Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I

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Laís Prada Pinhal
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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEOMETRI NO PLNO E NO ESPÇO I TP nº entregar em Na figura 7 estão representados uma esfera de centro O e raio e um sólido que se pode decompor em dois cones. O volume desse sólido é 8 do volume da esfera. O círculo de centro é a base dos dois cones e é a secção produzida na esfera pelo plano perpendicular a [] no ponto. Os vértices dos cones são os extremos do diâmetro [] da esfera Mostre que O= 1.. O plano que passa no centro da esfera e é perpendicular a [] divide o cone de vértice em dois sólidos, um dos quais também é um cone. Determine o volume desse cone. 1.. Na figura 8 está esquematizada uma planificação do cone de vértice. Determine: O valor de x amplitude do ângulo α, em graus, arredondada às unidades. Nota: sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.. Na figura 10 estão representados uma pirâmide quadrangular regular e um cubo. Uma das faces do cubo está contida na base da pirâmide, e cada um dos vértices da face oposta pertence a uma aresta da pirâmide..1. ssocie a cada um dos pares de retas, designados pelos números de 1 a 6, a posição relativa dessas retas, indicada na chave. Pares de retas Professora: Rosa anelas 1 no Letivo 01/01

2 1 e JN FH e HM J e HM F e LN E e MN 6 e EL Não complanares Paralelas Perpendiculares D oncorrentes não perpendiculares.. ssocie a cada um dos pares (reta, plano), designados pelos números de 1 a 6, a posição da reta em relação ao plano, indicada na chave. Pares (reta, plano) 1 FH e EJM GH e EN MN e GHL e LMN N e E 6 E e FHM Reta contida no plano Reta estritamente paralela ao plano Reta perpendicular ao plano D Reta concorrente com o plano, mas não perpendicular.. Sabe-se que a pirâmide tem volume igual a 1 e altura igual a Determine o perímetro do triângulo [E].... alcule o volume do cubo. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

3 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEOMETRI NO PLNO E NO ESPÇO I TP nº Proposta de resolução 1. Na figura 7 estão representados uma esfera de centro O e raio e um sólido que se pode decompor em dois cones. O volume desse sólido é 8 do volume da esfera. Ou seja: Vsólido = π = π O círculo de centro é a base dos dois cones e é a secção produzida na esfera pelo plano perpendicular a [] no ponto. Os vértices dos cones são os extremos do diâmetro [] da esfera π = + Então: base base O ( ) π = base + π = base 10 base = 16π 1.1. Mostremos que O= : De base = 16π concluímos ser o raio igual a porque O + = O = 16 O= base = πr O x 1.. O plano que passa no centro da esfera e é perpendicular a [] divide o cone de vértice em dois sólidos, um dos quais também é um cone. Determinemos o volume desse cone, para o que precisamos de calcular o raio x da base do cone e vamos fazê-lo utilizando a semelhança dos triângulos: 8 = x= x= x 8 π área da base do cone é = π = 1 1 O volume do cone é V= π V= π Na figura 8 está esquematizada uma planificação do cone de vértice. Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

4 Determinemos: O valor de x. Utilizando o triângulo da alínea anterior verificamos ser x a hipotenusa do triângulo rectângulo são os catetos que medem e 8. x = + 8 x = 80 x= 1... amplitude do ângulo α, em graus, arredondada às unidades. O comprimento da circunferência de raio é P= π P= e tem amplitude 60º. Pretendemos saber a amplitude que corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao perímetro da circunferência com raio que é p= π p= Então podemos dizer que: 60º α Donde α = α = α 161º Na figura 10 estão representados uma pirâmide quadrangular regular e um cubo. Uma das faces do cubo está contida na base da pirâmide, e cada um dos vértices da face oposta pertence a uma aresta da pirâmide. ssociemos a cada um dos pares de rectas, designados pelos números de 1 a 6, a posição relativa dessas rectas, indicada na chave. Pares de rectas 1 e JN FH e HM J e HM F e LN E e MN 6 e EL Não complanares Paralelas Perpendiculares D oncorrentes não perpendiculares Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

5 Pares de rectas Pares (recta, plano) e JN FH e HM J e HM F e LN E e MN e EL Paralelas Perpendiculares D oncorrentes não perpendiculares Não complanares Não complanares D oncorrentes não perpendiculares.1. ssociemos a cada um dos pares (recta, plano), designados pelos números de 1 a 6, a posição da recta em relação ao plano, indicada na chave. Pares (recta, plano) 1 FH e EJM GH e EN MN e GHL e LMN N e E 6 E e FHM Recta contida no plano Recta estritamente paralela ao plano Recta perpendicular ao plano D Recta concorrente com o plano, mas não perpendicular FH EJM contida e no plano GH e EN MN e GHL e LMN N e E E e estritamente paralela perpendicular estritamente paralela D concorrente, mas.1. Sabe-se que a pirâmide tem volume igual a 1 e altura igual a Determinemos o perímetro do triângulo [E]. alculemos : 1 1= 1 = 6 = 6 alculemos agora : = = 7 = 6 perpendicular não FHM contida no plano Professora: Rosa anelas no Letivo 01/01

6 Se chamarmos O ao centro da base da pirâmide teremos que O= e OE= 1 e podemos então calcular E : ( ) E = + 1 E = E= 16 E= 9 Finalmente o perímetro do triângulo [E] é P= + E= alculemos o volume do cubo. Para calcularmos a aresta (a) do cubo vamos ter em conta que a pirâmide grande é semelhante à pirâmide [JLMNE] pelo que: 6 a = 1a= 7 6a 18a= 7 a= 1 1 a O volume do cubo é igual ao cubo da medida da aresta: V= V= 6 Professora: Rosa anelas 6 no Letivo 01/01

7 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º no de Matemática TEM 1 GEOMETRI NO PLNO E NO ESPÇO I TP nº ritérios de classificação alcular alcular base alcular V sólido = π = π.. = 16π... O O + = = Reconhecer a semelhança dos triângulos.. alcular o raio da base alcular x=.. 1 V = 1 π alcular x= alcular o perímetro da circunferência de raio x.. alcular o perímetro da circunferência de raio.. oncluir que α 161º ssociar corretamente 18.. ssociar corretamente alcular... alcular e O.. alcular E... alcular o perímetro Reconhecer a semelhança das pirâmides alcular a aresta do cubo alcular o volume do cubo... Total 100 Professora: Rosa anelas 7 no Letivo 01/01

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