Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial

Transcrição

1 Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 08 - Época especial Proposta de resolução Caderno... Como A e B são acontecimentos equiprováveis, temos que P A P B E como A e B são acontecimentos independentes, temos que P A B P A P B P A P A P A Logo, como P A B P A + P B P A B, temos que: 0,6 P A + P A P A P A P A + 0,6 0 Finalmente, usando a fórmula resolvente para equações do segundo grau, temos que: P A ± 0,6 Como P A, então temos que P A 0, 0,0 P A ±, P A,6 P A 0, Resposta: Opção B.. Escrevendo a epressão na forma t A cosωt + ϕ, em que A é a amplitude do oscilador harmónico, temos: t sen πt + cosπt sen πt + cosπt sen πt + cosπt cos π sen πt + sen π cosπt sen πt + π cos πt + π π cos πt + π π cos πt π cos πt π + 8π cos πt + 7π Assim temos que a amplitude A do oscilador é Resposta: Opção B Página de 0

2 ... Determinando as coordenadas do vetor OP e depois do vetor u, temos: OP P O,, 0,0,0,, u OP,,,, Assim, temos que as coordenadas do ponto Q são: Q P + u,, +,,,, Q z O P No conteto do problema, como [OP ] é um raio da superfície esférica porque O é o centro da esfera e P um ponto da superfície esférica, então o ponto Q P OP P + P O é o ponto simétrico do ponto P relativamente a O, ou seja, [QP ] é um diâmetro da superfície esférica... Como o ponto R pertence ao semieio negativo das ordenadas, tem coordenadas da forma 0, R,0, com R R. Assim, fazendo a substituição na equação da superfície esférica, podemos calcular o valor de R : 0 + R R + 0 R ± Como R R, as coordenadas do do ponto R são 0,,0. Assim temos que, como O é a origem do referencial OR 0,,0 e OP,,, pelo que: OR OP Logo, recorrendo à fórmula do produto escalar vem: cos ORˆ OP OR. OP OR OP 0,,0.,, Logo, a amplitude do ângulo ROC, em graus, arredondado às unidades, é: AÔC cos 5. Se pretendemos formar conjuntos com, pelo menos, três pessoas de entre um conjunto alargado de cinco pessoas, devemos considerar todos os conjuntos de três pessoas, com todos os conjuntos de quatro pessoas e ainda o único conjunto de cinco pessoas, ou seja: Resposta: Opção D 5 C + 5 C + 5 C Página de 0

3 . Como a soma dos dois últimos elementos da linha do triângulo de Pascal é 5, e o último número é, sabemos que o penúltimo número é 5. Logo os elementos desta linha são todos da forma C k, pelo que esta linha do triângulo de Pascal tem 5 elementos C 0 ; C ; C ; C ;... ; C Como se trata de uma linha com um número ímpar de elementos, e pela simetria do triângulo de pascal podemos dividir estes elementos em dois grupos de 7 elementos iguais dois a dois e o número que ocupa a posição central, diferente de todos os restantes. Assim, escolhendo, ao acaso, dois elementos desta linha, podemos formar 5 C pares de números casos possíveis, sendo que apenas 7 destes pares são compostos por números iguais casos favoráveis, ou seja, o valor da probabilidade, na forma decimal, arredondado às centésimas, é : 7 5 C 0,0 5. Como é a distância, em metros, do ponto F à reta OC, designando por G a distância, em metros, do ponto G à reta OC, temos, de acordo com os dados do enunciado, que: G o tempo que o ascensor demora a percorrer o arco que vai de F até G é t G t, pelo que: t G t t t G t + t t }{{} G t t t Assim, visualizando na calculadora gráfica os gráficos das funções t e t, numa janela compatível com o domínio da função t, reproduzido na figura ao lado, e usando a função da calculadora para determinar valores aproimados das coordenadas do ponto de interseção de dois gráficos, obtemos o valor aproimado às décimas da abcissa do ponto de interseção, ou seja, a distância, em metros, do ponto F à reta OC: 8,7 t t 0 8,7 6. Sabemos que, como i 0 + i + i + i + i i 0 e como i n i n+ n N, então a soma de quaisquer quatro parcelas consecutivas é nula. O valor pedido é a soma de 09 parcelas porque incluí i 0, pelo que, como , temos que: i 0 + i + i + i + i + i 5 + i }{{} i 07 + i 06 + i 07 + i 08 i }{{} 0 + i + i + i i 0 0 Resposta: Opção A Página de 0

4 7. Determinando uma epressão de u n+ u n temos u n+ u n n n + + n + 5 n + n + 6 n + 5 n + 6n + n + 5n + n + n+ n + n+ n + n + n + n + 6n + 8 n + n + 5n + 0 n + n + 9n + 8 9n 0 n + n + n + n + 6n + 8 n n 5n 0 n + n + n + n + Como n > 0, temos que n + n + > 0, e como o quociente de um número negativo - por um positivo n + n +, é sempre um valor negativo, temos que u n+ u n < 0, n N Ou seja, u n é uma sucessão monótona decrescente. 8. Como P A B e P A B P A + P B P A B, temos que: P A + P B P A B 0,6 + 0,7 P A B, P A B P A B, P A B 0, P A B 0, Assim, usando a definição de probabilidade condicionada e como P A 0,6, vem que: P A B 0, P A B P A 0, 0,6 P B A 6 P B A P B A 9. Escrevendo a equação da reta r na forma reduzida, para identificar o valor do declive, temos: a a a a, e assim m r a Calculando o valor do declive da reta s, através das coordenadas do vetor diretor, vem: m s a a Como as retas r e s são paralelas, os respetivos declives são iguais, pelo que podemos calcular o valor de a: m r m s a a a Resposta: Opção A Página de 0

5 Caderno Identificando as coordenadas de um vetor diretor da reta r, temos: 5 z + 5 z 5 z Ou seja, um vetor diretor da reta r é u, 5, e como z z 0 então um vetor normal do plano α é v,0, Calculando o produto escalar dos dois vetores temos: u. v, 5,.,0, Como u. v 0, ou seja, os vetores são perpendiculares, ou seja, a reta r e o plano α são paralelos. Considerando um ponto da reta r, por eemplo o ponto de coordenadas,,0 podemos averiguar se o ponto também pertence ao plano α: Assim, como a reta r é paralela ao plano α e um ponto da reta também pertence ao plano, podemos concluir que r está contida em α Resposta: Opção D v u 0.. Considerando, por eemplo a função g definida pelo gráfico reproduzido na figura ao lado, e compatível com as condições do enunciado, podemos verificar que: a função tem um zero f 0 a função é itada f, [0,] a função tem um máimo f f0, [0,] Assim, de entre as afirmações apresentadas, a única que não pode ser rejeitada com o eemplo da função f, é a de que a função g não é contínua. 0 Resposta: Opção D f. Como 6 6e iπ, resolvendo a equação z + 6 0, temos que: z z 6 z 6 z π+kπ 6e i, k {0,,,} Ou seja, temos números compleos z tais que z + 6 0: k 0 z π+0 6e i e i π k z π+π 6e i e i π k z 6e i π+π i π+6π e i 5π e i π k z 6e e i 7π e i π Como Rez < 0 π < Argz < π π < Argz < π, os elementos do conjunto A são os números z e z, ou seja: z e i π cos π + i sen π cos π + i sen π z e i 5π cos 5π + i sen 5π cos π i sen π + i + i i i Página 5 de 0

6 ... Da análise da tabela de distribuição de probabilidades da variável X podemos verificar que: P X 8 7 Como o produto dos números saídos nos três lançamentos do dado é, o que ocorre apenas se sair face numerada com o número em todos os lançamentos, designado por n o número de faces numeradas com o número no dado, temos que: P X n 6 n 6 n 6 n 6 n 6 Desta forma podemos calcular o valor de n, resolvendo a equação: n n n n 6 n n Resposta: Opção C.. Calculando o valor do ite, vem que: n n + n + n n + n + n n + n n + n + n + n n n e e Resposta: Opção C e e e Página 6 de 0

7 . Para estudar o sentido das concavidades do gráfico e a eistência de pontos de infleão, começamos por determinar a epressão da primeira e depois da segunda derivadas: f + 6 ln + 6 ln + 6 ln f f Como os pontos de infleão são zeros da segunda derivada, vamos determiná-los, no domínio da função, ou seja, para R + : f > Assim, estudando o sinal da segunda derivada para relacionar com o sentido das concavidades, vem: n.d. 0 + n.d f n.d. 0 + f n.d. Pt. I. Calculando a ordenada do ponto de infleão, temos que: Logo, podemos concluir que o gráfico de f: f + 6 ln tem a concavidade voltada para baio no intervalo ]0,] tem a concavidade voltada para cima no intervalo [, + [ tem um único ponto de infleão cujas coordenadas são, Página 7 de 0

8 ... Para mostrar que a função h é contínua em 0, temos que verificar que h0 0 h 0 +h: e0 h0 0 + e h h 0 sen 0 sen sen 0 } {{ } Lim. Notável e sen sen sen 0 sen Indeterminação sen sen 0 sen sen 0 }{{} Lim. Notável 0 sen fazendo, temos que se 0, então sen sen 0 Assim, temos que, como 0 sen 0 sen sen 0 sen 0 0 sen 0 }{{} Lim. Notável h +h h0, a função h é contínua em 0 0 sen.. Como a função h é contínua é contínua no intervalo [ π [,0 porque resulta do quociente e do produto de funções contínuas, é contínua em 0, de acordo com o item anterior, e é contínua no intervalo [0, + [ porque é o quociente de funções contínuas, então o gráfico de h não admite qualquer assíntota vertical. Como o domínio da função é [ π [, +, só poderá eistir uma assíntota oblíqua quando +. Desta forma, vamos averiguar a eistência de uma assíntota de equação m + b: m Assim, como h + + e + + e e + + }{{ + } Lim. Notável + e e + h não é um valor finito, não eiste qualquer assíntota oblíqua do gráfico de h. + Página 8 de 0

9 .. Começamos por determinar a epressão da derivada da função h, para [0, + [: e h e + e e + e + e + + e + e + Calculando os zeros da derivada, no intervalo [0, + [, vem: e + 0 e }{{} Prop. Verdadeira, 0 0 e } {{ 0 } 0 Impossível Como a derivada é contínua e não tem zeros no intervalo [0,+ [, tem sinal constante neste intervalo. Podemos verificar que é positiva, por eemplo, f e + e e, e assim concluir que h é estritamente crescente em [0, + [ Resposta: Opção B 5. Considerando a monotonia da função f no domínio definido [ π ] 6,π, temos: π 6 0 π Temos ainda que: f π cos π π cos π π f cos Como < então Resposta: Opção C f min Má min é um mínimo absoluto, pelo que o contradomínio da função f é [ ], Página 9 de 0

10 6. Como ambas as retas passam na origem do referencial, ambas têm ordenada na origem nula, pelo que a equação reduzida da reta r é m. Assim, a ordenada do ponto P é: P ma Considerando os pontos P a,0 e Q 0,a, a reta r, perpendicular à reta r que contém o ponto O, e ainda o ponto Q, pertencente à reta r, tal que OP OQ, temos que: as áreas dos triângulos [OP P ] e [OQ Q ] são iguais A [OP P ] A [OQ Q ] a reta r é definida pela equação e por isso é simétrica, relativamente ao eio O, à reta s m definida pela equação m as áreas dos triângulos [OQQ ] e [OQ Q ] também são iguais, e assim, são ambas iguais à área do triângulo [OP P ] como as coordenadas do ponto P são a,ma, temos que as coordenadas do ponto Q são ma,a e as coordenadas do ponto Q são ma,a Assim, considerando o ponto Ra,a e o quadrado [OP RQ ] temos que: A [OP Q] A [OP RQ ] A [OP P ] A [OQ Q] A [P QR] a a ma a ma a ma a ma s a ma a ma a ma a ma + m a a ma a + ma a a ma a + ma m a a m a a m Q Q 0 ma a r Q R P P r Página 0 de 0