Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 24 de Outubro de 2014

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1 Sumário 1 Questões de Vestibular UP Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Respostas Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questões de Vestibular 1.1 UP Questão 1 Um tanque de contenção de resíduos de uma indústria química possui internamente o formato de um cilindro circular reto com 5 m diâmetro. Como essa indústria está em fase de expansão, decidiu-se construir um segundo tanque de contenção com o mesmo formato e altura, porém capaz de armazenar o dobro do volume de resíduos. Qual dos valores abaixo mais se aproxima do diâmetro desse novo tanque? (a) 6,5 m. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 1

2 (b) 7,1 m. (c) 7,6 m. (d) 8,0 m. (e) 10,0 m. Resposta 1.1. Questão Cada um dos termos de uma sequência de números (com exceção do primeiro) é obtido adicionando-se 7 ao termo anterior. Sabendo-se que um dos termos dessa sequência é -31, qual dos termos listados abaixo pertence a essa sequência? (a) 13. (b) 13. (c) 13. (d) 31. (e) 31. Resposta Questão 3 Supondo que a quantidade residual R de um medicamento, em miligramas, presente no corpo de uma paciente, t horas após a ingestão de um comprimido, possa ser descrita pela expressão R(t) = 15 0,5t, considere as seguintes afirmativas (use log = 0, 3): 1. No instante inicial, t = 0, há 50 mg desse medicamento no corpo da paciente.. Em horas, a quantidade residual atinge metade da quantidade inicial. 3. Para que a quantidade residual atinja 100 mg, são necessárias 4 horas e 40 minutos. Assinale a alternativa correta. (a) Somente a afirmativa é verdadeira. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p.

3 (b) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. (c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. (d) Somente as afirmativas e 3 são verdadeiras. (e) As afirmativas 1, e 3 são verdadeiras. Resposta Questão 4 Uma pirâmide de base quadrada tem todas as suas arestas medindo o mesmo comprimento l. Qual é a área total dessa pirâmide? (a) A = l ( 3 + 1). (b) A = l ( + 1). (c) A = l ( + 1). (d) A = l ( 3 + 1). (e) A = 3 l. Questão anulada, pois não havia alternativa correta devido a erro na impressão. Resposta Questão 5 Alberto, Bernardo e Cléber formam uma equipe de vendedores de uma grande empresa de refrigerantes. No mês passado, Alberto e Cléber venderam, juntos, R$ ,00 em produtos, porém o campeão de vendas foi Cléber, que conseguiu vender o mesmo valor que Alberto e Bernardo juntos. Sabendo que Bernardo conseguiu vender apenas R$ ,00 a mais que Alberto, quanto Cléber conseguiu vender? (a) R$ ,00. (b) R$ ,00. (c) R$ ,00. (d) R$ ,00. (e) R$ ,00. Resposta Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 3

4 1.1.6 Questão 6 Considere as retas r : x+y + = 0 e s : mx+y +n = 0 e avalie as seguintes afirmativas: 1. Quando m = 1, as retas r e s são perpendiculares.. Quando m = 4, as retas r e s são paralelas ou coincidentes. 3. Quando m = 0, a reta s contém o centro da circunferência c : x + y = (m + 1). Assinale a alternativa correta. (a) Somente a afirmativa é verdadeira. (b) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras (c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras (d) Somente as afirmativas e 3 são verdadeiras. (e) As afirmativas 1, e 3 são verdadeiras. Resposta Questão 7 Para quais valores reais b a equação x + bx b = 0 NÃO possui raízes reais? (a) b = 0. (b) 0 < b < 1. (c) 1 < b < 0. (d) b < 0 ou b > 1. (e) b < 1 ou b > 0. Resposta Questão 8 Marisa tem um terreno plano de esquina cujo formato é de um triângulo retângulo com catetos medindo 60 e 30 metros, conforme indicado na figura ao lado. Segundo as leis municipais, ela deve respeitar um recuo de 4 m em cada uma das frentes do terreno e pode construir até a divisa com o terreno ao lado, ou seja, ela pode construir apenas na área hachurada da figura. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 4

5 Qual é a área do terreno que ela tem disponível para construção, respeitando o recuo determinado em lei? (a) 484 m. (b) 550 m. (c) 57 m. (d) 616 m. (e) 660 m. Questão anulada, pois não havia alternativa correta. Resposta Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 5

6 1. Respostas 1..1 Questão 1 O primeiro cilindro possui diâmetro de 5 m e altura h. Então seu raio é de 5 m. Como o volume de um cilindro de raio r e altura h é dado pela fórmula V = π r h, temos que o volume V 1 do primeiro cilindro é: V 1 = π ( ) 5 h = π ( ) 5 h 4 Já o segundo cilindro possui a mesma altura h, porém não sabemos quanto mede seu raio r. Então, o volume V do segundo cilindro é: V = π(r ) h Do enunciado, temos que o volume do segundo cilindro é o dobro do primeiro, ou seja, V = V 1. Logo, V = V 1 ( ) 5 π(r ) h = π h 4 (r ) = 5 (r ) = 5 r = 5 Como r é uma medida, temos que r 0. Portanto, r = 5 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 6

7 Racionalizando, obtemos r = 5 r = 5 Assim, considerando = 1, 4, o diâmetro do segundo cilindro é aproximadamente r = 5 r = 5 = 7 Letra (c) 7,1 m Voltar para a Questão Questão Observe que esta sequência é uma Progressão Aritmética, de razão r = 7. Portanto, como o número 31 faz parte desta sequência, todo outro número a da sequência pode ser expresso por a = 31 + q 7 em que q Z. Reorganizando a equação acima, temos q = a Assim, sempre que substituirmos a 7 por um termo da sequência, q será um número inteiro, ou seja, a divisão será exata. Das alternativas, o único valor para o qual isso ocorre é 13, pois q = = q = 1 Voltar para a Questão Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 7

8 1..3 Questão 3 Na afirmativa 1, basta substituir t por 0. Assim, R(0) = 15 0,5(0) R(0) = 15 R(0) = 15 4 = 500 FALSA Já na afirmativa, substituímos t por. Logo, R() = 15 0,5() R() = 15 1 = 15 R() = 50 VERDADEIRA Na afirmativa 3, devemos encontrar o valor de t para que R(t) = 100. Então, 15 0,5(t) = = 100 0,5t = 0,5t log = log 0,5t log ( 15 ) log 100 = 0, 5t log Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 8

9 log 15 + log = 0, 5t 0, 3 log log = 0, 15t 3 log 5 + 0, 3 = 0, 15t 3 log ( ) , 6 = 0, 15t 3 (log 10 log ) 1, 4 = 0, 15t 3(1 0, 3) 1, 4 = 0, 15t, 1 1, 4 = 0, 15t 0, 7 = 0, 15t t = 7 10 t = = t = 14 3 = t = Para saber quantos minutos equivalem a 3 de hora, fazemos a seguinte Regra de Três: Horas Minutos 1 60 x 3 Como as grandezas são diretamente proporcionais, x = 60 = Logo, são necessárias 4 horas e 40 minutos para a quantidade residual atingir 100 mg. VERDADEIRA Voltar para a Questão 3 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 9

10 1..4 Questão 4 Observe que se a pirâmide tem todas as arestas de mesma medida, então as faces são triângulos equiláteros. Assim, a área lateral A l é A l = 4 l 3 4 A l = l 3 Como a base é quadrada, a área da base A b é l. Logo, a área total A t é A t = A l + A b A t = l 3 + l A t = l ( ) Voltar para a Questão Questão 5 Das informações do enunciado, podemos montar a seguinte tabela, em que a é a quantidade que Alberto vendeu, b a quantidade que Bernardo vendeu e c é a quantidade que Cléber vendeu: Alberto e Cléber venderam juntos R$ ,00 a + c = Cléber vendeu o mesmo que Alberto e Cléber juntos c = a + b Bernardo vendeu R$ ,00 a mais que Alberto b = a Vamos começar substituindo a terceira equação na segunda: c = a + b Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 10

11 c = a + (a ) c = a (II) Agora, isolamos o a na primeira equação. Então, a = c. (I) Em seguida, substituímos (I) em (II): c = a c = (40000 c) c = c c = c = Voltar para a Questão Questão 6 Afirmativa 1. Lembre-se que duas retas r 1 : y = m 1 x + n 1 e r : y = m x + n são perpendiculares quando os respectivos coeficientes angulares m 1 e m satisfazem a relação m 1 = 1 m. Reorganizando as expressões das retas r e s do enunciado, podemos determinar os respectivos coeficientes angulares: r : y = x ; m r = s : y = m x n ; m s = m Assim, considerando m = 1, temos que m s = 1. E portanto, 1 = 1 1 m s = = m r Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 11

12 ou seja, as retas r e s são perpendiculares. m r = 1 m s VERDADEIRA Afirmativa. Considerando m = 4, temos que m s = 4 =, ou seja, s : y = x n. Como, neste caso, temos m r = m s, as retas r e s possuem a mesma inclinação. Logo, serão coincidentes quando n =, caso contrário serão paralelas. VERDADEIRA Afirmativa 3. Considerando m = 0, temos que s é a reta constante y = n. Observe que, neste caso, temos a circunferência c : x + y = 1, na qual o centro é o ponto (0, 0) e o raio é 1. Perceba que somente para n = 0 tem-se que a reta s passa pela origem. Para quaisquer outros valores de n, a reta s não passará por (0, 0). FALSA Voltar para a Questão Questão 7 Para determinar as raízes de uma equação da forma ax +bx+c = 0, com a 0, utilizamos a fórmula x = b ± b 4ac. a Perceba que a equação só terá raízes reais se b 4ac 0. Ou seja, quando b 4ac < 0 a equação não possui raízes reais. Assim, a equação do enunciado x + bx b = 0 não terá raízes reais quando (b) 4(1)( b) < 0 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 1

13 4b + 4b < 0 Vamos primeiro determinar para quais valores de b temos 4b + 4b = 0. Observe que 4b + 4b = 0 4b(b + 1) = 0 Isso ocorre somente quando 4b = 0 ou b + 1 = 0. Logo, os valores que satisfazem a equação 4b + 4b = 0 são b = 0 e b = 1. Assim, temos 4b + 4b b = 1 b = 0 Somente para 1 < b < 0, temos que 4b + 4b < 0, ou seja, a equação x + bx b = 0 não possui raízes reais. Voltar para a Questão 7 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 13

14 1..8 Questão 8 Considere o triângulo retângulo ABC, em que AB = 30 m e AC = 60 m. B β A α C Note que tg α = 30 = 1 sen α e como tg α = temos que 60 cos α 1 = sen α cos α cos α = senα Lembrando da relação fundamental (sen α) + (cos α) = 1, concluímos que (sen α) + (senα) = 1 sen α + 4sen α = 1 sen α = 1 5 Como 0 < α < 90, sen α = 1 5 = 5 5 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 14

15 Visto que cos α = sen α, temos cos α = 5 5 Agora, observe o desenho abaixo: B I F H A D E G C Queremos saber a área de DEF. Para isso, precisamos das medidas de DE e DF. Então, considere os triângulos retângulos DGB, EHG e BFI. Note que DB mede 30 4 = 6 m, IF e EH medem 4 m e o ângulo EĜH mede α e FˆBI mede β. Assim, no triângulo DGB, tg α = 1 = 6 DG DG = 5 Agora, no triângulo EHG, sen α = 5 5 = 4 EG EG = 4 5 Portanto, DE = DG EG = m. Falta determinar DF. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 15

16 Considere o triângulo BFI. Como β e α são ângulos complementares, temos que sen β = cos α 4 FB = 5 5 FB = 5 Observe que DB= 6 m. Logo, DB = DF + FB 6 = DF + 5 DF = 6 5 Portanto, a área A do triãngulo DEF é A = DE DF A = (5 4 5)(6 5) A = Voltar para a Questão 8 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 16