FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 11.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 11/1/017 Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato, na sua forma mais simples. Evite alterar a ordem das questões. Nota: O teste é constituído por duas partes Caderno 1: 0 minutos (é permitido o uso de calculadora) Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 1/7 Versão

2 Caderno 1: 0 minutos (é permitido o uso de calculadora) 1. Sejam u, v e w vetores tais que, u, v, w v e tanu, v 1. (1) 1.1. Calcule u v u v = u e v w u. v cosu, v = cos = 1 = 6 c.a. tanu, v 1 u, v, pois 0 u, v v w u = v w v u = 0 6 = 1 (10) 1.. Calcule Temos u u v. v = u v u v = 9u u u v v u v v = 9 u 6u v v = 9 66 = = 1 6 () 1.. Qual das afirmações seguintes é falsa? (A) (C) w u w u u w w (B) u w u w w w (D) u w u w Quando os vetores u e w formam um ângulo obtuso ou raso temos uw 0. Assim, u w 0 Portanto, u w u w, pelo que (B) é falsa OPÇÃO B. Dados quatro pontos distintos, A, B, C e D, num referencial ortonormado Oy, sabe-se que são vértices do retângulo [ABCD], da figura seguinte. ().1. O lugar geométrico dos pontos P do plano que satisfazem a condição AP CP 0 é: (A) A circunferência de diâmetro [AC]. (B) A mediatriz do segmento de reta [AC]. (C) A reta que passa em C e é perpendicular a [AC]. (D) A reta tangente à circunferência de diâmetro [AC] no ponto P. Sabemos que AP CP 0 AP CP, isto é, o ponto P forma com A e C um ângulo reto. Portanto, P representa uma circunferência de diâmetros [AC]. OPÇÃO A Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

3 (1).. Recorrendo a propriedades do produto escalar, mostre que Temos AC BD AB BCBA AD = AB BCAB BC AC BD BC AB. = AB AB AB BC BC AB BC BC = AB 0 0 BC = AB BC = BC AB c.q.m. (1).. Sendo AB 6 e BC, determine um valor aproimado à décima do grau da amplitude do ângulo dos vetores AC e BD. ACBD Sabemos que cos, sendo AC, BD AC BD Da questão anterior temos AC BD BC AB = 6 = 16 6 = 0 Temos também AC BD AC 6 Ou T. Pitágoras 0 0 Portanto, cos 1 cos 1 11, , ou seja, AC, BD 11, 6º 1 Logo, (1 c.d.). Sabe-se que, é uma solução da equação sen. ().1. Qual das epressões seguintes representa uma solução da equação cos? (A) (B) (C) (D) Como é uma solução da equação sen, sabemos que sen. Agora só temos de verificar qual das epressões dadas é equivalente a sen. cos sen (A) (B) Falsa cos cos cos Falsa cos (C) cos (D) Falsa cos sen sen Verdadeira OPÇÃO D (1).. Relativamente ao triângulo da figura do lado, sabe-se que AB cm, AC cm e Determine o valor eato de BC. sen. Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

4 Pela lei dos cossenos, temos Cálculo de cos : BC cos = 0cos sen cos 1 cos 1 9 cos, pois, Portanto, BC cos (1).. Calcule AB AC e CB AC, apresentando todos os cálculos ou raciocínios efetuados. Temos, AB AC AB AC cos = CB AC = = 9 CAAB AC = CA AC AB AC = AC AC 9 = AC 9 = 9 = 18 Outro processo: = CB CA CB AC = CB CA = CB CA cosc = 1 = 18 Usar a lei dos senos (mais trabalhoso) ou a lei dos cossenos para descobrir cosc cosc cosc 1 1 cos C Na figura do lado está representada uma circunferência de centro C e raio, tangente a uma reta r, no ponto Q. Inicialmente, o ponto P encontra-se diametralmente oposto ao ponto Q e desloca-se sobre a circunferência, no sentido indicado pela seta. Seja d a função que a cada valor de, em radianos, faz corresponder a distância de P à reta r. ().1. Qual é o contradomínio da função d? (A) 06, (B) 06, (C) 6, (D) 0, d. Como a circunferência tem raio, sabemos que 0 d 6, sendo d 0 6 e 0 Portanto, D' d 06, OPÇÃO B (10).. Mostre que a função d é definida pela epressão d cos Para cada posição do ponto P (até atingir 90º. ), temos d QA QC CA CA, sendo QC o raio da circunferência e CA o cateto adjacente ao ângulo, conforme mostra a figura. CA Temos, cos CA cos. Portanto, d cos Será que esta epressão serve para qualquer valor de? Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

5 Para valores da amplitude compreendidos entre 90º e 70º, a cosseno é negativo. Neste caso, ao somarmos cos estamos a somar um número negativo, quer dizer, estamos a subtrair a medida do segmento vermelho, tal como a figura sugere. Logo, a epressão d cos serve para qualquer amplitude. (1).. Durante uma volta completa, o ponto P esteve duas vezes a 1 centímetro da reta r. Determine para que valores de isso aconteceu. Apresente a resposta em radianos com aproimação às centésimas. Temos de resolver a equação d 1, para 0, 1. d co 1 co 1 co c.a. cos, 00..., 0 k,k função inversa (calculadora) Para k 0 remos, 0, 0 Para k 1 remos, 0, 0 8, 8, 98 Portanto,, 0 rad e, 98 rad Caderno : 0 minutos (não é permitido o uso de calculadora). Na figura do lado está representado um tetraedro regular [ABCD] de aresta a. ().1. O valor de BA AC, em função de a, é Temos (A) a (B) a (C) a (D) 1 a BA AC AB AC a acos 60º a OPÇÃO C a (1).. Recorrendo a propriedades do produto escalar, prove que AB CD. Mostrar que AB CD equivale a mostrar que AB CD 0 Temos AB CD AB CA AB BD AB CA AB AB AB BD AB AC AB AB BA BD Outro processo: a a cos 60º a a a cos 60º AB CD AC CBCA AD... AB AC AB BA BD 1 1 a a 0 c. q. m. a a a Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página /7 Versão

6 (1).. Sabendo que os pontos A e B têm coordenadas A 1,, e B 1, 0, produto escalar, determine uma equação geral do plano mediador de [AB]. Sendo M,, 01,, 1, recorrendo ao o ponto médio de [AB], o plano mediador do segmento é o lugar geométrico dos pontos P, y,z que satisfazem a condição MP MP AB 0 Assim, MP P M, y,z 0, 1, 1, y 1,z AB B A,,,,,, Portanto, MP AB 0 1 1,y 1,z,, 0 y z y z y z 0 y 10z 9 0 A equação do plano mediador é y 10z 9 0 (ou outra equivalente) AB, ou seja, 6. No referencial ortonormado Oy da figura do lado estão representadas duas retas, r e s, que se intersetam no ponto C 0,, tais que: r interseta O no ponto A e tem inclinação de 60º s tem a direção do vetor s, 1 (1) 6.1. Justifique que a reta r tem equação y e determine as coordenadas do ponto A. Sendo y m b a equação reduzida de r, sabemos que b e m tan 60º. Portanto, a equação reduzida de r é y. Para descobrir as coordenadas do ponto A comecemos por observar que a sua ordenada é zero. Assim, 0 (10) 6.. Averigue se r e s são perpendiculares. A,.. Portanto, 0 Duas retas são perpendiculares se os seus vetores diretores são perpendiculares ou se o produto dos seus declives é º processo: Usando os vetores diretores Vetor diretor de s: s, 1 Vetor diretor de r: r 1, m 1, Portanto, r s,, Logo r s e as retas são perpendiculares.º processo: Usando os declives s 1 1 Temos mr e ms s 1 Portanto, 1 m m 1. Logo as retas não são perpendiculares. r s Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 6/7 Versão

7 () 6.. A inclinação da reta s é... Como (A) 6 (B) (C) 6 1 ms, temos tan 0 1 Portanto, tan 6 6 (D) 6 OPÇÃO A () 7. Qual das epressões seguintes define uma função de domínio que seja sempre positiva? (A) sen cos (B) 1 Como 1 sen 1, para y 11, sen (C) cos tan (D) cos sen temos cos y 0 OPÇÃO D Ficha de avaliação da Matemática A 11.º Ano Página 7/7 Versão