Matemática D Extensivo V. 6
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- Luiz Guilherme Silva
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1 Extensivo V. Resolva Aula Aula.0) a = 7 a = a = d = a d =. d =.0).0) D R = V = 08 π π R h = 08 π π. 9. h = 08 π h = = π R. (h + R) = π.. ( + ) = 90 π.0) D Após a dobra, temos: Terçarte do volume.. 8. =.0) A a = b = c = k 5 a = k; b = k; c = 5k V = 05 k. k. 5k = 05 k = 7 k = a = ; b = 9; c = 5 Soma dos comprimentos de todas as arestas. (a + b + c) =. ( ) = 08 0 = + x 00 = + x = x x =
2 Apótema dirâmide S =. = 8.0) h = 8 cm R = 0 cm V = π = 800 π N o de dias = 800 π cm 5 π ml Aula.0) = = + = 5 Uma face lateral Apótema da base S F =. 5 = 5 =. 5 = 0.0) sen 0º = = a b = a b a b 5 = + x x =
3 .0) C l = V = l = = 8 = l + l l = 8 V = S. h. B = 8 = Testes Aula.0) D Na formação da cruz, o cubo central contribui com faces e cada cubo externo contribui com 5 faces. Assim: 98 = S quadrado S quadrado = 9 a = V cubo = = 7.05) C Se V = m, então: a = a = m.0) B V =,5..,5 = 9,5 m V = 950 litros.0) a = b = c = k 5 a = k; b = k; c = 5k ( a + b + c ) = ( 0 8) a + b + c = 800 k + 9k + 5k = 800 k = 00 k = 0 a = 0; b = 0; c = 50 V = = 0000 cm V = 0000 ml V = 0 litros.0) C =. (ab + ac + bc) =. ( ) = 800 cm % de 800 = 5 cm Total de papelão = = 85 cm.0) B O volume dedra é igual ao da água deslocada. (Paralelepípedo de dimensões 00, 00, ) V pedra = = 0000 cm Por pitágoras, AC = 0 V = AB = 0 AB = 5 S ABC = AC. AB = 0. 5 = 5
4 .07) P.A. (x, x, x + ) =. [(x ). x + (x ). (x + ) + x. (x + )] = x x + x 9 + x + x = x = 75 x = 5 x = 5 Menor aresta: 5 =.) x = a Dimensões: a, a, a =. (a. a + a. a + a. a ) = =. (a + a + a ) = = 0a.08) D V = 0 5. c = 0 c = O maior segmento de reta que une dois pontos de um paralelepípedo é a sua diagonal. d = d = 50 d = 5.09) P.A. (x, x, x + ) = 7. [(x ). x + (x ). (x + ) + x. (x + )] = 7 x x + x + x + x = 88 x = 9 x = x = 8 P.A. (, 8, 0) Soma =.0) C a =, m = 0 cm b =, m = 0 cm c = 0,5 cm V = ,5 = 00 cm =, litros Preço total do adubo = 0., = 8.) d = 8 (a + b + c) = 0 a + b + c = 0 Lembremos que: a) O volume retirado tem a forma de um paralelepípedo de dimensões x, x e 0. x. x. 0 = 8000 x = 00 x = 80 cm b)v = 80 = 5000 cm = 5 litros.) 0. Correto. S =. = 0. Incorreto. a + b + c = D + ( ) (0) = = 8 + =.) A D = a x + x + ( x) = a ( x ) = (a ) x = 9. a. x = a AD = + ( ) AD =
5 0. Correto. 08. Correto. V =. V cubo =. =. Incorreto. Perímetro = +.5) S AFC = 0. Incorreto. 5. = 5 E H F G D C A B Existem caminhos: BGHE BGFE BCHE BCDE BAFE BADE 0. Correto. A menor distância é a diagonal. AH = + + AH = 08. Incorreto. E PQ = a S PQRS = a. a = a D A B V =.. H B a = a = V = =.) a = b = c = k a = k; b = k; c = k V = k. k. k = k = k = a = ; b = ; c = =. ( ) = 5.8) =.. =. Incorreto. (Veja item 0.) FA = HC = FH = AC = 5 Assim: Perímetro = = + 5.7) Correto. F A B Em ABC, temos: C AC = + AC = 5 DC = a 5
6 .9) Perímetro ABCD = 8( + ) a + a = 8( + ) a.( + ) = 8.( + ) a = V = =,7 { { 0, H D 5 E P F } A 8 B 8 G C 0,9 Q 8 0,9,7 0,9 =,8 O volume discina é igual à metade do volume do paralelepípedo ABCDEFGH. AE = 0,; EH = 8 Cálculo de AB Como os triângulos APQ e AFB são semelhantes, temos: AB = FB AQ PQ Perímetro da superfície BCDE P = x + x + + P = x + P = P = V +. V + Aula.0) C R = 0,75 m V = 705 litros = 7,05 m π R. h = 7,05,. 0,55. h = 7,05 h = m.0) V = π π. R h = π 9. h = h = 7.0) D h = 5 R = Retângulo AB = 0, 5 8, AB = 5 V ABCDEFGH = , = V água =.0) C O líquido assume um formato de prisma de base triangular. C x 5º A y 5º x 5º B E x y x D S = 90 5x = 90 x = V =. H = x Em ABC, temos: y = x + x y = x. = 8x x = V 8 x = V 8 x = V Desnível d = R y d = 7
7 .0) = V 0 π. R. h = π. R. h 0 0 = R.05) D h = R S = R. R = R = R = h = 8 = π.. 8 = π.0) A V = π. R. h V = π π V = 7500 cm V = 7,5 litros 0% de V = ,5 = =,5 litros.07) D Cilindro h = π R = R = π V = π. 9 π V = π..08) C Cilindro equilátero: h = R h = R = V = π.. V = π.09) D Cilindro I Raio: R Altura: h V I = π. R. h = π R. h = (*) I = π. R. (h + R) Cilindro II Raio: R + R Altura: h = R II = π. R. h = π Rh II = I π. R. h = π. R.( h + R) h = h + R h = R R = h Substituindo em (*), temos: R. h = h. h = h = h =.0) C h = R V = π R h V = π R. R V = π R = π Rh = π. h. h = π h Como r r V V A B =, temos: = πr = r r = r = π.) A Secção meridiana 8 = h + h h = h = h = R = 8 ST = π ( + ) = = V π ) C Como os cilindros têm mesmo diâmetro, basta fazermos a média das alturas. h = = = = 7.) C V = ml = cm h = cm V = π. R. = R = π R = π Comprimento Cilindro h = π R =.) C Cilindro A h = r V A = π r. h C = π. π C = π = π π. π π R = π V A = π r. r V = π. π. V = π Logo, V = V. V A = π r Cilindro B h = r V B = π r 7
8 .5) Secção meridiana 0 0 h h sen 0º = h x = R + (R) x = 5R x = R 5.) A = h h = V = π R h V = π.. V = 7 π.8) B V = π. ( 5). π V = 0 m Se está ocupado com 0%, então será completado com 0%. 0% de 0 m = 0. 0 = m = litros.9) C 0 litros 0% x 00% 0 x = x = 00 litros (metade da capacidade) Capacidade total: 00 litros.0) A R. h = 5. (h + R) h + R = R. h 5 inferior S = π. (0, ) S =,. (0, ) S = 0,8 m Preço: 00. 0,8 = 5,5 superior S =,. (0, ) S = 0,8 m Preço: 00. 0,8 = 8,.) = 0 π R. (h + R) = 0 π R. R. h 0 = 0 5 π R h = 00 V = π R h = 00 Superfície laterial =.,. 0,. 0,8 =,507 Preço: 00.,507 = 50,7 Custo total: 5,5 + 8, + 50,7 = 5,50 x V água = π.7) A Cilindro equilátero: h = R V total = π.. = π 8
9 V sobra = 8 π π.. x = 8 π x = No triângulo ABC, tg α = x tg α = α = 0º = Quando tivermos a máxima inclinação, o volume que sobra (8 π ) é igual à metade do volume do cilindro, cuja secção meridiana é ABCD. Aula.0) A Cilindro R = 5 h = 0 V =, = 570 cm x 5 Prisma V = = 0 cm V V = = 0 cm = 0 ml.0) V prisma =. h V prisma = l. h =... = 7 V cilindro = π. R. h = π.. = π V sólido = V prisma V cilindro = 7 π 5 = + x x = 8 Secção h.0) x = 8 S secção = S base 8h = 5 π h = 5 π 8 V = π R h V = π π = 5π 8 8 k = 5π. V R = 5 = π. 5 = 5 π k = π = 0 π 8 9
10 .0) h = h = h = 00. ( + ). Falso also..05) A V = 70 cm r = 5 cm R = 50 cm 0. Falso also. Distância d d = 5. (diâmetro externo) d = Verdadeiro erdadeiro. d = Falso also. Volume V Um tubo: V = π π V = π 0500 π V = 7500 π Todos os tubos: V = π 08. Verdadeiro erdadeiro. V = π. Verdadeiro erdadeiro. Altura h dilha Observe os tubos centrais considerando R = 50. Altura de um dos triângulos equiláteros:.0) 07 V = x h V = x Como V = V, então: x h = x. h h =,5.,7. h h =,595h h 0. Correto. =. ( ) = 800 cm 0. Correto. V = = 000 cm = litros 0. Correto. H = l H = 00 H = 50 Assim: x = 000 x = 0 cm 08. Incorreto. R = 0 h = 50 V = π V,
11 .07) E V cm = 5,7 litros Esse cilindro não pode conter litros.. V cubo =. = V paralelepípedo = = 00 dm Perímetro hexágono = l =.09) E V prisma = l. h.08) 5 V prisma =.. 5 V prisma = 080 V peça = = 50 dm H G E D A 0. Correto. 0. Correto. F M B P C M α.0) D Início V paralelepípedo =.. 0 = 0 Vcilindro = πrh= π.. 0 = 0 π V hangar = π = 0. (8 + π ) EM //HP 0. Falso also. EM = + 9 EM = Falso also. É um tronco de prisma.. Correto. V líquido = 000 π litros πr. = πm R = R = m Fim h h S = ( + ) = 7. Correto. A parte do cubo localizada acima de α tem volume igual a do volume do cubo. Então, arte que está abaixo mede: V final cilindro + V final prisma = V inicial π.. h +. h = π m h π + 5 π. h = π,5 h = h = 0,8 V final prisma =. h V final prisma = 5 π. 0,8
12 V final prisma =, π m V final prisma = 00 π litros H G.) D E M F P.) 7 = 8 + EB EB = 5 = 8. 5 = 0 = S EDCB + S EAFD + S ABCF = = 50 = + = = 80 R = 5 h = 0 V cilindro = π = 50 π V cubo = 5π ( ) = 5 π Como o cilindro estava cheio, o volume de água que transbordou é igual ao volume do cubo, isso é, 5 π. Após a retirada do cubo, sobrou 50 π 5 π = = 5 π cm de água no cilindro. Por regra de três, obtemos: 50 π 0 5 π h 50 π. h = 0. 5 π h = 9 cm.) B F ; F5 F = = A A = V + F = A + V + = + V = 9 I. Incorreta. II. Correta. S = 0º (V ) = 0. 7 = 8. 90º III.Correta Correta. IV. Incorreta. H R B x A 0 O C 0 x Como a base é quadrada e tem área, temos: x = x = Como OR //BC, então OR =. Em OHR, cos 0º = OH. = OH OH = Do mesmo modo, OP =. Num paralelepípedo, as faces opostas são planos paralelos. Daí PM = MH =. Perímetro de MHOP = = 8.5) D π = ; R = ; h = 0.) D = l + l l = l = 8 V prisma =. h = 8. 0 = 0 V cilindro = π. R. h =.. 0 = 0 V sobra = V cilindro V prisma = 0 0 = 0 D.) A
13 Para fins de climatização, consideramos que orta está fechada. Então a base é formador um retângulo de área. 8 = e por um triângulo de área 8. =. Assim, = + = l V galpão = l Um condicionador: 0 m Três condicionadores: 0 m. l = 0 l = 5.7) E V cilindro = π. R. h = π.. 0 = 0 π V prisma =. h = l. h No triângulo ABC, temos: tg 0º = x = h h = h = h =.9) C V prisma =.. 0 = 0 V prisma V cilindro = 0 0 π.8) h V total.. = V água =.. h = h V sobra = h Inclinado Nessa inclinação máxima, o volume que sobra h é igual à metade do volume do paralelepídedo de base m x m e de altura x... x = x = h h.0) C R = cm = 0,0 m h = 50 m V caixa = m = 000 litros V cano = π. (0,0). 50 V cano =,. (0,0). 50 V cano = 0,08 m V cano =,8 litros Sobraram na caixa: 000,8 = 97, litros Regra de três 000 L 00 cm 97, L x 000x = 970 x = 9,7 cm inicial c final c + b b a a V F = V i + 5 ab. (c + ) = abc + 5 abc + ab = abc + 5 ab = 5 (I) F = i +. (ab + a. (c + ) + b. (c + ) =. (ab + ac + + bc) + ab + ac + a + bc + b = ab + ac + bc + a + b = (II) i = 9 ac + bc = 9 c. (a + b) = 8
14 .0) Usando II, temos: c. = 8 c = Agora, utilizando I, obtemos: V = abc V = 5. V = 0 m Aula l = 5 V = l V = ( ) 5 V = 5... V = 5. V = 5.0) D a b = ( ) + = = =.. = = + = 8.0) 0 8 tg 0º = a b 8.0) B 5 = h + h = V = S. h B V =. = h = l 0 = l l = 0. = a b 8 = ab Nirâmide, encontramos: = + ( ) = + 08 = = = =.. = 8 = 8 + =. ( + )
15 .05) Perímetro = 8 l = = = 9 V = 7 9.h = 7 h = 0. Incorreto. É umirâmide. 0. Correto. 0 = h + h = 8 0. Incorreto. A = 08. Correto.. Correto. Uma face.0) D 0 = + = 9 R = l = =. 9 = 8 9 < 80. Incorreto. =. = 5 5.,7 = 9,.08) A S = 8. π.07) = + = 5 = =.. 5 = 0 = + = 9.09) C o o 0.( V ) = V = 9 V = (total de vértices dirâmide) Na base tem 0 vértices. Área total do tetraedro = área de triângulos equiláteros. l = l = l = 5
16 .0) B h = V octaedro =. S. h B V octaedro =.( ). = O octaedro regular é formado por 8 triângulos equiláteros..) 8. a = a = a = O seu volume é igual ao de duas pirâmides quadrangulares.. k = V = S. h. B = = 9 8k = 8. 9 = 8.) A Note que x é a metade da diagonal da base. (x) = + x = Na base, x é a metade da diagonal. x = No triângulo VAB, temos: ( ) = h + x = h + = h = h (x) = ( ) + ( ) x = +
17 x = x = No triângulo VAB:.5).) E ( ) = h + x = h + h = P C h Q x A B Basta calcularmos a altura h dirâmide. = + l = 9 + l = + l = = l + l S face lateral = l. ap l. l = + Como todas as faces têm a mesma área, então: S face lateral = S base l. + l = l cos 0º = x x = = x. x = Em PQB, encontramos: = h + x = h + h =.) E = 8 = V = S. h B =. 5 = 80 + l = l ( + l ) = ( l ) + l = l = 5 l l = 5 l = 5 5. V = 5... H = 5. l. = 5 =. 5. 7
18 .) Pirâmide original.8) B Assim: MP + PN + MH = + + = + h = l V original = S. h B = l. l Novirâmide = l l l Na base, x é a metade da diagonal. l V = 0 S. B h = 0.7) A ( l ). ( l ). ( l ) = 0 ( l ). ( l ). ( l ) = 5.. Como l, l e l são números inteiros, concluímos da igualdade acima que l =. Assim: V original = l = = 7 (x) = (8 ) + (8 ) x = x = x = 8 No triângulo VAB, temos: 7 = h + x 89 = h + h = 5 V = S. h B = ( 8 ). 5 V = 0.9) C l = MH = Como MP + PN tem o menor valor possível, MP e PN são alturas dos triângulos equiláteros que compõem as faces. MP = PN = l = ( ) = l + l = l l = 08 8
19 l =.0) C h = l =. = = = 75 = 5 = ( ) = 08 Montando o sólido, obtemos: S lateral =.. 5 = 80 = + = = 88 V = S. h B = ( 5. 8 ). = 80 9
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