Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos. Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto

Transcrição

1 Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto

2 Introdução Nosso último estudo em Geometria será destinado aos sólidos inscritos e circunscritos. Existem numerosas relações entre dois sólido quando construímos um deles dentro do outro. São algumas dessas relações que estudaremos a partir de agora.

3 Esfera e cubo Considere uma esfera cujo o raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a. Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. a.r

4 Esfera e cubo Considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo o raio tem medida R: Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. D cubo.r a..r

5 Esfera e cubo Para você fazer p. 4 1) Uma esfera está inscrita em um cubo cujo o volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera. Sendo "a" a medida das arestas do cubo, temos que a a 4dm Assim, a medida do raio da esfera é a e seu volume é igual V esfera 4. π V esfera 4 πr,então :.R, portanto, R V esfera 64dm dm, π dm

6 Esfera e cubo Para você fazer p. 4 ) Uma esfera, cuja área da superfície mede 19πcm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo. Sendo R a medida do raio da esfera, temos que 4π.R 19 π R4 cm Sendo "a" a medida das arestas do cubo, temos a 4. a 8cm Assim, o volume do cubo é igual a 8 51cm

7 Esfera e cilindro Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cilindro reto. Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e R, ou seja o cilindro é equilátero.

8 Esfera e cilindro Nesse caso como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro? Observe a figura a seguir: h r R No triângulo retângulo, de catetos medindo h e r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e da hipotenusa medindo R, podemos escrever: ( ) ( ) R r + h 4R 4r + h

9 Esfera e cilindro Para você fazer p. 5 1) Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera. Resposta: Se a altura do cilindro mede 10cm, então o raio da base desse cilindro e o raio da esfera medem 5 cm. Assim, o volume compreendido entre o cilindro e a esfera é igual a V esfera V π.5 cilindro π.5 50π 500 π Vt 50π cm

10 Esfera e cilindro Para você fazer p. 5 ) Em uma esfera, está inscrita um cilindro reto cuja altura mede 0 cm e cujo raio da base mede 8cm. Calcule a área da superfície dessa esfera. Na figura, temos que ( R) ( 0) R R 164 R 41cm. A área da superfície da esfera é igual ( ) π cm a 4π.

11 Esfera e cone reto Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em uma cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h. Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção r h R g r

12 Esfera e cone reto Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/ da medida da altura do cone, ou seja, h r Assim, por meio do Teorema de Pitágoras, temos: ( R) R + ( r) 4R R R 9r + 9r Rr

13 Esfera e cone reto Agora, considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h. No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever : R r + ( h r)

14 Esfera e cone reto Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade de conhecêlas, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas. Se o cone é equilátero, a media do raio é igual a / da medida da altura do cone, ou seja, h R/. Logo, por meio do Teorema de Pitágoras, temos: ( r) r 9R 4r r + 4 9R r 4 R r 4 R + r R

15 Esfera e cone reto Para você fazer p. 6 1) Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm. Calcule o volume dessa esfera. Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g Sendo R a medida do raio da esfera, temos, por de triângulos, que : R 6 8 R 10 10R 48 6R R cm Assim, o volume da esfera é igual a g 10cm meio de uma semelhança π. 6π cm

16 Esfera e cone reto Para você fazer p. 6 ) Em um cone equilátero, cujo volume é igual 7π cm³, inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera. Em um cone equilátero, a medida da geratriz é igual ao dobro da media do raio. Assim, sendo h a medida da altura do cone, temos que : ( R) R + h h R Como o volume do cone é igual a 7π 1 cm 7π. π. R. R 16 R R 6cm Assim, a medida da altura do cone é 6 cm e, como a medida do raio, temos : da esfera é igual a terça parte da medida da altura do cone, o raio da esfera mede ( ) 48πcm A área da superfície esférica é igual a 4π.

17 Esfera e cone reto Para você fazer p. 6 ) Um cone equilátero está inscrito em uma esfera cujo volume mede 88π m³. Calcule a área lateral desse cone. Sendo R a medida do raio da esfera, temos 4. π. R 88π R 16 R 6cm Sendo h a medida da altura do cone, temos R h 6 h h 9m Sendo r a medida do raio da base cone equilátero, então R R + h (.6) r + 9 r 7 r m ( ) Assim, a área lateral do cone é igual aπ.r.g π..6 54π m

18 Cilindro e cone retos Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura: Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.

19 Cilindro e cone retos Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.

20 Cilindro e cone retos g H H - h r G h h G - g r R - r R

21 Cilindro e cone retos Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções: I II Tomando II e I, temos r R r R -r H r H H r h g G Tomando II e III, temos g G g III Tomando III e I, temos R -r R h G g H G

22 Cilindro e cone retos Para você fazer p. 7 Se um cilindro cuja altura mede 10cm está inscrito em cone reto cuja geratriz mede 5 e com raio da base medindo 0 cm, calcule o volume desse cilindro. Para calcular o volume, temos : V cilindro V cilindro π.r.h 4000π cm 9 Sendo h a medida da altura do cone, temos que : h h 15cm Por meio de uma semelhança de triângulo, podemos : r H r r R H 0 15 Assim o volume, temos : V cilindro 0 π. R. h π..10 r 0 π cm

23 Resolução de Atividades Página 7 e 8 Nota livre - Vestibulares

24 Parabéns, chegamos ao fim da Geometria