Resolução da 8ª lista de exercícios

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1 Resolução da 8ª lista de exercícios O raio da circunferência é dado pela distância do seu centro a qualquer ponto da circunferência ssim: r d( P, ) (0) + (+ ) ) 5 5 Um ponto sobre o eixo das abscissas (ou eixo dos x) possui coordenada 0 Portanto, chamemos de Q (x,0) o ponto cuja distância ao ponto P (,) é 0 ssim: 0 ( x ) + (0 ) 00 x x+ 9+ x x 55 0 ( x)( x+ 5) 0 x ; x5 Encontramos dois valores de x tais que a distância de Q a P é 0 Desse modo, Q (,0) e Q ( 5,0) omo o ponto P é equidistante dos pontos e B, isto é, a distância de P a e de P a B é a mesma, temos: d( P, ) d( P, B) ( a ) + () ( a ) + ( ( a ) + () ( a ) + ( a a+ 9+ a 4a a a a+ 4a a+ 0a a 4 a) Para calcular a medida dos lados do triângulo basta calcular a distância entre seus vértices ssim, a medida do lado B é: d (, B) (0 ) + (4+ ) medida do lado é: d (, ) (0+ + (4 ) medida do lado B é: d ( B, ) (+ + ( )

2 M b) O ponto médio M do lado B é: x + xb +, 0+ 4, (, ) B M O ponto médio M do lado é: x + x +, , (,) M O ponto médio do lado M do lado B é: xb + x B +, 4 +, (, ) c) s medianas de um triângulo são os segmentos que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto a este Portanto, devemos calcular as distâncias M, BM e M M (0+ ) + (4+ ) + BM (+ ) + ( ) + 8 M ( + (+ ) Já que as unidades de medida do paralelepípedo retângulo são diferentes, temos que escolher uma delas Vamos adotar o centímetro Sabendo que metro equivale a 00 centímetros, as dimensões do paralelepípedo são: 8m 800cm; 5m 500cm; 0cm O volume V deste paralelepípedo é: V cm Sabendo que 000cm³ equivalem a litro, por regra de três encontramos a quanto equivalem cm³: litro 000cm xlitros cm 000 x x 48000litros

3 Vamos utilizar outra regra de três para encontrar o tempo t necessário para encher o reservatório: litros segundo t t 4000segundos 48000litros tsegundos Para saber a quantidade de gelo necessária para encher a panela, precisamos encontrar seu volume V: V base π π h V ,45 47,5cm Também precisamos saber o volume v que um cubo de gelo ocupa na panela: v 8cm Deste modo, a quantidade de cubos de gelo necessária é, aproximadamente: 47,5 589, rotação do triângulo em torno do menor cateto gera um cone de altura igual a cm e raio da base igual a 8cm geratriz g deste cone é a hipotenusa do triângulo retângulo: g g 0cm Por regra de três, encontramos a área lateral x do cone: πr πr πr πg πg π 8 x 0π 00π 0π x 00π π 00π x 0π 80πcm O volume V do cone é calculado por: V base h π8 4π 8πcm 8 Para calcularmos a área lateral do cone, precisamos conhecer a medida de sua geratriz e o raio de sua base omo a esfera de raio 5 está inscrita no cubo, a medida da aresta a do cubo é 0 Sabendo que a base do cone está circunscrita a uma das faces do cubo, portanto um quadrado, temos que o raio r da base é a metade da diagonal d do quadrado ssim:

4 0 d a 0 r 5 Para calcular a geratriz g do cone, utilizamos o triângulo retângulo de hipotenusa g e catetos a altura h do cone, que é igual ao raio da esfera, e r g ( 5 ) h + r 5 + g Por regra de três, encontramos a área lateral x do cone: πr πr πr πg πg 0 π 5 0 π 75π 0 π π x 750 π 750 x 0 π π 75 x π 75 π 75 π 5 π 9 área R da região sombreada é dada pela área do setor circular de 0º e raio 9m menos a área B do setor circular de 0º e raio 4m Portanto, precisamos encontrar a área de cada um dos setores : π π 0 08π 8π 0 0 7π m 0 B: π 4 0 0π π 0 B 0π B B π m 5 Logo, a área R é: 7π 4π 7π 44π 8π π 5π π R B m Espaço amostral total de comissões possíveis:! 54!! Evento total de comissões com homem e mulheres: Probabilidade 0 5 0! 4! 4! 4!!!!! 4

5 Existem 9 casos possíveis para a compra de lâmpadas, dispondo de 4 cores São eles: 4 a) lâmpadas da mesma cor: 4 4 b) 5 lâmpadas de uma cor, e de outra: 4 4 c) 4 lâmpadas de uma cor, e de outra: 4 4 d) 4 lâmpadas de uma cor, de outra, e de outra: 4 4 e) lâmpadas de uma cor, e de outra: 4 f) lâmpadas de uma cor, de outra, e de outra: g) lâmpadas de uma cor, de outra, de outra, e de outra: 4 4 h) lâmpadas de uma cor, de outra, e de outra: 4 4 i) lâmpadas de uma cor, de outra, de outra, de outra: Total de casos possíveis: Observação: Nos casos d, e, g, h e i dividimos pelo fatorial das repetições dos grupos Por exemplo: no caso h, temos três grupos de lâmpadas de mesma cor; por isso, dividimos por! Ou seja, a ordem da escolha das cores não interfere, isto é: escolher lâmpadas vermelhas e depois azuis é o mesmo que escolher primeiro lâmpadas azuis e depois vermelhas