Matemática A RESOLUÇÃO GRUPO I. ,, h é um vetor diretor da reta r. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 2. Teste Intermédio.

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1 Teste Intermédio de Matemática A Versão Teste Intermédio Matemática A Versão Duração do Teste: 9 minutos 6...º Ano de Escolaridade DecretoLei n.º 74/4 de 6 de março RESLUÇÃ GRUP I. Resposta (D) s vetores P e uv são perpendiculares se e só se P. uv = Designemos por a abcissa do ponto P Então as coordenadas do vetor P são ^ 5 h Portanto P. uv = ^ 5 h. ^7 h = 5 7 = = 4. Resposta (C) Designemos por r a reta definida por = ) = z vetor rv^ h é um vetor diretor da reta r Um plano é perpendicular à reta r se e só se o vetor rv for perpendicular a esse plano. Portanto a equação do plano tem de ser equivalente a uma equação da forma z = d É o caso do plano definido pela equação z = 5 TI de Matemática A Resolução Versão Página / 5

2 . Resposta (C) No intervalo 7r 5r ; E o seno toma todos os valores do 6 intervalo ; E. Portanto as equações apresentadas nas opções B e D têm solução. No intervalo 7r 5r ; E o cosseno toma todos os valores do 6 intervalo = G Temse. 7 : Portanto só a equação apresentada na opção C não tem solução. 4. Resposta (D) As assíntotas do gráfico da função f são as retas de equações e = Como as assíntotas do gráfico de g são as retas de equações e = o gráfico de g obtémse do gráfico de f por meio da translação associada ao vetor de coordenadas ^ h Portanto a e k = 5. Resposta (B) Sabese que os gráficos das funções f e g se intersectam no ponto de coordenadas ( ) ou seja sabese que f^h= g^h= Portanto é um zero comum às duas funções. A função g tem outro zero que vamos designar por a Dado que as duas funções têm domínio R temse que: ^f gh^h= f^h= g^h= = ^ = a = h = = a g c m^h= g^h= / f^h! f ^ = a = h /! = a Então a função f g tem dois zeros: a e g a função tem um zero: a f TI de Matemática A Resolução Versão Página / 5

3 GRUP II... contradomínio da função f é R\ " pelo que a equação f^h = k é impossível se e só se k... Dado que a reta de equação é assíntota horizontal do gráfico da função f o limite de f^h quando tende para é igual a... f^h # 5 # 5 # ( 5 )( ) ( )( ) # # ( )( ) 9 # 9 7 Numerador Denominador Fração n.d. n.d. n.d. não definida Conjunto f g f g() f 5 ` = = = % j^ h ^ h ^ h = Na figura estão representados: o gráfico da função f % g definida pela epressão 5 a reta de equação = 6 56 = f % g os pontos de intersecção das duas linhas cujas abcissas são as soluções da equação f g ^h = ` % j % Portanto as soluções da equação ` f gj^h = arredondadas às centésimas são 6 e vetor FG é perpendicular ao plano FAD pelo que uma equação deste plano é da forma 6 z d = Como o ponto F tem coordenadas ^ 4h temse ^ 6h ^h ^ 4h d = Portanto d = Assim uma condição cartesiana que define o plano FAD é 6 z = TI de Matemática A Resolução Versão Página / 5

4 ... Uma condição cartesiana que define a reta GF é = = z A superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto A tem raio igual a FG Temse FG = FG = ^ 6h = 49 = 7 Assim uma condição cartesiana que define a superfície esférica é ^ h ^ h ^z 4h = 49.. ponto E é o ponto de intersecção da reta EF com o plano HCD Como a reta EF é perpendicular a este plano que é definido por 6 z 5= uma equação vetorial da reta é ^ zh = ^ 4h k^6 h k! R Temse ^ zh = ^ 4h k^6 h = 6k / = k / z 4 k Portanto qualquer ponto da reta EF tem coordenadas da forma ^ 6k k 4 kh sendo k um número real. ponto E é o ponto desta reta cujas coordenadas satisfazem a equação 6 z 5= Vem então 6 ^ 6kh ^ kh ^ 4 kh 5= 6 6k 6 4k 9k 5 = 49k 49 k Portanto o ponto E é o ponto de coordenadas ^5 h.. A área do trapézio 6 PRQ@ é dada por PR Q QR As coordenadas do ponto P são ^cosa senah Como a! r E r ; temse cosa < e sena > Portanto Q cosa PR cosa QR = sena Logo a área do trapézio sena cosa cosa ^ cosah 6 PRQ@ é dada por sena ou seja é dada por TI de Matemática A Resolução Versão Página 4/ 5

5 .. Afirmar que a reta P intersecta a reta de equação = num ponto de ordenada afirmar que tga 5 Como tg a = temse: cosa 64 9 c m = = = 5 cosa 5 cosa 5 cosa cosa = Atendendo a que a! E r r ; temse Como tga = sena temse cosa cosa 5 7 sena = tga cosa = 5 c m= 5 7 Portanto a área pedida é senacosa 5 c m= Este item pode ser resolvido por pelo menos dois processos. 7 9 é equivalente a º Processo EC. CD = EC CD cos^ ^ EC CDh Temse CD = Como a área do triângulo 6 CBE@ é igual a 4 e BC é igual a vem: EB BC Assim = 4 EB BC = 4 EB = 4 EB = 6 EB BC EC EC EC = 6 = = Portanto EC = Temse ainda: cos^ec ^ CDh cos^ce ^ CDh cos^ecd t h cos^ce t Bh EB EC 5 Logo EC. CD = c m4 5.º Processo Consideremos um referencial o.n. do plano em que como a figura sugere a origem do referencial coincide com o ponto A e os pontos B e D pertencem aos eios e respetivamente. D C Como a área do triângulo 6 CBE@é igual a 4 e BC é igual a vem: EB BC = 4 EB BC = 4 EB = 4 EB = 6 A E B Temse portanto: C() D( ) E() Assim EC = C E = ( ) ( ) = ( 6 ) Daqui vem: CD = D C = ( ) ( ) = ( ) Vem então: EC. C D = ( 6 ).( ) 4 4 TI de Matemática A Resolução Versão Página 5/ 5