Soluções Comentadas Matemática Curso Mentor Escola de Especialistas da Aeronáutica. Barbosa, L.S.

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1 Soluções Comentadas Matemática Curso Mentor Escola de Especialistas da Aeronáutica Barbosa, L.S. 4 de junho de 014

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3 Sumário I Provas 5 1 Matemática II Soluções 11 Matemática

4 4 SUMA RIO

5 Parte I Provas 5

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7 Capítulo 1 Matemática As medidas dos ângulos internos de um triângulo formam uma PA. Assim, independente do valor da razão, pode-se afirmar que um desses ângulos mede a) 30. b) 45. c) 60. d) Seja ABCD o trapézio isósceles da figura. D C A B A soma das medidas dos ângulos  e Ĉ é a) 90. b) 10. c) 150. d) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o dobro de um cateto. O ângulo oposto a esse cateto mede a) 0. b) 30. c) 45. d) Ao expressar 16π 9 rad em graus, obtém-se a) 170. b) 0. c) 80. d) Considere as medidas indicadas na figura e que sen 70 = 0, 9. x 70 6 Pela Lei dos Senos, obtém-se sen x =. 4 7

8 8 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA a) 0, 4 b) 0, 5 c) 0, 6 d) 0, 7 { x y = 1 56 O valor de x que é solução do sistema é um número x 3y = 3 a) par primo. b) ímpar primo. c) par não primo. d) ímpar não primo. 57 Sejam as matrizes A = [ ] e B = [ ]. A soma dos elementos de A B é a) 0. b) 1. c). d) Se z = 3 + i é um número complexo, então z é igual a a) 5 + 1i. b) 9 + 1i. c) i. d) 9 + 4i. 59 Um cilindro equilátero cuja geratriz mede 8 cm, tem área lateral igual a π cm. a) 18 b) 64 c) 3 d) Seja uma pirâmide quadrangular regular com todas as arestas medindo cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é a) 3. b) 3. c) 3. d). 61 Foram vendidos 100 ingressos para um show. Desses ingressos, 70 foram vendidos a R$ 50, 00 cada um, e os demais, por serem da área vip, foram vendidos a R$ 100, 00 cada um. Considerando todos os ingressos vendidos, o preço médio do ingresso, em reais, foi a) 68. b) 65. c) 60. d) Para elaborar uma prova de Inglês, um professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de gramática. O número de maneiras que ele pode ordenar aleatoriamente essas questões é dado por.

9 a) (6 + 4)! b) (6 4)! c) 6! 4! d) 6! 4! 63 A razão r entre o apótema e o lado de um hexágono regular é igual a a) 3. b). c). d) Uma piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo e tem, no seu centro, um cubo de concreto de 1 m de aresta, como mostra a figura. 9 1m 4m O volume de água necessário para encher a piscina, em m 3, é a) 1. b) 11. c) 10. d) Em Estatística, uma Amostra sempre é a) uma tabela com dados desordenados. b) um subconjunto de uma População. c) uma tabela com dados ordenados. d) o mesmo que População. 66 Seja f(x) = (x 3)(4x+1) (x+)(x 5) uma função. Um valor que não pode estar no domínio de f é a) 1. b). c) 3. d) Sejam sen x = 3, cos x = 4 e sen x = a. Se a é uma fração irredutível, então b a é igual a 5 5 b b a) 1. b). c) 3. d) Na figura, AB = 8 cm é o diâmetro do círculo de centro O e AO é o diâmetro do semicírculo. 3m A O B

10 10 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA Assim, a área sombreada dessa figura é π cm. a) 14 b) 13 c) 11 d) Seja uma função real definida por f(x) = (x + 1) m x 1. Se f() = 6, então m é igual a a) 4. b) 3. c). d) Sejam ρ 1 e ρ, respectivamente, os módulos dos números complexos z 1 = 1 + i e z = 4 i. Assim, ρ 1 + ρ é igual a a) 5. b) 5. c) 5. d) A distância do ponto (3, 1) à reta cuja equação geral é x y + = 0 é a) 5 b) 3 c) d) 7 Sendo tan x = 1 e sen x = u, uma maneira de expressar o valor de t cos x é a) t. b) u. c) u t. d) u + t. t 73 Para que exista a função f(x) = log(x m), é necessário que x seja a) maior que m. b) menor que m. c) maior ou igual a m. d) menor ou igual a m. 74 A menor raiz da função f(x) = x 5x + 4 é e a maior é. Completam corretamente a afirmação, na devida ordem, as palavras a) par e par. b) par e ímpar. c) ímpar e par. d) ímpar e ímpar. 75 Para que os pontos A(, 0), B(a, 1) e C(a + 1, ) estejam alinhados, é necessário que o valor de a seja a) 5. b) 4. c) 3. d).

11 Parte II Soluções 11

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13 Capítulo Matemática Questão 51 Solução: Chamando os três ângulos internos do triângulo de x r, x, x + r, sendo r a razão da P.A., teremos: x r + x + x + r = 180 Logo: 3x = 180 x = 60 Opção C Questão 5 Solução: Se o trapézio é isósceles, temos que  = B. Além disso, como AB CD temos  + D = 180 e B + Ĉ = 180. Então  + Ĉ = 180. Questão 53 Solução: Fazendo uma figura: Opção D x x Calculando o seno do ângulo θ indicado temos: Como 0 < θ < 90, temos θ = 30. sen θ = x x sen θ = 1 13

14 14 CAPÍTULO. MATEMÁTICA Opção B Questão 54 Solução: Basta fazer uma proporção direta: Logo: Questão x = π 16π 9 x = x = 30 Opção D Solução: Usando a lei dos senos teremos: Simplificando: 4 sen x = 6 4 sen 70 sen x = sen 70 6 sen x = 3, 6 6 sen x = 0, 6 Opção C Questão 56 Solução: Isolando x na primeira equação: x = 1 + y Substituindo na segunda equação: (1 + y) 3y = 3 + 4y 3y = 3 y = 1 Portanto, para x: Questão 57 x = x = 3 Opção B Solução: Calculando AB temos: [ ] 1 ( 1) AB = 0 ( 1) + ( 1) ( 1) 0

15 15 Então: Questão 58 AB = [ ] AB = [ ] Opção B Solução: Basta fazermos: Questão 59 (3 + i) (3 + i) = 9 + 6i + 6i + 4i = 5 + 1i Opção A Solução: A área lateral A de um cilindro de geratriz g e raio da base r é: A = πrg O cilindro equilátero tem g = r, logo: Portanto: Questão 60 A = π r r A = π 4 A = 64π cm Opção B Solução: Seja P Q a diagonal da base, que é um quadrado de lado, logo: P Q = + P Q = cm V Q P O O triângulo V OP é retângulo e O é o centro da base. Assim temos: V P = V O + OP = V O + ( ) Logo: V O = cm

16 16 CAPÍTULO. MATEMÁTICA Opção D Questão 61 Solução: O preço médio m do ingresso é a média ponderada de cada preço pelo número de ingressos vendidos: Questão 6 m = m = m = 65 Opção B Solução: Como são 10 questões distintas temos 10! maneiras de organizá-las. Observação: Se a pergunta fosse como organizar as questões por tema, como as questões já estão escolhidas, somente a ordem delas é que precisaria ser escolhida. Isto quer dizer que teríamos uma permutação de 10 questões com repetição de 6 e 4, como se fosse um anagrama assim: VVVGVGVGGV. Este é um exemplo apenas. Então: Questão 63 P 10 4,6 = 10! 4! 6! P 10 4,6 = 10 maneiras Opção A Solução: Seja l o lado do hexágono regular. O apótema a 6 é a altura de um triângulo equilátero de lado l, como se vê na figura. a 6 l l O Assim, temos l = a 6 + ( l ) e, portanto, a 6 = l 3. Assim teremos: 3 r = a l 6 l r = l r = 3

17 17 Opção A Questão 64 Solução: O volume necessário V para encher a piscina corresponde à diferença entre o volume da piscina, v p, e o volume do cubo, v c : V = v p v c Logo: V = V = 11 m 3 Opção B Questão 65 Por- Solução: Neste caso, a questão só envolve a definição de amostra. tanto, não há muito o que discorrer. Opção B Questão 66 Solução: O domínio de f é tal que: x + 0 x E Ou seja, D f = R {, 5}. x 5 0 x 5 Opção D Questão 67 Solução: Sabemos que sen x = sen x cos x, daí podemos escrever: Logo b a = 5 4 = 1. sen x = sen x = 4 5 Opção A

18 18 CAPÍTULO. MATEMÁTICA Questão 68 Solução: Seja O o centro do semicírculo menor. Neste caso, temos AO = AB 4 = cm. Basta então subtrair do círculo de centro O a área do semicírculo: Questão 69 A = π 4 1 π A = (16 )π A = 14π Solução: Como f() = 6 temos: Questão 70 ( + 1) m 1 = 6 3m = 6 m = Solução: Vamos calcular cada módulo: ρ 1 = 1 + ρ 1 = 5 Opção A Opção C E Logo: ρ = 4 + ( ) ρ = 0 ρ = 5 ρ 1 + ρ = 3 5 Opção D Questão 71 Solução 1: Nesta questão podemos usar a fórmula da distância de ponto a reta: d = Ax 0 + By 0 + C A + B Então: Logo: d = 3 + ( ) ( ) d = d = 6 d =

19 Solução : Seja r a reta dada. Vamos encontar a equação reduzida da reta: x y + = 0 y = x + 1 Daí m r = 1. Uma reta s perpendicular a r terá coeficiente angular tal que m s m r = 1. Logo: m s 1 = 1 m s = 1 A equação reduzida de s: Mas s passa por (3, 1), então: y = x + n 1 = 3 + n n = 4 Agora basta achar o ponto P em que r e s se interceptam: 19 A ordenada: x + 4 = x + 1 x = 3 y = y = 5 Agora a distância entre P ( 3, 5 ) e (3, 1): (3 d = Questão 7 ) 3 + ( ) 5 1 d = ( 3 ) + ( 3 ) d = 3 Opção B Solução: Como tan x = sen x cos x temos: 1 t = u cos x cos x = ut Opção C Questão 73 Solução: Para que uma função logarítmica exista, o logaritmando deve ser maior que zero: x m > 0 x > m Opção A

20 0 CAPÍTULO. MATEMÁTICA Questão 74 Solução: Usando a fórmula de solução de uma equação do segundo grau: Logo: x 1, = ( 5) ± ( 5) x 1, = 5 ± 5 16 Então x 1 = 4 e x = 1. Questão 75 x 1, = 5 ± 3 Opção C Solução: Queremos que a inclinação da reta que passa por A e B seja a mesma da que passa por B e C: 1 0 a = 1 a + 1 a 1 a = 1 1 a = 3 Opção C