Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 17 de Outubro de 2014

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1 Sumário 1 Questões de Vestibular UFPR Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão s Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questões de Vestibular 1.1 UFPR Questão 1 Num teste de esforço físico, o movimento de um indivíduo caminhando em uma esteira foi registrado por um computador. A partir dos dados coletados, foi gerado o gráfico da distância percorrida, em metros, em função do tempo, em minutos, mostrado abaixo: Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 1

2 (metros) (minutos) De acordo com esse gráfico, considere as seguintes afirmativas: 1. A velocidade média nos primeiros 4 minutos foi de 6 km/h. 2. Durante o teste, a esteira permaneceu parada durante 2 minutos. 3. Durante o teste, a distância total percorrida foi de 1200 m. Assinale a alternativa correta. (a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. (b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. (c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. (d) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. (e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras Questão 2 Numa série de testes para comprovar a eficiência de um novo medicamento, constatou-se que apenas 10% dessa droga permanecem no organismo seis horas após a dose ser ministrada. Se um indivíduo tomar uma dose 250 mg desse medicamento a cada seis horas, que quantidade da droga estará presente em seu organismo logo após ele tomar a quarta dose? (a) 275 mg. (b) 275,25 mg. (c) 277,75 mg. (d) 285 mg. (e) 285,55 mg. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 2

3 1.1.3 Questão 3 André, Beatriz e João resolveram usar duas moedas comuns, não viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do jantar, lançando as duas moedas simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, André lavará a louça; se aparecerem duas caras, Beatriz lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, João lavará a louça. A probabilidade de que João venha a ser sorteado para lavar a louça é de: (a) 25%. (b) 27, 5%. (c) 30%. (d) 33, 3%. (e) 50% Questão 4 As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h? 12 cm 16 cm h 4 cm (a) 5 cm. (b) 6 cm. (c) 6,25 cm. (d) 7,11 cm. (e) 8,43 cm. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 3

4 1.1.5 Questão 5 Na figura ao lado estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é: (a) x 2y = 4 (b) 4x 9y = 0 (c) 2x + 3y = 1 (d) x + y = 3 (e) 2x y = Questão 6 Todas as faces de um cubo sólido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta 3 cm. Com relação a esses cubos, considere as seguintes afirmativas: 1. Seis desses cubos menores terão exatamente uma face pintada de verde. 2. Vinte e quatro desses cubos menores terão exatamente duas faces pintadas de verde. 3. Oito desses cubos menores terão exatamente três faces pintadas de verde. 4. Um desses cubos menores não terá nenhuma das faces pintada de verde. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 4

5 Assinale a alternativa correta. (a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. (b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. (c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. (d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. (e) firmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras Questão 7 Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25 centavos, totalizando R$3, 25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? (a) 6. (b) 8. (c) 9. (d) 10. (e) Questão 8 Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula: ( ) L log = 0, 08x 15 Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? (a) 150 lumens. (b) 15 lumens. (c) 10 lumens. (d) 1,5 lumens. (e) 1 lúmen. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 5

6 1.1.9 Questão 9 Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano permanecerá acima da superfície? (a) 1 2 cm. (b) 1 cm. (c) 3 2 cm. (d) π 2 cm. (e) 2 cm. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 6

7 1.2 s Questão 1 Item 1 - Para calcular a velocidade média V m do indivíduo nos primeiros 4 minutos, utilizamos a fórmula que relaciona a distancia percorrida e o tempo gasto: V m = s t = s s 0 t t 0 Como estamos considerando os primeiros 4 minutos, temos t 0 = 0 e t = 4. Observando o gráfico, para esses valores de tempo temos as marcas s 0 = 200 e s = 600, respectivamente. Assim, a parte de cima da fração é = 400 metros e a parte de baixo é 4 0 = 4 minutos. Visto que a unidade da resposta do item 1 é km/h, vamos converter os dados que encontramos, que estão por enquanto em m/min. Para converter uma medida em metros para quilômetros, dividimos essa medida por 1000, pois 1 km equivale a 1000 m (em caso de dúvida, faça a Regra de Três). Então, 400 m equivalem a = 4 10 km. Da mesma forma para o tempo, para converter uma medida em minutos para horas, devemos dividir essa medida por 60, pois 1 h equivale a 60 min. Logo, 4 min equivalem a 4 60 h. Portanto, a velocidade média, em km/h, é V m = = = 6 Item 2 - Observe que entre os tempos de 6 minutos e 8 minutos, o gráfico ficou constante, o que significa que a esteira parou durante esses dois minutos. Item 3 - Como a última distância registrada é de 1400 m e a primeira é de 200 m, a distância percorrida foi de = 1200 metros. Voltar para a Questão 1 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 7

8 1.2.2 Questão 2 De acordo com o enunciado, logo após tomar a primeira dose, 250 mg de medicamento estarão no organismo desse indivíduo, porém somente 10% disso, no caso 25 mg, continuarão no organismo. Então, quando o indivíduo tomar a segunda dose de 250 mg, no seu organismo haverá = 275 mg de medicamento. Sendo assim, podemos montar a tabela abaixo: 1 a Dose 2 a Dose 3 a Dose 4 a Dose Toma 250 mg 250 mg 250 mg 250 mg Tem no organismo 250 mg 275 mg 277,5 mg 277,75 mg Permanece 25 mg 27,5 mg 27,75 mg 27,775 mg Portanto, logo após a quarta dose, haverá 277,75 mg do medicamento no organismo do indivíduo. Voltar para a Questão Questão 3 Os possíveis resultados para o lançamento de duas moedas simultaneamente são: Moeda 1 Cara (k 1 ) Coroa (c 1 ) Moeda 2 Cara (k 2 ) k 1 k 2 c 1 k 2 Coroa (c 2 ) k 1 c 2 c 1 c 2 Como temos 4 possíveis resultados e em dois deles aparecem uma cara e uma coroa (c 1 k 2 e k 1 c 2 ), a probabilidade de João lavar a louça é de 2, ou seja, de 50%. 4 Voltar para a Questão Questão 4 Lembrando que o volume de um cilindro é dado por V = πr 2 h, temos que Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 8

9 o volume V 1 do primeiro cilindro é V 1 = π 6 2 h = 36πh; o volume V 2 do segundo cilindro é V 2 = π = 256π. De acordo com o enunciado, os volumes devem ser iguais. Então, V 1 = V 2 Voltar para a Questão 4 36πh = 256π h = = , Questão 5 Como a área do quadrado cinza é 4, seus lados medem 4 = 2 unidades. Da mesma forma, como a área do quadrado hachurado é 9, seus lados medem 9 = 3 unidades. Assim, observando o gráfico, temos que o primeiro ponto, comum à reta e ao quadrado cinza, tem abscissa 0 pois está sobre o eixo y, e ordenada 2, pois é o vértice do quadrado cinza. Logo, tem coordenadas (0, 2). Já o segundo ponto, comum à reta e ao quadrado hachurado, tem coordenadas (2, 3). Então, o coeficiente angular m da reta que passa por esses dois pontos é m = y 1 y 0 x 1 x 0 = = 1 2 Portanto, a equação da reta é y y 0 = m(x x 0 ) y 2 = 1 2 (x 0) = x 2 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 9

10 2y 4 = x x 2y = 4 Voltar para a Questão Questão 6 Observe a figura abaixo: Note que: O cubo central de cada face do cubo maior terá apenas uma de suas faces pintadas, e como há 6 faces, há 6 cubos menores com essa característica; Os 8 cubos que estão nos cantos do cubo maior terão 3 faces pintadas de verde; 1 cubo que está no centro do cubo maior não terá faces pintadas de verde; Os 12 cubos restantes terão 2 faces pintadas de verde. Logo, somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. Voltar para a Questão Questão 7 De acordo com o enunciado, a quantidade de moedas de 5 e de 10 centavos é a mesma, então vamos dizer que é uma quantidade x. E seja y a quantidade de moedas de 25 centavos. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 10

11 Como há 20 moedas no total, temos que somando as quantidades de moedas de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos teremos como resultado 20. Ou seja, x + x + y = 20 2x + y = 20. Visto que há um total de R$ 3,25 na bolsa, podemos concluir que 0, 05x + 0, 10x + 0, 25y = 3, 25 0, 15x + 0, 25y = 3, 25. Logo, temos o seguinte sistema linear 2x + y = 20 0, 15x + 0, 25y = 3, 25 Já que só precisamos saber a quantidade de moedas de 25 centavos, ou seja, o valor de y, isolamos o x na primeira equação: x = 20 y 2 E agora substituímos na segunda equação para encontrar o valor de y: ( ) 20 y 0, , 25y = 3, , 15y 2 3 0, 15y + 0, 50y 2 + 0, 25y = 3, , 35y = 6, 5 = 3, 25 Voltar para a Questão 7 0, 35y = 3, y = y = = 10 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 11

12 1.2.8 Questão 8 Basta substituir o valor dado 12,5 no lugar de x: log L 15 = 0, 08 12, 5 log L 15 = = log L 15 = 1 Aplicando a operação inversa, temos que 10 log L 15 = 10 1 Voltar para a Questão 8 L 15 = 1 10 L = = 1, Questão 9 Imagine o seguinte triângulo equilátero, Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 12

13 sendo que AH mede 8 + x e DH mede 3. Lembre-se que: No triângulo equilátero a mediana coincide com a altura e o baricentro coincide com o incentro; O baricentro divide a mediana de um triângulo em dois segmentos tais que o segmento maior tem o dobro da medida do segmento menor. Assim, temos as seguintes relações: AD = 2DH AD + DH = AH 2DH + DH = AH 3DH = AH Logo, 3DH = AH 3(3) = 8 + x x = 1 Voltar para a Questão 9 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 13