Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Grupo I

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1 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. screva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (ero) pontos. 1. s pontos (,7) e ( 5,7 ) são simétricos em relação: () à origem () à recta de equação = 1 () à bissectri dos quadrantes pares () à recta de equação = 1. Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição: () 0 () 0 () 0 () 0. onsidere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial. lugar geométrico definido pela condição = 4 = 4 é: () o plano () a recta () a recta () a recta G 4. figura representa um octaedro regular de aresta 5 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é: V () 5 () 5 () 1 5 () 5 Professora: Rosa anelas 1 no Lectivo 009/010

2 5. onsidere um cubo de aresta a e cubo de aresta b. Sabe-se que o volume de é o dobro do volume de então o valor de a b é () () () () 1 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. No referencial da figura a unidade nos dois eios é a quadrícula. 4 G H 1.1. Identifique as coordenadas dos pontos,,, e I 1.. Identifique as equações das rectas que contêm as fronteiras da região L K 5 sombreada e em seguida defina-a por uma condição. -. Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos:,,,, e. -4 J I onsidere o referencial o.m., em que a unidade é igual à aresta dos cubos..1. Indique as coordenadas dos pontos,,,, e... screva a equação do plano.. efina por uma condição a recta..4. Identifique o ponto simétrico de em relação a. Indique as suas coordenadas..5. esenhe na figura a secção produida no sólido pelo plano e calcule a sua área. Professora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

3 . Na figura estão traçadas seis diagonais faciais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo..1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular... Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade, prove que a área de cada face do tetraedro é e que a área total do tetraedro é... Repare que o espaço entre o tetraedro e o cubo é ocupado por quatro pirâmides geometricamente iguais, das quais uma está evidenciada na figura. Mostre que o volume do tetraedro é 1 do volume do cubo. Sugestão: epois de representar a aresta do cubo por comece por responder às seguintes questões: Qual é a área da base da pirâmide sombreada na figura? Qual é a altura da pirâmide? Qual é o seu volume? 4. s rectas de equação = e = 6 definem com uma recta paralela ao eio das abcissas um triângulo de área cm. etermine uma possível equação dessa recta. Verifique se a solução que encontrou é a única. Sugestão: aça uma representação geométrica da situação. IM Questão otação Professora: Rosa anelas no Lectivo 009/010

4 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação Proposta de resolução Grupo I 1. () s pontos (,7) e ( 5,7 ) são simétricos em 8 relação à recta de equação = () Na figura junta, o conjunto de pontos sombreado pode ser definido pela condição 0 5. () onsidere o cubo com 4 cm de aresta representado no referencial. lugar geométrico definido pela condição = 4 = 4 é a G recta porque = 4 representa o plano da face [G] e = 4 representa o plano da face []. V 4. () figura representa um octaedro regular de aresta 5 ao qual foi aplicado um referencial o.m. com origem no centro do octaedro. Podemos concluir que a cota de V é 5 porque V é metade da diagonal, dum quadrado com 5 de lado, que mede () onsidere um cubo de aresta a e cubo de aresta b. Sabe-se que o volume de é o dobro do volume de então o valor de a b é, porque a raão dos volumes de duas figuras semelhantes é o cubo da raão de semelhança (raão dos comprimentos). Professora: Rosa anelas 4 no Lectivo 009/010

5 Grupo II 1. No referencial da figura a unidade nos dois eios é a quadrícula s coordenadas dos pontos,,, e I são: (,), ( 1, ), ( ) ( 5, ) e I( 6, ) 5,1, 1.. s equações das rectas que contêm L 4 G H K 5 as fronteiras da região sombreada são: - L: = : = 1 K: = 5 LK: = 0 : = 1 : = -4 J I Uma condição que define a ona é: ( 1 0 ) ( ). Num sólido constituído por três cubos, geometricamente iguais, foram assinalados seis pontos:,,,, e. onsidere o referencial o.m., em que a unidade é igual à aresta dos cubos..1. s coordenadas dos pontos,,,, e são: ( 0, 1,1 ), ( 1,0,0 ), ( 0,0,1 ), ( 1,0, ), ( 1,1,1 ) e ( ) 0,1,0... equação do plano é = 0... Uma condição que define a recta é = 0 = ponto simétrico de em relação a é ( 1,0,0 ). Indique as suas coordenadas..5. Na figura está desenhada a secção produida no sólido pelo plano e a sua área é a de rectângulos com 1 de largura e de comprimento, logo a área da secção é: = ( 1 ) =. Na figura estão traçadas seis diagonais faciais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo..1. poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular porque tem 4 faces, geometricamente iguais, que são triângulos equiláteros e em cada um dos 4 vértices concorrem eactamente faces. Professora: Rosa anelas 5 no Lectivo 009/010

6 .. Supondo que a aresta do cubo é igual à unidade ficamos a saber que a diagonal de cada face é cada face do tetraedro é altura h ( ) h h h. Para provarmos que a área de vamos começar por calcular o valor da = + = = 4 h área do triângulo é = = área total do tetraedro é t = 4 t = como queríamos provar... Reparemos que o espaço entre o tetraedro e o cubo é ocupado por quatro pirâmides geometricamente iguais, das quais uma está evidenciada na figura. Mostremos que o volume do tetraedro é 1 do volume do cubo. área da base da pirâmide sombreada na figura é b = b = altura da pirâmide é volume da pirâmide é volume do cubo é Vcubo V pirâmide = 1 = = 6 volume do tetraedro é: Vtetraedro = Vcubo 4 Vpirâmide ou seja Vtetraedro = 4 Vtetraedro = Vtetraedro = o que significa que o volume 6 6 do tetraedro é 1 do volume do cubo. Professora: Rosa anelas 6 no Lectivo 009/010

7 4. s rectas de equação = e = 6 definem com uma recta paralela ao eio das abcissas um triângulo de área cm. eterminemos uma possível equação dessa recta que terá de ser do tipo = a. a observação da figura ao lado podemos 8 constatar que os catetos do triângulo medem 6 a e que a área do triângulo é dada por = ( 6 a)( 6 a) 6 4 (6,6) ( )( ) 6 a 6 a ntão: = 64 = 6 1a + a 1 ± a 1a 8 = 0 a = (a,a) = a (6,a) 1 ± 56 1 ± 16 a = a = a = 14 a = oncluímos assim haver duas soluções para o problema: = dá um triângulo à esquerda da recta de equação = 6 e = 14 daria um triângulo à direita da recta de equação = 6. IM Professora: Rosa anelas 7 no Lectivo 009/010

8 scola Secundária com º ciclo. inis 10º no de Matemática Geometria no Plano e no spaço I º Teste de avaliação ritérios de correcção Grupo I Grupo II alcular as coordenadas dos 5 pontos screver uma equação de cada uma das 6 rectas... 1 screver a condição que define a ona alcular as coordenadas dos 6 pontos screver uma equação do plano 10.. screver uma condição que defina a recta Indicar o ponto Indicar as coordenadas do ponto esenhar a secção.. 9 alcular a área da secção Justificar que se trata de um tetraedro.. 5 Justificar que os triângulos são equiláteros Justificar que tem 4 faces geometricamente iguais.. 1 Justificar que concorrem faces em cada vértice alcular a aresta do tetraedro 4 alcular a altura das faces. 4 alcular a área de cada face 4 Professora: Rosa anelas 8 no Lectivo 009/010

9 alcular a área total do tetraedro alcular a área da base da pirâmide Indicar a altura da pirâmide alcular o volume de uma pirâmide. alcular o volume do cubo. 1 Reconhecer que Vtetraedro = Vcubo 4 Vpirâmide alcular o volume do tetraedro esenhar a recta de equação =. esenhar a recta de equação = 6. Identificar as coordenadas dos vértices.. Identificar os comprimentos dos catetos..... screver a equação ( 6 a)( 6 a) = Resolver a equação. ar a resposta justificando as duas soluções.. Total 00 Professora: Rosa anelas 9 no Lectivo 009/010