Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 5 (entregar no dia 6 ou )

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº (entregar no dia 6 ou ) 1. Considere, num cubo de 8 cm de aresta, a secção que resulta da intersecção do cubo com um plano que faz um ângulo de amplitude θ com o plano ABC. Designe por M e N os pontos de intersecção desse plano com as arestas [AE] e [BF], respectivamente Mostre que a área do rectângulo [CDMN] é, em função de 64 A θ = cm cos θ θ, ( ) 1.. Se o rectângulo tiver 80 cm de área, determine: a amplitude de θ (exprima-a em graus e minutos) 1... o comprimento do segmento [NF] (apresente o resultado aproximado às décimas).. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução. a base do cone está contida no plano α de equação x + y z = 11 o vértice V do cone tem coordenadas ( 1,,6 ) o ponto C é o centro da base do cone.1. Determine uma equação do plano γ que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α... Seja β o plano definido pela equação x y + z = Averigúe se os planos α e β são perpendiculares... Seja W o ponto simétrico do ponto V, em relação ao plano xoy. Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condição que defina o segmento de recta [VW]..4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a, determine o volume do cone. Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice do cone e que é perpendicular ao plano α e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto C. Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 . Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio r. [AB] é um diâmetro da circunferência O ponto C pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo COB [OD] é perpendicular a [AC] α Prove que AB. AC = 4r cos Sugestão Percorra as seguintes etapas: Justifique que o triângulo [OAC] é isósceles. Justifique que AC = AD α Justifique que a amplitude do ângulo CAB é α Escreva AD, em função de e de r α Conclua que AB. AC = 4r cos 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ ABCDV ] cuja base está contida no plano xoy. o ponto A pertence ao eixo Ox o ponto B tem coordenadas (,,0 ) o ponto V pertence ao plano de equação z = 6 6x + 18y z = 4 é uma equação do plano ADV 18x 6y + z = 7 é uma equação do plano ABV 4.1. Determine o volume da pirâmide. 4.. Determine as coordenadas do ponto V, sem recorrer à calculadora. 4.. Seja S o ponto de coordenadas ( 1, 1,). Seja r a recta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV. Averigúe se a recta r contém o ponto B. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº Proposta de resolução 1. Consideremos, num cubo de 8 cm de aresta, a secção que resulta da intersecção do cubo com um plano que faz um ângulo de amplitude θ com o plano ABC. Designe por M e N os pontos de intersecção desse plano com as arestas [AE] e [BF], respectivamente Mostremos que a área do rectângulo [CDMN] é, em 64 A θ = cm. cos θ função de θ, ( ) A ( θ ) = DC MD e como DC = 8 e AD 8 = cosθ MD = MD cos θ. ( ) 8 64 A θ = 8 = cm cos θ cos θ Então ( ) 1.. Se o rectângulo tiver 80 cm de área, determinemos: a amplitude de θ (em graus e minutos) = cos θ = θ = cos cosθ pelo que θ 6º ' 1... o comprimento do segmento [NF] (resultado aproximado às décimas). NF = 8 NB NB tg NB 8tg 8 = θ = θ 1 mas como 1+ tg θ = cos θ e 4 cos θ = fica tg θ = tg θ = 1 tg θ = tgθ = porque θ é um ângulo do 1º quadrante. Finalmente NF = 8 8 = 4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

4 a base do cone está contida no plano α de equação x + y z = 11 o vértice V do cone tem coordenadas ( 1,,6 ) o ponto C é o centro da base do cone.1. Determinemos uma equação do plano γ que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α : O vector normal a γ tem coordenadas ( 1,, ) A equação do plano γ é da forma x + y z = D e porque passa em V será 1+ 6 = D D = 7 A equação do plano γ é x + y z = 7.. Seja β o plano definido pela equação x y + z = Averiguemos se os planos α e β são perpendiculares calculando o produto escalar dos vectores normais aos planos ( 1,, ).(, 1,1 ) = =. Como o produto escalar não deu zero os planos não são perpendiculares... Seja W o ponto simétrico do ponto V, em relação ao plano xoy. As coordenadas do ponto W são ( 1,, 6) e uma condição que defina o segmento de recta [VW] é ( x, y, z) = ( 1,,6 ) + k ( 0,0, 1 ),k [ 0,1] porque VW = ( 0,0, 1).4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a, determinemos o volume do cone. Comecemos por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice do cone e que é perpendicular ao plano α : ( x,y,z ) = ( 1,,6 ) + k ( 1,, ),k R Utilizemo-la para determinar as coordenadas do ponto C: x = 1+ k x = 1+ k ( x, y, z) ( 1,,6 ) k ( 1,, ),k y k = + R = + y = + k x + y z = 11 z = 6 k z = 6 k x + y z = k k 1 + 4k = 11 x = 1+ k x = 1+ x = y k y = + = + y = 6 As coordenadas de C são (,6, ) z = 6 k z = 6 z = 9k = 18 k = k = h = VC =,6, 1,,6 =, 4, 4 = = 6 Calculemos a altura ( ) ( ) ( ) O volume é 1 V = π 6 V = 18π cm. Na figura está representada uma circunferência de centro O e raio r. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 [AB] é um diâmetro da circunferência O ponto C pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo COB [OD] é perpendicular a [AC] Prove que α AB. AC = 4r cos Vamos seguir a Sugestão Percorrendo as seguintes etapas: O triângulo [OAC] é isósceles porque dois dos seus lados são raios da circunferência. Justifiquemos que AC segmentos geometricamente iguais AD = AD : a altura de um triângulo isósceles divide a base em dois = DC A amplitude do ângulo CAB é α, porque é um ângulo inscrito no arco BAC, pelo que a sua amplitude é metade da amplitude do arco BC. α AD α α Escrevamos AD, em função de e de r: = cos AD = r cos r α α α Vamos concluir que AB. AC = r r cos cos = 4r cos 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ ABCDV ] cuja base está contida no plano xoy. o ponto A pertence ao eixo Ox o ponto B tem coordenadas (,,0 ) o ponto V pertence ao plano de equação z = 6 6x + 18y z = 4 é uma equação do plano ADV 18x 6y + z = 7 é uma equação do plano ABV 4.1. Para determinarmos o volume da pirâmide, precisamos de saber a medida da aresta da base, pelo que vamos calcular a intersecção do plano ADV ou AVB com Ox: 18x 6y + z = 7 y = 0 z = 0 18x = 7 x = 4 e concluímos que A ( 4,0,0 ) AB é a aresta da base e sabemos que A ( 4,0,0 ) e B(,,0 ), logo ( ) AB = = 10 1 V = 10 6 V = 0 ( ) Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

6 4.. Determinemos as coordenadas do ponto V, sem recorrer à calculadora, calculando o ponto do plano de equação z = 6 e que pertence à intersecção do plano ADV com o plano ABV. z = 6 z = 6 z = 6 z = 6 z = 6 z = 6 6x + 18y z = 4 6x + 18y = 4 x + y = 9 x = 9 y x = 9 y y = 18x 6y z 7 18x 6y 4 x y 7 7 9y y 7 10y 0 + = = = = = x = As coordenadas de V são (,,6 ) 4.. Seja S o ponto de coordenadas ( 1, 1,). Seja r a recta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV. A recta r tem a direcção do vector ( 6,18, ) e por isso tem equação x + 1 y + 1 z = = 6 18 Averiguemos se a recta r contém o ponto B: = = 1= 1= pertence à recta r. pelo que B Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 010/011

7 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº Critérios de classificação Calcular AD A θ Calcular ( ) CalcularNB Calcular tgθ Calcular NF..1. Reconhecer as coordenadas do vector normal a γ Escrever a equação do plano.... Calcular as coordenadas de W Escrever a equação do segmento de recta Escrever a equação da recta Calcular a intersecção da recta com o plano Calcular a altura Calcular o Volume. Justificar que o triângulo é isósceles Justificar que AC = AD α Justificar que a amplitude do ângulo CAB é Escrever AD, em função de α e de r α Concluir que AB. AC = 4r cos Concluir as coordenadas de A Calcular AB Calcular o volume Identificar as coordenadas do vector director da recta Escrever a equação da recta Verificar se as coordenadas de B verificam as equações Concluir se B pertence à recta Total 100 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 010/011