volume do poliedro VNOPQURST é Tem-se BL BA + AL e BM BC + CM Então, BL BM ( BA + AL) ( BC + CM ) BA BC + BA CM + AL BC + AL CM 0+ BA CM + AL BC + 0 BA CM + AL BC BA BA + BC BC ( BA BA) + ( BC BC ) BA + BC BC + BC BC TI de Matemática A Resolução Versão Página 6/ 6