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Alexandre Coelho Marroquim
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1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos º Ano de Escolaridade Indique de orma legível a versão do teste. Utilize apenas caneta ou eserográica, de tinta azul ou preta. É permitido o uso de material de desenho e de medição, assim como de uma calculadora gráica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classiicado. Para cada resposta, indique a numeração do grupo e do item. Apresente as suas respostas de orma legível. Para cada item, apresente apenas uma resposta. O teste inclui um ormulário. As cotações dos itens encontram-se no inal do enunciado do teste. TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 1/ 8

2 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunerência: ar^a- amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Áreas de iguras planas Losango: Diagonal maior # Diagonal menor Trapézio: Base maior + Base menor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a - amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r- raioh Áreas de superícies Área lateral de um cone: r rg ^r - raioda base; g- geratrizh Área de uma superície esérica: 4rr ] r- raiog Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura Cone: 1 # Áreadabase # Altura 4 Esera: rr ] r- raiog TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página / 8

3 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. 1. Na Figura 1, está representada a região admissível de um certo problema de programação linear em que se pretende maximizar a unção objetivo L, deinida por L x y = + Qual é o valor máximo da unção L nesta região? (A) 14 (B) 15 (C) 0 (D) 1 y 6 4 O Figura 1 x. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo r, r E ;? (A) sen x + cos x (B) (C) cosx tgx tg x - sen x (D) senx # tg x. Considere, em R, a equação trigonométrica sen x = 0, Quantas soluções tem esta equação no intervalo 6-0r, 0r6? (A) 0 (B) 40 (C) 60 (D) 80 TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página / 8

4 4. Na Figura, está representada, num reerencial o.n. xoy, parte da hipérbole que é o gráico de uma unção O gráico da unção intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa -1 As retas de equações x = 1 e y = são as assíntotas do gráico da unção Qual é o conjunto solução da condição ^xh # 0? 0@ 1@,@ 0, + 6 0@,@ 1, + 6 1@,@ 1, + 6 y -1 1 O - Figura x 5. Sejam e g duas unções de domínio R Sabe-se que: a unção é deinida por ^xh= x + 6 a unção g é uma unção quadrática e é uma unção par g^h= 0 Qual das airmações seguintes é verdadeira? (A) A unção (B) A unção (C) A unção (D) A unção # g tem três zeros e a unção # g tem três zeros e a unção # g tem dois zeros e a unção # g tem dois zeros e a unção g g g g não tem zeros. tem um zero. não tem zeros. tem um zero. TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 4/ 8

5 GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Seja a unção, de domínio R, deinida por Z ] x x ] + 1 se x # 1 ^xh= [ ] x se x 1 \ 1 x 1.1. Resolva analiticamente, 1, + 6, a condição ^xh 1 1 x - Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais. 1.. Considere, para cada número real k, a unção g, de domínio R, deinida por gx ^ h= kx+ Determine o valor de k para o qual se tem ^g h^ h = Determine o contradomínio da unção Para resolver este item, recorra à calculadora gráica. Na sua resposta, deve: % reproduzir, num reerencial, o gráico da unção que visualizar na calculadora (sugere-se a utilização da janela em que x! e y! 6-15, 10@ ); nesse reerencial: assinale o ponto do gráico de abcissa 1 e indique a sua ordenada represente as assíntotas do gráico de assinale o ponto do gráico correspondente ao máximo relativo da unção apresentar o contradomínio da unção, usando a notação de intervalos de números reais. TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 5/ 8

6 . Na Figura, estão representados: o retângulo 6 ABCD@, em que DC = 1 e BC = o ponto O, ponto médio do segmento 6 AD@ uma semicircunerência de centro no ponto O e raio 1 Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta 6 AB@, nunca coincidindo com A, mas podendo coincidir com B Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de intersecção da reta PO com a semicircunerência. Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ x! 0, r a B 4 Bk A P B 1 O x Figura Q R D 1 C Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora..1. Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em unção de x, por tgx + sen x.. Para uma certa posição do ponto P, tem-se cos r x c m = 5 Determine, para essa posição do ponto P, a área do polígono [BCDQP] Apresente o resultado na orma de ração irredutível.. Na Figura 4, está representada, num reerencial o.n. Oxyz, parte do plano ABC, de equação x + y + z = 1 z C Tal como a igura sugere, A, B e C são os pontos de intersecção deste plano com os eixos coordenados. O B y.1. Determine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto D (1,, ) e é paralelo ao plano ABC A x Figura 4.. Seja M o ponto médio do segmento de reta 6 AC@ Determine uma condição cartesiana da reta MB.. O plano ABC é tangente, num ponto P, a uma esera centrada na origem do reerencial, tal como se ilustra na Figura 5. z C Determine o valor exato do volume dessa esera. P Nota: Tenha em conta que a reta OP é perpendicular ao plano ABC O B y A x Figura 5 TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 6/ 8

7 4. Na Figura 6, está representado um triângulo equilátero [ABC] Seja a o comprimento de cada um dos lados do triângulo. Seja M o ponto médio do lado 6 BC@ C M A a Figura 6 B Mostre que AB : AM = a 4 Nota: AB : AM designa o produto escalar do vetor AB pelo vetor AM FIM TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 7/ 8

8 COTAÇÕES GRUPO I pontos pontos pontos pontos pontos 50 pontos 1. GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 150 pontos TOTAL pontos TI de Matemática A 11.º Ano mar. 014 V1 Página 8/ 8

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