Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. 3º Teste de avaliação versão2.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEMETRI N PLN E N ESPÇ I 3º Teste de avaliação versão Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha mqaúltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Num referencial o.n., o simétrico, em relação ao eio das abcissas, do ponto R de coordenadas 3,0, é o ponto R' de coordenadas: () 0,3 () 0, 3 (C) 3,0 (D) 3,0. Na figura está representado um referencial o.n. z e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. s arestas dos cubos ou estão contidas nos eios coordenados H I z L J ou lhes são paralelas. ponto M tem coordenadas 4,4,4. F G E M N condição 0 z 8 representa: () a reta LJ () a reta IH C' P Q (C) a reta HL (D) a reta IJ 3. Na figura está representada, em referencial o.n., uma circunferência de centro no ponto ( ). Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? () ( ) ( ) () ( ) ( ) (C) ( ) ( ) (D) ( ) ( ) Professora: Rosa Canelas 1 no Letivo 01/013

2 4. Na figura está representado, em referencial o.n. z, um cubo de aresta. Sabe-se que: face [CD] está contida no plano aresta [DC] está contida no eio ponto D tem coordenadas (0,,0) s pontos (,,0) e (0,4,0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos etremos são estes dois vértices? () C () CG (C) DH (D) CF 5. Na figura está representada, num referencial o.n., a reta r, que interseta o eio no ponto de abcissa 3 e o eio no ponto de ordenada 3. Qual é a equação reduzida da reta r () () (C) (D) Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eato. 1. Num referencial o.n.,e,f, considere 1.1. Calcule e u. 1.. Verifique se os vetores u e C são colineares. 1,3, 0,, 1.3. Determine as coordenadas do ponto médio de C. C 5,1 e o vetor u e f quadrilátero CD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D Escreva uma equação da circunferência que tem centro em C e passa por Escreva uma equação da reta que contém e tem a direção de u.. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço. vértice é a origem do referencial. s faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados. ponto E tem coordenadas (4, 6,3) Professora: Rosa Canelas no Letivo 01/013

3 ponto M é o ponto médio da aresta [C].1. Determine o vetor usando as letras da figura... Determine o perímetro da secção produzida no paralelepípedo pelo plano DM..3. Utilize as letras da figura para identificar duas retas não complanares, mas perpendiculares..4. Determine os valores de a e b de forma que e ( ) sejam colineares. z G D.5. Determine uma condição que defina a esfera de diâmetro [G]. F E C M 3. Na figura, está representado, num referencial o.n. z, o cubo [CDEFGH] (o ponto H não está representado na figura) 3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas. 3.. dmita agora que: ponto tem coordenadas ( ) ponto E tem coordenadas ( ) ponto F tem coordenadas ( ) Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano G Escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto e é paralela ao eio z. 4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [CD], P e Q são os pontos médios de C [D] e [], respetivamente. Mostre que, utilizando operações com D Q vetores e conclua sobre a posição relativa dos P segmentos de reta [D] e [PQ]. FIM Professora: Rosa Canelas 3 no Letivo 01/013

4 Cotações Grupo I Questão Cotação Grupo II Questão Cotação Geometria Formulário Perímetro do círculo: r, sendo r o raio do círculo Áreas Paralelogramo: base altura Losango: diagonal maior diagonal menor Trapézio: base maior base menor altura Polígono regular: perímetro apótema Volumes Círculo: r, sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 4 r, sendo r o raio da esfera Prismas e cilindro: área da base altura Pirâmide e cone: 1 área da base altura 3 Álgebra Esfera: 4 r 3, sendo r o raio da esfera 3 Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau da forma a b c 0 : b b 4ac a Professora: Rosa Canelas 4 no Letivo 01/013

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEMETRI N PLN E N ESPÇ I 3º Teste de avaliação versão proposta de resolução Grupo I 1. (C) Num referencial o.n., o simétrico, em relação ao eio das abcissas, do ponto R de coordenadas 3,0, é o ponto R' de coordenadas 3,0 porque R pertence ao eio das abcissas: z. () Na figura está representado um referencial o.n. z e um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais. H I L J s arestas dos cubos ou estão contidas nos eios coordenados ou lhes são paralelas. F G E M N ponto M tem coordenadas 4,4,4. condição 0 z 8 representa a reta IH C' P Q 3. (D) Na figura está representada, em referencial o.n., uma circunferência de centro no ponto ( ). condição das seguintes que define a região sombreada, incluindo a fronteira é ( ) ( ) 4. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. z, um cubo de aresta. Sabe-se que: face [CD] está contida no plano aresta [DC] está contida no eio ponto D tem coordenadas (0,,0) s pontos (,,0) e (0,4,0) são os vértices e C do cubo. plano mediador do segmento de reta [C] é DH 5. () Na figura está representada, num referencial o.n., a reta r, que interseta o eio no ponto de abcissa 3 e o eio no ponto de ordenada 3. equação reduzida da reta r porque o declive da reta que passa nos pontos ( ) e ( ) é e a ordenada na origem que é a ordenada do ponto onde a reta interseta o eio das ordenadas é 3. Professora: Rosa Canelas 5 no Letivo 01/013

6 Grupo II 1. Num referencial o.n.,e,f, considere 1.1. Calculemos e u u 1 5 1,3, 0,, C 5,1 e o vetor u e f. 1.. Verifiquemos se os vetores u, 1 e C 5 1,1 3 4, são colineares: P.V.. Como os vetores verificam a condição de colinearidade podemos concluir que são colineares Determinemos as coordenadas do ponto médio de C M, 3, C 1.4. quadrilátero CD é um paralelogramo. Determine as coordenadas do ponto D. bservando a figura concluímos que: D C D 5,1 1,5 6, Vamos escrever uma equação da circunferência que tem centro em C e passa por. Para escrever a equação precisamos de conhecer o centro C5,1 e o raio r C : equação é Vamos escrever uma equação da reta que contém e tem a direção de u podemos optar por uma equação vetorial:, 1,3 k, 1,k IR C D. Na figura está representado um paralelepípedo, em referencial o.n. do espaço. vértice é a origem do referencial. s faces do paralelepípedo são paralelas aos planos coordenados. ponto E tem coordenadas (4, 6,3) ponto M é o ponto médio da aresta [C].1. Determinemos o vetor... Determinemos o perímetro da secção produzida no paralelepípedo pelo plano DM. Esta secção é um retângulo em que um lado é [D] e sabemos que D G z E M F C D 3, outro é [DM] cujo comprimento podemos calcular por Professora: Rosa Canelas 6 no Letivo 01/013

7 aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo [M]: M M ou seja 6 M M 40 M 10 e o perímetro é P Duas retas não complanares, mas perpendiculares são, por eemplo e DG..4. Determinemos os valores de a e b de forma que ( ) e ( ) sejam 1 a 1 b 3 3 colineares. Terá de ser então 4a 6 4b 3 a b Determinemos uma condição que defina a esfera de diâmetro [G]. Sabendo que G0,0,3 e 4,6,0 podemos calcular o centro, ponto médio de [G]: M,, G,3, e podemos ainda calcular o raio G r uma condição que defina a esfera de diâmetro [G]: z 4 3. Na figura, está representado, num referencial o.n. z, o cubo [CDEFGH] (o ponto H não está representado na figura) 3.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. 3.. dmita agora que: ponto tem coordenadas ( ) ponto E tem coordenadas ( ) ponto F tem coordenadas ( ) Determinemos a área da secção produzida no cubo pelo plano G. Esta secção é o retângulo [GH] que tem um lado igual à aresta do cubo e outra igual à diagonal EF e facial. Calculemos podemos então saber que a diagonal facial é G 7. a área da secção produzida no cubo pelo plano G é Vamos escrever uma equação vetorial da reta que contém o ponto e é paralela ao eio z. Precisamos de conhecer o ponto e um vetor com a direção do eio z: Professora: Rosa Canelas 7 no Letivo 01/013

8 é tal que EF 11, 1,,3,6 13,,8 um vetor director do eio z é e 0,0,1 Uma equação da reta é,,z 13,,8 k 0,0,1,k IR 3 4. No referencial o.n. da figura está um trapézio retângulo [CD], P e Q são os pontos médios de [D] e [], respetivamente. Mostre que, utilizando operações com vetores e conclua sobre a posição relativa dos segmentos de reta [D] e [PQ]. Hipótese: [CD] é um trapézio retângulo P é ponto médio de [D] Q é ponto médio de [] Tese: Demonstração: D D C D Q P PQ P Q D P Q Então D P Q P Q PQ Como D PQ podemos concluir que os vetores D e PQ são colineares e assim os segmentos de reta [D] e [PQ] são paralelos. Professora: Rosa Canelas 8 no Letivo 01/013

9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEMETRI N PLN E N ESPÇ I 3º Teste de avaliação versão1 critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos C D C Grupo II (150 pontos) Calcular 5 Calcular u Calcular C 3 plicar a condição de colinearidade 5 Concluir Figura Encontrar a relação para calcular D 3 Calcular D Calcular o raio 5 Escrever a equação pedida Calcular o comprimento 5 Calcular a largura Calcular o Perímetro 3 Professora: Rosa Canelas 9 no Letivo 01/013

10 Calcular G 5 plicar a condição de colinearidade Calcular as coordenadas de G e Calcular o centro 3 Calcular o raio 3 Escrever a condição Completar a epressão 1 3 Completar a epressão 3 Completar a epressão Identificar a secção 3 Calcular a aresta Calcular a diagonal 3 Calcular a área Calcular o ponto 4 Identificar o vetor 3 Escrever a equação Total 00 Professora: Rosa Canelas 10 no Letivo 01/013