FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 5º Teste 0º Ano de escolaridade Versão 3 Nome: Nº Turma: Professor: José Tinoco 04/05/07 É permitido o uso de calculadora gráfica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato, na sua forma mais simples Nota: Evite alterar a ordem das questões BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página /7 Versão 3

2 Considere as funções reais de variável real, f e g, definidas por: e g f (0) Indique, justificando, qual é o valor de g f 3 (A) 3 (B) 3 (C) 3 (D) Temos g f 3 g f 3 e Assim, g f g f C (5) Determine, analiticamente, o domínio de cada uma das funções Em f, como a variável está no radicando, temos Df : 0 A inequação 0 resolve-se por uma tabela de sinais, depois de calcular os zeros e fatorizar o polinómio Zeros: Assim, Portanto, é a factorização do polinómio , 0, Logo, Df, 0, Em g, como a variável está no denominador, temos Dg : 0 \ (0) 3 Estude a função f quanto à injetividade f é injetiva sse a,b Df, f a f b a b Usando a definição f a f b a a b b a b a b a a b b 0 a ba b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b 0 a b 0 a b a b Como objetos b e b também têm a mesma imagem, a função é não injetiva Outro processo: Usando um contraeemplo (só serve porque a função é não injetiva) f é injetiva sse a,b Df, a b f a f b Temos f e Logo, como 0 e f 0 f f 0 a função é não injetiva Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página /7 Versão 3

3 (0) 4 Seja h a restrição da função f ao conjunto A 34,,, isto é, h f A Determine o gráfico de h, G h O gráfico de h é o conjunto dos pares ordenados, f, em que A 34,, Temos, h f 0 f h f h Assim, G h, 0, 3, 3, 4, (5) 5 Mostre que a função g é bijetiva e caracterize a sua função inversa g é bijetiva y, ' \ : y g y g y y y y y y y y Assim, para todo o y 0, a equação tem uma única solução y Portanto, g é bijetiva Ou, mostrar que g é injetiva e sobrejetiva g a g b a b b a b a b a g é sobrejetiva y, \ : y g De acordo com os cálculos anteriores, temos Temos também,, tal como feito acima g 0 e D' g Dg \ Dg \, logo g é injetiva No referencial cartesiano da figura seguinte encontra-se uma representação gráfica da função real de variável real, f (0) Indique o domínio e o contradomínio de f Temos, Df 4, e D' f, Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 3/7 Versão 3

4 (0) Indique os intervalos de monotonia de f f é decrescente em f é constante em, f é crescente em, 4, e em, (5) 3 Indique todos os etremos de f, absolutos de relativos, e respetivos minimizantes e maimizantes Mínimo absoluto: y e minimizante, Máimo absoluto: y e maimizante 4 Mínimos relativos: y e minimizante, Máimos relativos: y e maimizante 4; ; y 0 para y para, (0) 4 Indique, justificando, as soluções da equação f (A) 5 3, 3 (C) 4 (D) O gráfico da função f (B) , obtém-se do gráfico de f através de uma refleão de eio Oy, seguida de uma translação de vetor v 0,, descendo unidade Assim, apenas um ponto fica com imagem, tratando-se do ponto de coordenadas 4, Portanto, a equação dada tem apenas a solução 4 Opção C Outro processo: f f No referencial cartesiano da figura do lado está representada uma função f, de domínio, e contradomínio 33, (0) 3 Indique, justificando, o valor lógico da proposição: A função f é par ou é ímpar A função não é par, pois o gráfico de f não é simétrico em relação ao eio Oy A função não é ímpar, pois o gráfico de f é simétrico em relação à origem do referencial (ou em relação aos dois eios) Assim, a proposição dada é FALSA, pois F F F Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 4/7 Versão 3

5 (0) 3 Sendo a, b um ponto do gráfico de f, diga, justificando, qual dos pontos seguintes pertence necessariamente ao gráfico de (A) a, b (B) b,a (C) b, a (D) f, função inversa de f a, b Se o ponto a, b pertence ao gráfico de f então sabemos f a b Assim, como a função f admite inversa, temos f b a, pelo que b,a gráfico de f opção B pertence ao (0) 33 Determine, apresentando todos os raciocínios efetuados, o domínio e o contradomínio da h f função h definida por Sabemos que Dh Df, pois depende das transformações que afetam os objetos Como Df, temos Dh Df Portanto, Dh 6, O contradomínio de h depende das transformações que afetam as imagens de f Assim, como D' f D' f 3, 3, temos: 3 f 3 3 f 3 3 f 3 Logo, D' h 5, 5 h (0) 34 Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f Diga, justificando, qual dos gráficos representa a função g definida por g f Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 5/7 Versão 3

6 O gráfico de f sofre, sucessivamente, as seguintes transformações: º uma contração horizontal de fator ½, através de y f ; º uma refleão de eio Oy, através de y f ; 3º uma translação vertical de vetor v 0,, através de y f Portanto, só a opção D está correta ; 4 Considere, num referencial Oyz, a superfície esférica de centro no ponto C,, 3 passa na origem do referencial (0) 4 Mostre que a equação reduzida da superfície esférica é y z Como a superfície esférica passa na origem o seu raio é r Assim, CO r A equação da superfície é ou seja, y z y z 3 4, 3 4 e que 3 4 (5) 4 Determine os valores de c para os quais a interseção da superfície esférica com o plano de equação z c é uma circunferência de raio 5 Descubramos a equação de tal circunferência: 3 4 y c 3 4 z c c 3 r, temos 4 c 3 5 Como 4 5 c 3 y z z c y c z c c 3 9 c 3 9 c 3 3 c 6 c 0 Portanto, há dois planos nas condições pedidas, para c 6 e c 0 (0) 43 Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica e paralelos ao plano Oz O plano Oz tem equação y 0 Assim, qualquer plano paralelo a este tem equação da forma y b Portanto, os planos paralelos a Oz e tangentes à superfície são do tipo Como a superfície esférica tem centro C,, 3 são y 4 e y 4 y yc r e raio r 4, as equações de tais planos Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 6/7 Versão 3

7 (0) 44 O plano coordenado Oy é o plano mediador de [CD] Diga, justificando, quais são as coordenadas do ponto D (A) (C),, 3 (B),, 3,, 3 (D),, 3 O plano Oy tem equação z 0 Assim, M,, 0 é o ponto médio do segmento [CD], pelo que D,, 3 simétrico de C,, 3, uma vez que é em relação ao plano Oy (só a cota passa a simétrica) opção A (0) 5 Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha 5A Seja f : uma função ímpar e seja g: uma função ímpar Mostre que g f é uma função ímpar Sabemos que: f é ímpar, isto é,, f f g é ímpar, isto é,, g g Queremos mostrar que g f é ímpar, ou seja, D, g f g f Assim, g f = g f = g f = g f = g f cqm g f, por definição da composta de g com f, porque f é ímpar, porque g é ímpar Nota: g f = : f D : Df f Dg = : c universal = 5B Seja g: uma função afim estritamente crescente Mostre que g Sabemos que a função g é da forma Temos de provar que a função também é uma função afim estritamente crescente g g a b, com a 0, pois é crescente também tem declive positivo Determinemos a epressão algébrica da inversa de g Assim, Logo, y a b y b a y b a b y a a b g é uma função afim e tem declive positivo, pois se a 0 então 0 a a a g é uma função afim estritamente crescente Ficha de avaliação da Matemática A 0º Ano Página 7/7 Versão 3