Gabarito da Primeira Fase Nível Beta

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1 . Gabarito da Primeira Fase Nível Beta Questão 1 (20 pontos) A Figura 1 a seguir é uma representação da praça do ciclo básico na Unicamp. Nos extremos desta praça, cujo formato é circular, se encontram diversos institutos, entre eles o IMECC, o IFCH e o IFGW conforme indicado na figura. No centro da praça se encontra um lago circular (representado pelo círculo hachurado na figura) o qual pode ser contornado a pé. Para caminhar de um lugar a outro, pode-se caminhar pelas ruas que ligam os institutos ao lago, pelo contorno do lago ou pelo contorno da praça. Assim, por exemplo, se uma pessoa que está no IMECC desejar ir ao IFGW ela pode caminhar pela borda da praça ou tomar um caminho que passe pelo lago. Figura 1: Ciclo Básico da UNICAMP Na Figura 2 são dadas as medidas aproximadas dos raios e ângulos envolvidos na representação. Baseando-se nestas figuras determine qual é o melhor caminho (ou seja, o caminho onde se caminha a menor distância) a se tomar para ir do IMECC ao Restaurante universitário? Página 1 de 12

2 Figura 2: Medidas envolvidas Solução: Para ir do IMECC ao restaurante universitário temos diversas possibilidades que podem ser divididas em dois grupos: Grupo 1: Caminhos que passam pelo lago; Grupo 2: Caminhos que não passam pelo lago. Dentre os caminhos que passam pelo lago temos os caminhos em que caminhamos em algum momento no contorno da praça e caminhos onde apenas utilizamos as ruas que são conectadas ao lago e a borda do lago, como mostram as seguintes figuras: Página 2 de 12

3 Dentre os caminhos 1, 2, 3, 4 observe que o caminho 1 é o de menor distância uma vez que os arcos do contorno da praça tem sempre comprimento maior que o arco de mesmo ângulo no contorno do lago. Agora, como o raio da praça é 150m e o raio do lago 30m então cada rua conectada ao lago tem comprimento 120m. Assim, a distância percorrida no caminho 1 é: L 1 = π 30 2 = π metros. No segundo grupo de caminhos temos apenas duas possibilidades, representadas nos caminhos 5 e 6 abaixo, ambas com a mesma distância percorrida no total uma vez que o IMECC e o restaurante universitário estão em pontos opostos da praça. Página 3 de 12

4 é: Como o raio da praça é de 150m o comprimento do caminho 5 (que é o mesmo que o do caminho 6) L 2 = 2π = 150π metros. Assim precisamos comparar L 1 e L 2. Como π > 2 temos 120π > π > π. Logo L 2 > L 1 o que significa que o caminho 1 é o caminho com o menor comprimento para ir do IMECC ao Restaurante universitário. Questão 2 (20 pontos) Determine todos os pares de números inteiros (m, n) satisfazendo m 2 = n Solução: Suponhamos que m e n são inteiros satisfazendo a equação do enunciado, ou seja, m 2 = n m 2 n 2 = Assim temos (m + n)(m n) = 2019, o que significa que m + n e m n são divisores de Note que 2019 é divisível por 3, já que Página 4 de 12

5 = 12, assim pode-se ver que: 2019 = = 3 673, e 673 é primo. Assim temos oito possibilidades: 1) m + n = 1 e m n = 2019; 2) m + n = 2019 e m n = 1; 3) m + n = 1 e m n = 2019; 4) m + n = 2019 e m n = 1; 5) m + n = 3 e m n = 673; 6) m + n = 673 e m n = 3; 7) m + n = 3 e m n = 673; 8) m + n = 673 e m n = 3. No primeiro sistema, somando as equações teríamos: 2m = 2020 m = Substituindo obtemos n = Logo (1010, 1009) é uma solução. No segundo sistema, somando as equações teríamos: 2m = 2020 m = Substituindo obtemos n = Logo (1010, 1009) é uma solução. Analogamente, repetindo tal argumento para os outros sistemas temos que suas soluções são respectivamente: ( 1010, 1009), ( 1010, 1009), (338, 335), (338, 335), ( 338, 335), ( 338, 335). Logo os únicos pares possíveis são: (1010, 1009), (1010, 1009), ( 1010, 1009), ( 1010, 1009), (338, 335), (338, 335), ( 338, 335), ( 338, 335). Questão 3 (20 pontos) Senhas fazem parte do nosso dia a dia e são, em geral, combinações de caracteres que podem ser letras, números, símbolos, etc. As senhas podem ser descobertas por programas Página 5 de 12

6 de computador de diversas maneiras. A mais simples é um programa que testa todas as combinações de senhas possíveis. Nesse caso, ter uma senha mais forte é sinônimo de ter uma senha que precise de muitos testes do programa para ser decoberta, porque assim o programa demora mais para testar todas as senhas possíveis. a) Quantas senhas existem da seguinte forma: 6 dígitos que podem ser letras maiúsculas ou minúsculas? (Considere 26 letras no alfabeto) b) Quantas senhas existem da seguinte forma: 10 dígitos que podem ser letras apenas minúsculas? c) Qual a senha mais forte, do item (a) ou do item (b)? Justifique sua resposta. Solução a) Como estamos considerando um alfabeto com 26 letras, temos 52 tipos de caracteres diferentes: as 26 letras minúsculas e as 26 maiúsculas. Como a senha será composta por 6 dígitos e temos 52 escolhas para cada um dos dígitos, temos: = 52 6 senhas diferentes. b) Usando um raciocínio análogo, neste caso temos 26 escolhas possíveis para cada dígito. Como a senha será composta por 10 dígitos há um total de senhas diferentes. c) Para saber qual dos tipos de senha é mais vantajoso em termos de segurança basta comparar a quantidade de senhas possíveis com cada um dos tipos. Ou seja, devemos comparar 52 6 com e ver qual é maior. Note que 52 = 2 26 e, portanto, 52 6 = Página 6 de 12

7 Ainda, podemos escrever 26 = 2 13 e temos 26 4 = Mas então, como 13 4 > 2 2, segue que = = > = = 52 6, logo > 52 6, donde concluímos que o tipo de senha com 10 dígitos e usando apenas as 26 letras minúsculas é mais vantajosa que as senhas formadas por 6 dígitos com 52 possibilidades para cada dígito. Questão 4 (20 pontos) Um x mágico consiste em um conjunto de cinco quadradinhos em formato de x, com um número em cada quadradinho, de modo que todos os números são distintos e as diagonais possuem a mesma soma. Por exemplo, o x formado com os números 4, 5, 6, 7, 8 como mostrado na Figura 3 abaixo é um x mágico : Figura 3: x mágico formado com os números 4, 5, 6, 7, 8 A soma de cada uma das diagonais de um x mágico é chamada de constante mágica. No caso do exemplo dado na Figura 3 acima, a constante mágica é 18 = = a) Construa um x mágico com os números 1, 2, 3, 4 e 5. b) Determine todos os possíveis valores de constantes mágicas que podem ser obtidos a partir de um x mágico montado com os números 1, 2, 3, 4 e 5. c) Dada uma progressão aritmética (PA) de números inteiros a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, mostre que é possível construir um x mágico com os cinco termos desta PA. Página 7 de 12

8 Solução: a) Na figura a seguir temos alguns exemplos de x mágicos com os números 1, 2, 3, 4 e 5. Figura 4: Exemplos de x mágicos com os números 1, 2, 3, 4, 5. b) Nas figuras da solução da alternativa (1) podemos ver que = 8, = 9 e = 10 são possibilidades de constantes mágicas para um x mágico construido a partir de 1, 2, 3, 4 e 5. Vamos verificar que estas são as únicas possibilidades. Considere um x mágico geral formado com 1, 2, 3, 4, 5. Chame de a o número central, b e c os números que estão em uma diagonal e d e e os que estão em outra (como na figura abaixo). Como a + b + c + d + e = = 15 e como b + c = d + e temos 15 = a + b + c + d + e = a + 2(b + c). Página 8 de 12

9 Logo a é ímpar e a constante mágica é: a + b + c = 15 (b + c). possibilidades são: Como a {1, 2, 3, 4, 5} as i) a = 1, neste caso 15 = , logo b + c = 7 e a + b + c = = 8; ii) a = 3, neste caso 15 = , logo b + c = 6 e a + b + c = = 9; iii) a = 5, neste caso 15 = , logo b + c = 5 e a + b + c = = 10. Assim, as possibilidades de constantes mágicas são de fato apenas 8, 9 e 10. c) Sejam a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 cinco termos consecutivos de uma PA, por definição de progressão aritmética sabemos que: a 5 a 4 = a 3 a 2, logo Em particular a 5 + a 2 = a 3 + a 4. a 1 + a 2 + a 5 = a 1 + a 3 + a 4. Assim, para construir um x mágico com estes termos basta colocar a 1 no centro, a 2 e a 5 em uma diagonal, e a 3 e a 4 na outra:. Questão 5 (20 pontos) Na figura a seguir os triângulos ABC, CDE e EF G são triângulos equiláteros. Além disso sabe-se que D é o ponto médio do segmento BC e que F é o ponto médio do segmento DE. Página 9 de 12

10 a) Prove que os pontos A, D e G são colineares, ou seja, os três pertencem a uma mesma reta. b) Supondo que AG = 1 m, determine o tamanho dos lados do triângulo ABC. Solução: a) Consideremos a reta r que passa pelos pontos D e G. Observe que se r for perpendicular a CB em D então r deve passar por A pois, uma vez que o triângulo ABC é equilátero, a reta que passa por A e D é perpendicular a BC em D. Ou seja, basta mostrarmos que r é perpendicular a BC em D. Seja l o compirmento de AB então, como D é ponto médio de BC temos CD = l 2, e como F é ponto médio de DE temos F D = EF = CD 2 = l 4. Como EF G é equilátero então EF = F G de onde concluimos que DF G é um triângulo isósceles com F D = F G. Agora vamos calcular os ângulos internos deste triângulo (veja a figura 5 abaixo ) Como EF G = 60 então GF D = 120. Assim, EDG = = 30. Página 10 de 12

11 Figura 5: Relações no triângulo DGF Como CDE é equilátero então EDC = 60. Assim, concluímos que o ângulo GDC formado entre a reta r e o segmento BC é de 90 pois: GDC = EDC + EDG = = 90. Logo, de fato r é perpendicular a BC em D e, portanto, também passa pelo ponto A, isto é, A, D e G são colineares como queríamos demonstrar. b) Agora, considere que AG = 1 m. Como A, D e G são colineares (pela alternativa (a)), temos: AD + DG = AG = 1 m. (1) Página 11 de 12

12 Seja l o lado do triângulo ABC, como AD é altura de ABC temos: AD = l 3 2. (2) Agora, na figura 4 olhemos para o triângulo EGD. Como EGF = 60 e F GD = 30 temos que EGD é um triângulo retângulo em G. Além disso, como observado na solução da alternativa (a), como D é ponto médio de BC temos e como F é ponto médio de DE temos DE = l 2, EG = CD 2 = l 4. Assim, por pitágoras temos: Logo, Portanto, substituindo (2) e (3) em (1) temos DG 2 + EG 2 = ED 2 DG 2 + l2 16 = l2 4. DG 2 = l2 4 l2 16 = 3l = l l 3 4 = 3 3 DG = l 3 4. (3) 4 l l = 4 Assim, o comprimento do lado do triângulo ABC é de m. 3 3 = Página 12 de 12