Prova Faetec- nível médio - vestibular ISEs e ISTs 1º semestre

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1 Prof Tiago Machado

2 PROFESSOR TIAGO MACHADO PROVAS DE COLÉGIOS TÉCNICOS NÍVEL MÉDIO ISTS E ISES E SUBSEQUENTE COMENTADA QUESTÃO POR QUESTÃO FAETEC-RJ CADERNO DE MATEMÁTICA 1º SEMESTRE - ANO 011 ª E D I Ç Ã O R I O D E J A N E I R O-RJ E D I Ç Ã O D O A U T O R Todos Professor os direitos Tiago reservados Machado blog: Professortiagomachado.blogspot.com pág.

3 Agradecimentos: Agradecemos primeiramente ao Eterno Elohim(D us), por nos ajudar nesta tão grande e honrosa missão em ajudar nossos amigos e companheiros de estudos. Aos meus professores: Alzir Fourny, Lúcio Correa, Gabriela, Cleber Amaral das Faculdades integradas Campo-Grandense-FIC Campo Grande-RJ, por me ajudar a ser quem sou mesmo em todas as minhas dificuldades de aprendizagem. A minha esposa Célia Machado por sempre me apoiar em tudo que faço, meu muito obrigado. A você querido Leitor por adquirir uma de nossas apostilas. Sua presença em nosso blog/site é muito importante para podermos manter nosso blog online e atualizado. É uma honra ter sua presença em nosso blog. Não deixe de cadastrar seu , para receber sempre novidades, acesse agora mesmo e cadastre-se. Não deixe de nos visitar. Muito obrigado. D us Abençoe! Não nasci um gênio da matemática, Mas a confiança em D us, a persistência e a perseverança. Fizeram-me ser quem sou e o que Serei no futuro. (T. Machado) Professor Tiago Machado. pág.3

4 FAETEC-RJ CADERNO DE MATEMÁTICA COMENTADO 1º SEMESTRE - ANO 011 Porque o Eterno D-us amou o mundo de tal maneira que deu seu Ben(filho) Yeshuah(Jesus) Unigênito para que todo aquele que nele crer não pereça, mas tenha vida eterna. (yohanan(joão) 3:16) pág.4

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8 Resolução e respostas: 5) A superfície total de um poliedro convexo é formada exatamente por 8 faces, sendo 6 quadrangulares e duas hexagonais. O número total de arestas desse poliedro equivale a: Temos 8 faces: 6 quadrangulares (4 lados); hexagonais (6 lados). Sabendo que: A = F Logo: Aresta das faces quadrangulares (A q ): A q = F A q = 4.6 = 4 = 1 Aresta das faces hexagonais (A h ): A q = F A q = 6. = 1 = 6 Achando o total: A q + A h = = 18 Alternativa: B 6) O gráfico da função polinomial y = x + 3 é uma reta que intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0; b). O valor de b é igual a: Sendo y=x+3 e os pontos (0;b) onde x=0 e y=b. logo: y=x+3 b=.0+3 b=3 alternativa: B 7) Observe a reta representada no gráfico abaixo: Uma equação que representa essa reta está indicada na seguinte alternativa: pág.8

9 A lei geral da equação do 1º grau é dada na forma: y=ax+b Assim: Olhando para o gráfico temos a reta passando pelos pontos (,0) e (0,). 1ª equação: Usando os pontos (;0) onde x= e y=0, temos: y=ax+b 0=a.+b 0=a+b a+b=0 ª equação: Usando os pontos (0;) onde x=0 e y=: Y=ax+b =a.0+b =0+b =b b= Logo juntando a 1ª com a ª equação em um sistema de 1º grau temos: { a + b = 0 b = a+b=0 a+=0 a=- a = a=-1 Assim a lei particular da reta do gráfico será: a=-1 e b= logo: y=ax+b y=-1x+ y=-x+ x+y-=0 alternativa: A 8) Das equações indicadas abaixo, a única que representa todos os pontos de uma circunferência é: Temos que uma equação da circunferência com o centro na origem e raio 1 é dado por: C(0;0) e r=1 A formula reduzida da equação da circunferência é dada da forma: Logo: (x x 0 ) + (y y 0 ) = r (x 0) + (y 0) = 1 x + y = 1 Alternativa: D (x x 0 ) + (y y 0 ) = r pág.9

10 9) Para brincar com suas bolinhas de gude, João riscou no chão um triângulo equilátero cujo lado mede m. A altura, em metros, desse triângulo é igual a: Temos que a altura do triangulo eqüilátero é dado por: h = l 3 Temos que l=, assim: h = l 3 h = 3 Simplificando: h = 3 Alternativa: A 30) Um copo tem a forma de um cilindro reto. O diâmetro interno da base desse cilindro mede 0 cm e sua altura 30 cm. Se π = 3, o valor, em cm 3, do volume desse copo equivale a: Temos que o volume do cilindro é dado pela formula: V c = πr h Onde: r=> é o raio. h => é a altura. Segundo o enunciado desta questão podemos desenhar a seguinte figura: Sendo o diâmetro da base igual a 0cm, o raio será 10cm. O raio é a metade do diâmetro. Assim: V c = πr h V c = π V c = π V c = 3000π Sendo π = 3. V c = 3000π V c = V c = 9000 Alternativa: E pág.10

11 31) Num determinado campeonato de futebol, o número de pontos feitos pelo Botafogo foi 30% a mais que os pontos feitos pelo Flamengo. Se o Botafogo marcou nesse campeonato um total de 5 pontos, o número de pontos obtidos pelo Flamengo, nesse mesmo campeonato, foi igual a: Sendo: B =. Botafogo. F = flamengo. Temos que: B=30%F+F Onde: B=5 Logo: B = 30%F + F B = 30F F B = 30F F 1 Calculando o mmc(100, 1)=100, logo: B = B = 30F F F + 100F 100 B = 130F 100 Sendo B=5: 5 = 130F = 130F 500 = 130F 130F = 500 F = F = 40 Alternativa: C 3) A figura abaixo representa o gráfico da função definida por y = x + bx, sendo b um numero inteiro. O valor de b é igual a: Temos a lei particular y = x + bx. Visualizando o gráfico temos o ponto (1;1) que são os vértices da parábola. Logo: y = x + bx 1 = 1 + b. 1 pág.11

12 1 = 1 + b 1 + b = 1 b = b = Alternativa: B 33) Um aluno possui oito camisas diferentes e pretende levar 3 delas para passar um final de semana na casa de um amigo. O número máximo de conjuntos distintos que esse aluno poderá formar com 3 dessas 8 camisas é igual a: Informação: 8 camisas; Irá levar somente 3 camisas. Assim precisamos combinar: 8! 3! (8 3)! = 8! 3! 5! = ! = ! 5! 3. = = 56 Alternativa: D 34) Numa sala de aula existem 0 alunos, sendo 1 meninas. Escolhendo-se aleatoriamente um aluno dessa turma, a probabilidade de ele ser um menino é igual a: Informação; Assim: Temos total de 0 alunos; 1 meninas; 0-1=8 meninos. 8 0 = = 0,4 = 40% João colocou, em ordem crescente, todos os 100 primeiros números múltiplos não negativos de 3, formando assim uma progressão aritmética. Abaixo, estão representados os cinco primeiros termos dessa progressão: (0; 3; 6; 9; 1;...) Se o termo geral dessa sequência é dado por a n = 3n 3, com 1 n 100, a soma dos algarismos do centésimo termo é igual a: Sendo a n = 3n 3 o centésimo nº, logo temos n=100, assim: a n = 3n 3 a 100 = a 100 = a 100 = 98 Logo a soma dos algarismos será: +9+7=18 Alternativa: D pág.1

13 36) Cada termo da progressão geométrica (1; ; 4; 8;...) foi obtido pela expressão a n = 1 ()n. A razão a 10 a 9 é igual a: Sendo a n = 1 ()n, logo a razão de a 10 a 9, assim: Achando a 10 : a n = 1 ()n a 10 = 1 ()10 a 10 = a 10 = 104 Achando a 9 : = 51 a n = 1 ()n a 9 = 1 ()9 a 9 = 1 51 a 9 = 51 = 56 logo a razão de a 10 a 9 : a 10 = 51 a 9 56 = Pelo macete: a 10 a 9 = a 10 9 = a 1 = 37) Num triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC mede 50cm e o seno de um dos seus ângulos agudos é igual a 3. O perímetro desse triângulo, em centímetros, equivale a: 5 5x=150 x = x=30 Para achar y aplicamos o teorema de Pitágoras: 50 = y = y y = 500 senα = senα = x 50 cateto oposto hipotenusa Sendo senα = = x =5x y = y = 1600 y = 1600 y = 40 Sendo o perímetro a soma de todos os lados: =10 Alternativa: A pág.13

14 38) Um campo de futebol tem a forma de um retângulo ABCD. As medidas do comprimento AB e da diagonal AC, em metros, são respectivamente iguais a 0 e 40. A tangente do ângulo CÂB é igual a: x = 0 3 Assim temos: 40 = x = x x = 1600 x = x = 100 x = 100 Decompondo 100, temos: sendo tgα = Temos: cateto oposto cateto adjacente sendo tgα = = 3 Alternativa: C 39) Uma barraca de camping tem a forma de uma pirâmide quadrangular, com todas as arestas iguais. Se o perímetro da base dessa pirâmide mede 8m, a altura dessa barraca, em metros, é igual a: pág.14

15 O quadrado tem 8 lados: a+a+a+a=8 4a=8 a = 8 4 a = Agora: No triangulo dentro da pirâmide: g = ( a ) + h 3 = (1) + h 3 = 1 + h a = ( a ) + g = ( ) + g = (1) + g 4 = 1 + g 4 1 = g g = 3 = h h = h = alternativa:b 3 1 = h 40) Considere o polinômio P(x) = 3(x 6) ( x 3). O conjunto formado pelas raízes desse polinômio está indicado na seguinte alternativa: Para achar as raízes. É necessário fazer P(x)=0, assim: P(x) = 3(x 6) ( x 3) 0 = 3(x 6) ( x 3) 0 = (6x 18) ( x 3) (6x 18) ( x 3) = 0 6x 18x 18x + 54 = 0 Simplificando; 6x 18x 18x + 54 = 0 3x 18x 9x + 54 = 0 3 x 6x 3x + 18 = 0 x 9x + 18 = 0 Sabendo que a formula da equação do º grau é dada por: x = b ± b 4ac a Assim: pág.15

16 x 9x + 18 = 0 onde a=1, b=-9 e c=18. x = b ± b 4ac a x = ( 9) ± ( 9) x = 9 ± 81 7 x = 9 ± 9 x = 9 ± 3 x 1 = x = 9 3 Alternativa: C = 1 = 6 = 6 = 3 41) Considere a função exponencial f(x) = 3 (x+1), definida para qualquer número real. O valor de f(3) f( 3) é igual a: Sendo f(x) = 3 (x+1) temos: f(3) f( 3) = 3(3+1) 34 = 3 ( 3+1) 3 Sendo a formula: a x a y = ax : a y = a x y Logo: = 34 : 3 = 3 4 ( ) = 3 4+ = 3 6 Alternativa: D pág.16

17 x + y = 4) Duas retas se interceptam no ponto P(a; b) e possuem equações dadas por: { O valor de (a + b) y x = 11 é igual a: x + y = { y x = 11 x + y = { x + y = 11. ( 1) x + y = { x y = 11 x+x+y-y=-11 3x=-9 x = 9 3 = 3. ( 3) + y = -6+y= y=+6 y=8 x y = 11 x-y=-11 temos y=8: x-8=-11 x=-11+8 x=-3 Assim se P(a;b), onde P(x;y) então a=-3 e b=8. Assim: a+b=-3+8=5 alternativa: A 43) Os vértices de um quadrado são os pontos A(; 0), B(0; ), C(; 4) e D(4; ). Se o centro desse quadrado é o ponto M(x; y), o valor de (x + y) corresponde a: Temos: Para achar o ponto M calculamos a média de uma das retas. Escolhemos a reta AC. Temos o ponto A(,0) e C(,4), logo: M ACx = x x 1 M ACy = y y 1 = + = = 4 = = 4 = Assim temos x= e y=, logo: x+y=+=4 alternativa: B pág.17

18 44) Durante uma gincana de Matemática, foi proposto o seguinte problema: O quadrado de um número positivo menos o dobro desse mesmo número é igual a um. João descobriu qual era esse número resolvendo a seguinte equação: x x = 1. O número encontrado por ele equivale a: x x = 1 x x 1 = 0 Assim: x x 1 = 0 onde a=1, b=- e c=1. x = b ± b 4ac a x = ( ) ± ( ) 4.1. ( 1).1 x = ± x = 4 ± 8 Sabendo que a formula da equação do º grau é dada por: x = b ± b 4ac a Decompondo 8, temos: x = 4 ± x 1 = 4 + x = 4 Alternativa: D = + = 45) As diagonais de dois quadrados Q 1 e Q medem, em centímetros, respectivamente d e d. A razão entre as áreas dos quadrados Q e Q 1 é igual a: Temos a seguinte figura: Se: d = l l = d l = d l = d Área: A Q1 = l pág.18

19 A Q1 = ( d ) A Q1 = d 4 A Q1 = d Se: d = l d = l Área: A Q = d Calculando a razão: Q = d Q 1 d d = d : d 1 : d = d 1 d = d d = Alternativa: C 46) Uma televisão foi comprada por 1000 reais, após seu valor original ter sido anunciado com desconto de 0%. O valor original dessa televisão, em reais, é: Assim: A televisão custava x reais; Ganhou 0% de desconto; Custa agora R$1000,00. x-0%x=1000 x 0x 100 = 1000 x 1 0x 100 = Calculando mmc(1,100,1)=100 x 0x = x-0x= x= x = x = 150 Alternativa: B pág.19

20 47) Na figura abaixo, a área do triângulo sombreado é igual a 1,5 cm. O quadrado ABCD tem o seguinte perímetro, em cm: Considerando que o quadrado tem lados valendo l, logo: A t = l. l A t = l 1,5 = l 1,5. = l 5 = l Sendo a formula do triangulo: A t = b. h Onde A t = 1,5. l = 5 l = 5 l = 5 Alternativa: C A t = b. h 48. O gráfico de setores abaixo mostra o resultado de uma pesquisa feita para descobrir os meios de transportes utilizados pelos moradores de um bairro. O circulo completo tem 100%, assim: 100%-81%=19% Alternativa: E O valor de x é: Temos: 17%+33%+31%=81% pág.0