PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2018 CADERNO 1

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) ª FASE 5 DE JUNHO 08 CADERNO... P00/00 Seja X a variável aleatória: Número de vezes que sai a face numerada com o número 3. X segue uma distribuição binomial com 0 provas repetidas e probabilidade de sucesso 4. Assim, n = 0, p = 4 e consequentemente a probabilidade de insucesso é q = 3, pelo que: 4 = 0 C 6 P X = , 06. A resposta correta é a opção (B)... PMC05 Como f é diferenciável no intervalo [ 0, ], logo pelo Teorema de Lagrange temos c ] 0, [: f c = t. m.v. 0,, ou seja, c ] 0, [: f c Como por hipótese f ( 0) =, então c 0, ] [: f c Pelo facto de, por hipótese, [ 0, ]: 0 < f = f f ( 0) = f ou seja, 0 < f < 9 0 < f < 8 < f < < 9, temos em particular que: 0 < f ( c) < 9,. A resposta correta é a opção (B).

2 ... As bases do prisma são heágonos regulares, pelo que a amplitude dos seus ângulos internos é 0 º. Assim, como PQ = 4, vem que QR = 4 e portanto:!!!"!!!"!!!"!!!" QP i QR = QP QR cos P ˆQR = PQ QR cos 0º = 4 4 = 6 = 8... Dado que as faces laterais do prisma são retângulos, então a sua área lateral é dada por: 6 PQ PS = 6 4 PS = 4 PS. Um vetor normal ao plano PQR : + 3y z 5 = 0 é! n(, 3, ) e como a reta PS é perpendicular ao plano PQR, então um vetor diretor da reta PS é! n e portanto: PS : (, y, z) = ( 4, 5, 0 ) + k (, 3, ), k! = 4 + k y = 5 + 3k,k! z = k Como o ponto P pertence à reta PS as suas coordenadas são da forma ( 4+ k, 5+3k, k),k!. Além disso, como P também pertence ao plano PQS e substituindo as suas coordenadas na equação deste, vem: + 3 ( 5 + 3k ) ( k) 5 = k k + k 5 = k 4k = 8 k = Logo, as coordenadas de P são: 4 + ( ), ( ), ( ) = ( 0,, ). Assim, temos PS = ( 0 4 ) + ( 5 ) + ( 0 ) = = 56, pelo que a medida da área lateral do prisma é dada por: 4 PS = 4 lateral do prisma é, aproimadamente, 79, De onde se conclui que a área. 3. O número de casos possíveis é 6 C 6 C. Escolhem-se dois vértices de uma das bases do prisma. O número de maneiras de o fazer é 6 C. Para cada uma destas maneiras, eistem 6 C maneiras distintas de escolher dois vértices da outra base do prisma. O número de casos favoráveis é 6. Cada uma das seis faces do prisma tem eatamente quatro vértices, sendo que eatamente dois pertencem a uma das bases e os outros dois pertencem à outra base. Assim, pela Lei de Laplace, a probabilidade pedida é: 6 6 C 6 C = 75 0,03.

3 Os doze alunos vão dispor-se lado a lado em linha reta para tirar uma fotografia. Há 4! formas diferentes de os alunos de Espanhol se disporem juntos lado a lado. Há 8! formas diferentes de os alunos de Inglês se disporem juntos lado a lado. Há maneiras diferentes de estes grupos de alunos se disporem lado a lado. O grupo de alunos de Espanhol à esquerda e o grupo de Inglês à direita ou vice-versa. Assim, o número pedido é dado por: 4! 8! = A resposta correta é a opção ( D ). 3.. Designemos o acontecimento o aluno escolhido estuda Espanhol por E e o acontecimento o aluno escolhido estuda Inglês por I. Sabemos que: P( E ) = P( I ), pois o número de alunos que estuda Espanhol é igual ao número de alunos que estuda Inglês. () = 4 P( E I ), pois o número de alunos que estudam pelo menos uma das duas P E I línguas é o quádruplo do número de alunos que estudam as duas línguas. () Pretende-se determinar a probabilidade de esse aluno estudar Inglês, sabendo que estuda Espanhol, ou seja, P( I E ). Como P( E I ) = P( E ) + P( I ) P( E I ) e tendo em conta () e (), temos: 4 P( E I ) = P( E ) + P( I ) P( E I ) 5 P( E I ) = P( E ) + P( E ) 5 P( E I ) = P( E ) P( E I ) = 5 P ( E ) Assim, P I E = P ( E I ) P( E ) Logo, a probabilidade pedida é: 40%. = 5 P E P E = = 0,4, ou seja, 40%. 5

4 4. Dado que R = λ e L = I e como L = I ( R ) 6 e 3λ, então temos que I = I ( λ ) 6 e 3λ = ( λ ) 6 e 3λ. Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, representamos, numa janela adequada, a curva correspondente a y = ( λ ) 6 e 3λ e a reta de equação y =. Usando a função da calculadora gráfica para determinar valores aproimados das coordenadas do ponto de intersecção dos dois gráficos, obtemos um valor aproimado (às milésimas) da abcissa do ponto P : P 0, Pretende-se determinar o valor de 0, π para o qual o número compleo z = ( cos + i sen ) 0 verifica a condição Im( z ) = 3 Re ( z ). Na forma trigonométrica temos z = ou seja, z = cos( 0 ) + isen( 0 ). Assim, Im( z ) = 3 Re ( z ) sen( 0 ) = cos( 0 ). 3 ( e i ) 0 e aplicando a fórmula de Moivre temos z = e i ( 0 ),

5 Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, representamos, numa janela adequada, as curvas correspondentes a y = sen 0 e a y = 3. cos 0 Usando a função da calculadora gráfica para determinar valores aproimados das coordenadas do ponto de intersecção dos dois gráficos, obtemos um valor aproimado (às centésimas) da abcissa do ponto P : P 0,03. A resposta correta é a opção ( B ) Como a, a + 6 e a + 8 são três termos consecutivos de uma progressão geométrica tem-se a + 6 = a + 8 a + 6, com a 0 e a 6, sendo a razão, r, da progressão. a a + 6 a Sendo a R \ 0, 6 a + 6 a { }, vem: = a + 8 a + 6 ( a + 6 ) = a( a + 8 ) a + a + 36 = a + 8a 6a = 36 a = 6. Então, r = =. 6 Seja ( u n ) essa progressão. Como a soma dos sete primeiros termos da progressão geométrica é igual a 38 vem: u 7 = 38 7u = 38 u = 38 7 u = 3. Sendo o ponto O o centro e o ponto A de abcissa, então o raio da circunferência é. Assim, a condição que define o círculo é dada por: + y 4. Como os pontos B e F têm abcissa, os simétricos em relação ao eio Oy, C e E, têm abcissa. O semiplano fechado à direita da reta BF reunido com o semiplano fechado à esquerda da reta CE é descrito por. A resposta correta é a opção ( C ).

6 CADERNO P00/00 Tendo em conta que (,, 0 ) são as coordenadas de um vetor diretor da reta r e que qualquer vetor diretor da reta é colinear com este vetor, então podemos eliminar as opções (B) e (C). Além disso, o ponto,, 0 a 3. Podemos, assim, eliminar a opção (D). não pertence à reta r, pois qualquer ponto da reta tem cota igual Logo, a resposta correta é a opção (A). Note-se que o ponto ( 3, 0, 3 ) pertence à reta, pois 3 + = 0 3 = PMC05 Sabe-se que arcsen = π, pois a função arcsen está definida em π, π descobrir a amplitude do ângulo α tal que senα =. e pretende-se Além disso, arccos = π π, pois a função arccos está definida em 0, π 3 e, da mesma forma que o anterior, pretende-se descobrir o ângulo β tal que cosβ =. Logo, arcsen + arccos = π + π π 3 = 7π 6. A resposta correta é a opção (A).

7 9. Comecemos por simplificar w, w = i 5 + i = i + i i i = i 3 i + 3 i i = = i 3 4i = 5 3i = 3i 5 Escrevendo w na forma trigonométrica, temos que 3i = r e iθ, onde: r = 3 i = + ( 3 ) = + 3 = 4 = 3 tgθ = = 3, como o afio de 3i pertence ao 4º Q., θ pertence ao 4º Q.. Logo, π θ = (argumento principal). 3 Assim, w = e i π 3. Como w é uma raiz quarta de z, as restantes raízes quartas de z são: e i π 3 + π 4 = e i π 6 ; e i π 6 + π 4 i π = e 3 e e i π 3 + π 4 = e i 7π 6 Como se pretende a raiz quarta de z cujo afio pertence ao primeiro quadrante, o número compleo pedido é e i π P00/00 Recorrendo a uma tabela de dupla entrada tem-se: Assim, tem-se que X = { 0,, 3, 6 } e P( X = 0 ) = 6 =, P ( X = ) = = 6, P( X = 3 ) = = 6 e P ( X = 6 ) = =, pelo que k = 0. 6

8 A resposta correta é a opção (D). 0.. PMC05 = lim n + k lim u n n n = lim n n + k n n = lim + k n n = e k. Como o limite da sucessão u n é solução da equação ln e = 3 temos: ln e k e k = 3 ln( e ) = 3 k = 3 k = 4 A resposta correta é a opção (D).. Comecemos por eprimir b em função de a : ln b = 4ln a lnb = ln a 4 Assim, temos: b = a 4. a b a ( a 4 ) a a4, como a > a função eponencial é crescente, logo: Calculando os zeros do numerador e do denominador da fração 4 sinal temos: e estudando a variação do n.d. 0 + Conclui-se que o conjunto solução da condição 4 0 é, 0, +.

9 ... Para obtermos os zeros da função g em R, igualamos a zero o primeiro ramo da função: e 4 = 0 e = e = 0 = 0 0 = 0 0. Concluímos que, a função g em R, não tem zeros. Em 0, π, consideramos o segundo ramo: sen não tem zeros. = 0 = 0 sen Logo, não tem zeros no seu domínio. 0. Concluímos que, a função g no intervalo 0, π, A resposta correta é a opção (A)... Para averiguar se a função g é contínua em = 0, temos que verificar se g ( 0 ) = lim 0 + g ( ) = lim 0 g ( ). g ( 0 ) = lim 0 + g ( ) = sen0 = 0 = ; sen0 = 0 = ; lim 0 g ( e ) = lim 0 = 4 e lim 0 = 0 0 (indeterminação). (fazendo y =, temos que se 0, então y 0 ) e y lim y 0 y!## "## $ limite notável = = Como g( 0 ) = lim 0 + g ( ) = lim 0 g ( ) =, então a função g é contínua em = 0.

10 .3. Comecemos por determinar a epressão da derivada da função g em ( ) ( sen( ) ) ( ) = ( sen( ) ) = cos( ) ( sen( ) ) g ( ) = = sen sen( ) sen = cos( ) 0, π : = 0 0 cos( ) sen( ) Determinemos, agora, os zeros de g no intervalo dado: g ( ) = 0 cos( ) = 0 ( sen( ) ) 0 cos( ) = 0 sen( ) = π + k π, k % = π 4 + k π, k % Se k = 0, então = π 4 ;!#" # $ condição universal Se k =, então = 3π 4. Para os restantes valores de k, não pertence ao intervalo pretendido. Estudando a variação do sinal da função derivada e relacionando-o com a monotonia da função, vem: 0 g ( ) π π 4 π g( ) Má Min Má Podemos concluir que: o gráfico da função g é crescente em 0, π 4 e em 3π 4, π e decrescente em π 4, 3π 4. o mínimo relativo é, g 3π 4 = sen 3π = 4 sen 3π = ( ) = 3. os máimos relativos são, g π 4 = sen π = 4 sen π g ( π ) = sen( π ) = 0 =. = = e

11 3. Como a função f é contínua em 0, π a eventual eistência de assíntotas verticais ao gráfico de f será nos pontos 0 e π que são pontos aderentes ao domínio de f e não lhe pertencem. Vejamos: lim 0 + sen = 0 0 (indeterminação) lim 0 + sen = lim 0 + sen = sen lim 0 +!#"# $ limite notável = =, pelo que = 0 não é assíntota ao gráfico de f. lim π sen = π senπ = π = +, logo, = π é assíntota vertical do gráfico de f. + 0 A resposta correta é a opção ( B ). 4. As coordenadas do ponto P e as coordenadas do ponto Q são, respetivamente, P a ln a Q a,. a, ln a a e Logo, o declive da reta PQ é: ln( a) a ln a a ln( a) ln a a ln( a) ln a ln a a ln a m = = = a a a a = a = a. Para que o triângulo retângulo definido pela reta PQ e pelos eios coordenados seja isósceles é preciso que o valor absoluto da ordenada na origem da reta PQ seja igual à abcissa do ponto em que a reta interseta o eio O. Assim, o declive da reta nestas condições é igual a. Então, ln a a = ou ln a a = 0.

12 Para mostrar que esta equação tem pelo menos uma solução no intervalo, consideramos a função f definida por, f Calculemos f f = f ( ) = ln e f = ln( 4 ) ln e ln = ( a ) = : = ln ( 4 ) 4 = ln 4 ln ln a a. e = ln ( 4 ) > 0, porque 4 e >. = ln( 4) ln( e) = = ln ( ) = ln ln e = ln e < 0, porque e <. Logo, como f f ( ) < 0 e a função f é contínua em,, pelo corolário do teorema de Bolzano conclui-se que a função f tem pelo menos um zero em,. ln a Assim, a equação a = tem pelo menos uma solução no intervalo,, o que prova a eistência de um número real a pertencente ao intervalo, para o qual o triângulo referido é isósceles, como queríamos demonstrar.