Definição e elementos. Um plano Um círculo C contido em Um ponto V que não pertence a

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1 CONE

2 Cones

3 Definição e elementos Um plano Um círculo C contido em Um ponto V que não pertence a

4 Elementos do cone Base: é o círculo C, de centro O, situado no plano

5 Vértice: é o ponto V Elementos do cone

6 Elementos do cone Raio da base: é o raio r do círculo C

7 Elementos do cone Altura: é a distância h do ponto V ao plano da base

8 Elementos do cone Eixo: é a reta que contém o vértice V e o centro O do círculo da base

9 Elementos do cone Geratriz: é qualquer segmento VP, sendo P um ponto qualquer da circunferência da base

10 Cone reto Um cone se diz reto ou de revolução, quando o eixo é perpendicular ao plano da base. Ele pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno da reta suporte de um dos catetos. Nesse caso a altura do cone coincide com a medida do segmento VO.

11 Cone reto

12 Relação em VOP No triângulo retângulo VOP: g 2 = h 2 + r 2 Onde: g 2 medida da geratriz h 2 altura do cone r 2 medida do raio da base

13 Áreas de superfície de um cone circular reto Área da base (S b ) A base é um círculo de raio r, portanto: S b = πr 2

14 Áreas de superfície de um cone circular reto Área lateral (S l ) A área da superfície lateral corresponde à área de um setor circular de raio g. S l = πrg

15 Áreas de superfície de um cone circular reto Área total (S t ) É a soma da área lateral com a área da base. S t = πr g + r

16 Exemplo 1 Um fabricante de balas resolveu fazer a embalagem para um de seus produtos na forma de um cone reto, com 6cm de diâmetro e 10cm de altura. Qual será a quantidade mínima de papel utilizada para cobrir toda a superfície dessa embalagem?

17 Exemplo 1 Um fabricante de balas resolveu fazer a embalagem para um de seus produtos na forma de um cone reto, com 6cm de diâmetro e 10cm de altura. Qual será a quantidade mínima de papel utilizada para cobrir toda a superfície dessa embalagem? g 2 = h 2 + r 2 S b = πrg S t = S l + S b S t = πrg + πr 2 ou πr g + r

18 Exemplo 1 g 2 = h 2 + r 2 g 2 = g 2 = 109 g = 109cm S b = πrg S b = π = 3π 109 S t = πrg + πr 2 ou πr g + r S t = S l + S b 3π π = 3π

19 Exemplo 1 Fazendo 109 = 10,44 e π = 3,14 temos: S t = 3π S t = 3.3,14 10, ,60 Foram utilizados aproximadamente 126,60cm 2 de papel.

20 Exemplo 2 Planificando a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5cm e um ângulo central de 72. Calcular a área lateral (S l ) e a área total (S t ) do cone.

21 Exemplo 2 Planificando a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5cm e um ângulo central de 72. Calcular a área lateral (S l ) e a área total (S t ) do cone.

22 Exemplo 2 72 x 180 πrad 72π = 180x 72π 180 = x 12 6π 15 = x 3 2π 5

23 Exemplo 2 Sabendo que 72 = 2π 5 rad, vem: l = α. g l = 2π. 5 l = 2πcm 5 l = 2πr 2π = 2πr r = 1cm

24 Exemplo 2 S l = πrg S l = π. 1.5 S l = 5πcm 2 S b = πr 2 S b = π. 1 2 S b = πcm 2 S t = S l + S b S t = 5π + π S t = 6πcm 2 Ou S t = πr g + r S t = π S t = 6πcm 2 A área lateral é 5πcm 2 e a área total é 6πcm 2

25 Volume do Cone Considere um cone uma pirâmide com mesma altura h e bases equivalentes contidas no plano.

26 Volume do Cone Nessas condições, esses dois sólidos tem o mesmo volume, ou seja: Volume do cone=volume da pirâmide Volume da pirâmide 1 (área da base).(altura) 3 Então, num cone circular reto de raio r e altura h, temos: V = 1 3 S b. h V = 1 3 πr2 h

27 Exemplo 1 Um filtro cônico de papel tem 12cm de profundidade e 8 cm de diâmetro. Determine sua capacidade em mililitros.

28 Exemplo 1 Um filtro cônico de papel tem 12cm de profundidade e 8 cm de diâmetro. Determine sua capacidade em mililitros.

29 Exemplo 1 O raio do círculo é r = 8 2 = 4 r = 4cm V = 1 3 πr2 h V = 1 3. π V = 64π cm 3 Fazendo π = 3,14: V 200cm 3 ou V 200ml

30 Exemplo 2 A figura mostra o sólido obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo ABC em torno da hipotenusa BC. Tal sólido é a reunião de dois cones retos de mesma base. Calcule o seu volume, sabendo que os catetos AB e AC medem 9cm e 12cm respectivamente.

31 Exemplo 2 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vamos encontrar a medida de sua hipotenusa, que corresponde à soma das alturas dos cones. BC 2 = BC 2 = 225 BC = 15cm O raio da base comum aos cones é a medida da altura AH do triângulo ABC.

32 Exemplo 2 AB.AC=BC.AH 9.12=15.AH AH=7,2cm Portanto, r=7,2cm O volume do sólido é a soma V 1 +V 2, em que V 1 e V 2 são, respectivamente, os volumes dos cones de vértices B e C e raio r=ah.

33 Exemplo 2 V = V 1 + V 2 V = 1 3. πr2 BH + CH V = 1 3 πr2 BH + CH V = 1 3 πr2. BC *(BH+CH)=BC Substituindo numericamente: V = 1 3. π. 7, V 814cm 3

34 Tronco de cone Quanto interceptamos um cone por um plano, que é paralelo à base e não passa pelo vértice, determinamos dois sólidos: um deles é outro cone de mesmo vértice e o segundo é denominado tronco de cone de bases paralelas.

35 Tronco de cone Quanto interceptamos um cone por um plano, que é paralelo à base e não passa pelo vértice, determinamos dois sólidos: um deles é outro cone de mesmo vértice e o segundo é denominado tronco de cone de bases paralelas.

36 Áreas da superfície de um tronco de cone Planificando a superfície do tronco de cone circular reto indicado na figura, obtemos: R: raio da base r: raio da secção G: geratriz do cone g: geratriz do tronco

37 Áreas das bases Base maior: S B = πr 2 Base menor: S b = πr 2

38 Área lateral A área lateral do tronco de cone (S l ) é igual à área lateral do cone primitivo menos a área lateral do cone destacado (cone pequeno), isto é: S l = πrg πr g G S l = πg R + r

39 Área total É a soma da área das bases com a área lateral. S t = S l + S B + S b

40 Volume do tronco circular reto Considere o tronco de cone representado pela figura seguinte: B: área da base maior (S 1 ) b: área da base menor (S 2 ) ht ou k: altura do tronco

41 Volume do tronco circular reto Volume do tronco de cone: V = k 3 B + B. b + b S 1 = πr 2 e S 2 = πr 2, portanto: V = kπ 3 R2 + Rr + r 2

42 Propriedades do tronco de cone 1ª propriedade r R = d h 2ª propriedade b B = d2 h 2 3ª propriedade V V = d3 h 3

43 Exemplos 1. Um tronco de cone é obtido pela rotação do trapézio da figura em torno o eixo 0y. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco assim gerado.

44 Exemplos Desenhando o sólido e destacando o triângulo retângulo ADE: G 2 = K 2 + ED 2 G 2 = G = 10cm

45 Exemplos Área lateral: R=2 e r=1 S l = πg R + r S l = π S l = 3 10πcm 2

46 Exemplos Área total: S t = S l + S B + S b S B = πr 2 π2 2 S B = 4πcm 2 S b = πr 2 π1 2 S b = πcm 2 S t = 3 10π + 4π + π π

47 Exemplos Volume: R=2, r=1 e k=3 V= kπ 3 R2 + Rr + r 2 = 3π = π V = 7πcm 3

48 Exemplos 2. Um cone circular reto tem raio de 4m e altura 8m. Qual a área da secção transversal feita por um plano distante 2m do seu vértice?

49 Exemplos 2. Um cone circular reto tem 4m e altura 8m. Qual a área da secção transversal feita por um plano distante 2m do seu vértice? Cálculo do raio da secção (r): r R = d h r 4 = = 1m Cálculo da área da secção (b): b = πr 2 b = π1 2 b = πm 2

50 Exemplos 3. Um copo de chope, cujo interior tem a forma praticamente cônica, tem 15cm de profundidade e capacidade para 300ml. Suponha que um chope seja tirado com 3cm de colarinho (espuma). Qual o volume de chope (líquido) contido no copo?

51 Exemplos d=15-3, assim, d=12cm h=15cm V=300ml V V = d3 h 3 V 300 = 12 = V = 0, , V =153,6ml 3 3

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