FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 6

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 6.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 6 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 05/06/07 É permitido o uso de calculadora gráfica Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato, na sua forma mais simples. Nas questões de Escolha Múltipla indique, de forma clara, apenas a letra da opção que achar correta, sem apresentar cálculos ou justificações. Nota: Evite alterar a ordem das questões. BOM TRABALHO Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão 6

2 . Na figura do lado encontram-se representadas graficamente as funções f e g, tais que: f é uma função afim definida por f ; g é uma função quadrática de vértice V 3, e que contém o ponto A 0,. (5).. Mostre que a função g é definida por g 4 Sabemos que a função é do tipo g a h k. Como V h,k 3, temos g a 3 Sendo A 0, g, temos g 0, isto é, Portanto, g a 0 3 a4 4 a 3 = = = 4 c.q.m. (0).. Indique uma restrição de g que seja injetiva e caracterize a sua inversa. Como V 3,, a função h g 4 tal que Dh, g Determinemos a epressão algébrica de h é injetiva. 4 4 Assim, h 3, pois D' h Dh, e Dh D' h,3 e Nota: A restrição h g 4 ao conjunto Dh, Neste caso, h 3, Dh D' h,3 e D' h Dh, também serve. (0).3. Escreva a epressão algébrica de f sem usar módulos. Temos, f = = se 0 se 0 = se se (0).4. Resolva, analiticamente, a condição f g. f g Zeros: Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página /7 Versão 6

3 Soluções S, 03 S, S 0, 3,, Logo, (5).5. Qual é o valor de g f? obtidas através do esboço dos gráficos (A) (B) 0 (C) (D) 3 Temos: g f = g f = g = 3 opção D f, pois, isto é, o objeto que tem imagem por f é o. (5).6. Qual é o contradomínio da função h definida por h g (A) 3? 8, (B) 5, (C) 85, (D), 5 O contradomínio de h depende das transformações que afetam as imagens de g. Assim, como D' g 3 D' g, 3, temos: g3 3 g3 6 g 3 6 g 3 6 h 5 Logo, D' h 5, opção B (5).7. Qual dos gráficos seguintes representa a função f g? O gráfico de f g f g passa a ter três zeros; os dois de f, e o zero de h, que é. Assim, só as opções B e D podem representar f Temos também f g f g g opção D Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 3/7 Versão 6

4 . No referencial cartesiano da figura seguinte encontra-se uma representação gráfica da função f, definida por f 5. Sabe-se que: O gráfico da função f interseta o eio O no ponto A; O ponto P, de abcissa a 0, pertence ao gráfico da função f ; B é um ponto do eio O tal que, para cada posição do ponto P, tem-se AP (5).. As coordenadas do ponto A são... 5 (A) 0, (B) 0, (C) 0, 0, Como o ponto A está no eio das abcissas, a sua abissa corresponde ao zero da função. BP. (D) Assim, f Portanto, A 0, opção C (5).. Resolva, analiticamente, a equação f. f Verificação: 5 0 P.V. Portanto, S (0).3. Determine, analiticamente, o domínio e o contradomínio da função f. 5 0 = : Df : 5 5 =, 5 Para temos 5 0, assim 5, portanto D' f,. (5).4. Determine o valor eato do perímetro do triângulo [ABP] para a. Temos Perímetro ABP AB BP AP AB AP, pois AP BP Para a temos P, f e AB AP' P' B AP', com P' a, 0, 0 Assim, sendo f 9, temos P, e A 0, Portanto, como o triângulo é isósceles, tem-se Perímetro ABP AP' AP Temos AP' e AP Logo, Perímetro ABP u. comprimento Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 4/7 Versão 6

5 (5).5. Qual é a área do triângulo [ABP] para a 0? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 AB h Temos Área ABP, sendo h f a f 0 5 Como o triângulo é isósceles, a abcissa de P é o ponto médio da sua base. Assim, AB AO 4 Portanto, Área ABP 4 5 = 5 = 5 opção A (5).6. Mostre que a área do triângulo [ABP], em função a, é dada por: 5 A a a a AB h Temos Área ABP, sendo h f a a 5 Como o triângulo é isósceles, a abcissa de P é o ponto médio da sua base. Assim, AB a, sendo Portanto, Área ABP AP' a a p A a a 5 =a a 5 c.q.m. (5).7. Eiste um valor de a, inferior a 0, para o qual o triângulo [ABP] tem 40 unidades de área. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o valor de a, com aproimação às centésimas. Reproduza, num referencial adequado, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificados. Temos de descobrir o valor de 0 Reproduzindo a função a que é solução da equação a a Aa, usando a janela [-3,0][0,50], obtemos a representação gráfica da figura do lado. Introduzido a função 40, obtemos uma reta que cruza Aa num único ponto. Como o comando G-SOLV, INTESECT, obtemos o ponto de interseção das duas funções. Assim, a área do triângulo é igual a 40 para a 8, 7 ( c.d.). Outro processo Transformar a equação a a 5 40 em a a De seguida procurar o zero da função g a a a Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 5/7 Versão 6

6 3. Na figura do lado encontra-se uma representação gráfica de uma função polinomial f, do 3.º grau, onde estão assinalados os pontos de interseção com os eios coordenados. (5) 3.. Os gráficos seguintes foram obtidos a partir de transformações do gráfico de f. Qual dos gráficos representa a função g definida por h f. O gráfico de g f obtém-se do gráfico de f efetuando uma refleão de eio O, seguida de uma translação de uma unidade para cima, vetor v 0, opção A (5) 3.. Qual é o domínio da função g definida por g f? (A) \, (B) \, (C), \ (D), 0 = \, Dg : f opção B (5) 3.3. Para que valor(es) de k a equação f k tem eatamente três soluções. (A) 0, (B),0 (C) (D) 0, Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 6/7 Versão 6

7 O gráfico de f obtém-se do gráfico de f mantendo os pontos de ordenada não negativa e transformando os de ordenada negativa nos seus simétricos em relação a O. Assim, o gráfico de f tal como sugere a representação do lado. Portanto, a equação passa a ter apenas imagens não negativas, f k tem eatamente três soluções quando k opção C (5) 3.4. Determine, analiticamente, o conjunto-solução da condição f f 0. Para resolver esta inequação recorremos a uma tabela de sinais, para estudar o sinal de cada fator e o sinal do produto. Zeros de Zeros de f : f : unidade para a direita O sinal de f e de, o gráfico de f obtém-se do de f é conhecido através do gráfico dado. f deslocando-o - - f f f f Portanto, S,, (0) 3.5. Escreva a epressão algébrica de f na forma de um polinómio fatorizado. Como - e são os zeros de f, sendo - um zero duplo, a epressão algébrica da função é do tipo f a, sendo a o coeficiente do monómio de maior grau. Sabemos também que o gráfico de f cruza O no ponto de ordenada, isto é, Assim, f 0 a0 0 Portanto, f a 4 a f 0. Ficha de avaliação da Matemática A 0.º Ano Página 7/7 Versão 6