Proposta de correcção

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1 Ficha de Trabalho Matemática A - ºano Temas: Trigonometria (Triângulo rectângulo e círculo trigonométrico) Proposta de correcção. Relembrar que um radiano é, em qualquer circunferência, a amplitude do arco que têm comprimento igual ao raio. Sendo assim se o raio da circunferência é, cm, então um arco de comprimento, cm tem de amplitude radiano e portanto um arco de comprimento, cm tem de amplitude rad. (C). Relembrar que os ângulos e k 60º, k Z têm a mesma representação no círculo trigonométrico, assim como e k, k Z se a unidade for o radiano. Sendo assim, como º 40º 60º, os ângulos de amplitudes º e 40º têm a mesma representação no círculo trigonométrico. (A). Relembrar a tabela de valores exactos das razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes (0º ) 6 rad, (4º ) 4 rad e (60º ) rad e os ângulos que têm o mesmo seno. Em primeiro lugar temos que identificar um ângulo, no intervalo 0,, que tenha a 00 mesma representação de rad 6 Dividindo 00 por 6 obtemos logo ou seja tem a mesma representação que (Uma vez que 6 8 ) Então 66 4 e portanto sen sen sen sen (A) 6 4. A afirmação verdadeira é (A) uma vez que no º quadrante o cosseno é negativo e a tangente é negativa logo o seu produto é positivo. (B) É falsa pois no º quadrante o seno e o cosseno são negativos. (C) É falsa porque cos x x R. (D) É falsa. Basta fazer tangente é IR. tg (), rad ou lembrar que o contradomínio da função. As coordenadas do ponto P, recorrendo ao ângulo que define no círculo trigonométrico, são cos ; sen. Sendo assim as coordenadas de P são cos ; sen 6 6

2 Como cos cos cos sen sen sen, as coordenadas de P são, neste caso, e ; (D). 6. (A) Falsa. Relembrar a fórmula fundamental da trigonometria, sen cos... Como a afirmação anterior é falsa não existe nenhum 9 ângulo que satisfaça a relação dada. (B) Verdadeira. sen Uma vez que tg, para os valores para os quais está definida, se cos sen cos o então tg 0 (C) Falsa. Relembrar que a função tangente é crescente em cada intervalo do seu domínio, mas não é crescente no seu domínio. Basta considerar a um ângulo do º quadrante e b um ângulo do segundo quadrante e a b mas tga tgb.. sen0º cos0º tg00º sen(80º 0º) cos(80º 0º) tg(60º 60º) sen(0º ) cos(0º ) tg(60º ) 4. sen sen tg sen sen tg sen sen tg. cos( 40º) cos(0º) sen( º ) cos( 60º 80º) cos(0º) sen(º ) cos( 80º) cos(0º) sen(80º 4º ) sen (4º )

3 .4 cos tg sen cos( ) tg 6 4 cos tg tg Relembrar que ao dividir um hexágono regular em triângulos, formados por dois vértices consecutivos e pelo centro, obtemos triângulos equiláteros, logo cada um dos ângulos internos desses triângulos tem de amplitude 60º sena OB ˆ sen60º 8. cos A OC ˆ cos0º ˆ 8. tga OE tg80º 60º tg(60º) cos(80º 60º ) cos(60º ) 9. Seguindo as indicações do enunciado obtemos um triângulo rectângulo cujo cateto adjacente ao ângulo de º mede metros. Para determinar o outro cateto e a hipotenusa temos que recorrer às razões trigonométricas. Relembrar que, sendo um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, cateto oposto cateto adjacente cateto oposto sen, cos e tg hipotenusa hipotenusa cateto adjacente Então: cos º x x cos º y e tg º y tg º A altura do poste é, então, dada por tgº que é aproximadamente. cos º A afirmação é falsa. 9. 0º 6 60º 90º logo o ângulo de amplitude -0º tem a mesma representação do ângulo de amplitude -90º e portanto pertence ao º quadrante. A afirmação é verdadeira. 9. Se sen cos 0 então pertence ao º ou ao 4º quadrante. Uma vez que o seno é decrescente o ângulo pertence ao º quadrante. Nesse quadrante, a tangente é negativa. A afirmação é falsa. 0. cosx cos x sen x cos( x) cos( x) sen x cos( x) cos( x) sen x cos x ( cos x) cos x cos x cos x cos x cos x

4 9. cos x sen x tg x sen x cos 4 x cosx tgx sen4 x cos x cosx tgx sen x senx x cosx ( senx) sen x sen x sen x cos x sen 4senx. Em primeiro lugar devemos escrever a expressão dada à custa das razões trigonométricas do ângulo. sen cos ( sen ) cos sen cos Então só temos que determinar o valor exacto de sen. Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, sen cos sen Uma vez que 0, 4 sen logo sen. senx senx senx sen 4. 6 sen 4 4 sen cos 4 x k x k x k x k k Z k 0 x 4 x 0 k x x ( não pertence ao int ervalo) k x ( não pertence ao int ervalo) k x ( não pertence ao int ervalo) x 8 k x ( não pertence ao int ervalo) As soluções pertencentes ao intervalo, são: ; 4. 4 ; ; senx senx senx sen x k x k x k x k k Z

5 4. tgx 4. tgx tg x k k Z cos x cos senx senx senx sen 6 x k x k x k x k k Z. sen 0 k k Z (B) 6. (A) d ( ) cos. Sendo senx, qual das afirmações é verdadeira? sen x senx Logo (A) é falsa. 8 sen x cos x cos x cos x Logo (B) é falsa. 9 cos x senx Logo (C) é falsa. sen x senx Logo (D) é verdadeira. 8. sen ( 4º ) cos(4º ) (A) é verdadeira. sen ( 90º ) cos cos cos 0 (B) é verdadeira. tg ( º) tg(80º 4º) tg4º (C) é falsa. tg ( 0º ) (D) é verdadeira. tg (60º ) 9. Seja MB ˆ C. Uma vez que o triângulo [BMC] é rectângulo, podemos determinar recorrendo à sua tangente., tg tg 0, logo tg (0,). Uma vez que NBA ˆ MBˆ C, 90º tg (0, ) e portanto, aproximando às unidades, º. D A C B BC 0. sen BC sen

6 AB cos AB cos P ABC sen cos Na figura está