6. S d 2 = 80 ( ) 2 S d 2 = S d 2 = (constante de proporcionalidade) 6.1. Se d = , então d 2 = e S = 20

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1 Matemática.º Ano 41 Praticar + para a prova final páginas 1 a Número de casos favoráveis: 1 Número de casos possíveis: 5 Logo, P( ser o criminoso ) = Número de casos favoráveis: 1 Número de casos possíveis: 5 Logo, P( ser o sr. Barreira ) = a fila: a fila: a fila: a fila: a fila: a fila: R.: 7 troncos.. Como P( não funcionar ) = 0,05, então, a P( funcionar ) = 1 0,05 = 0,5. 1. a. a F 0,5 0,5 = 0,05 F F F 0,5 0,05 = 0,0475 F 0,05 0,5 = 0,0475 F 0,05 0,05 = 0,005 Como o computador só funciona se as duas placas funcionarem, P = 0, , ,005 = 0, A área de cada quadrado é 4 cm (5 : 1 = 4). Então, cada quadrado tem cm de lado. Logo, P = = 5 R.: P = 5 cm 5. C ganha a Catarina; F ganha o Filipe Filipe Catarina C C C C C C F F C C C C 5 F F C C 7 F F F F C C F F F F C C 11 F F F F C C Por observação da tabela, existem 18 casos favoráveis à Catarina e 1 casos favoráveis ao Filipe. Logo, a Catarina tem maior probabilidade de ganhar.. S d = 80 ( ) S d = S d = (constante de proporcionalidade).1. Se d = 10 8, então d = e S = S = 10 S = 0.. Como S d = , se S = 10 15, logo, então d = d = 4 10 Logo, d = 4 10 = 10 = A [AEGF] = (x 1) (x 4 x) = = (x 1)(5x 4) = = 10x 8x 5x + 4 = = 10x 1x + 4 HF + CD 7.. A [HCDF] = FI A [HCDF] = x + x 4 (x 4 x + 1) = = 7x 4 (4x ) = = 8 x 1 x 1 x 1 + = 14x 7 x A colorida = A [DEF] + A [BHFG] A [DEF] = ED EF ED = x 4 (x 1) = = x 4 x + 1 = = 4x EF = x 4 x = = 5x 4 Assim, A [DEF] = (4x ) (5x 4) A [BHFG] = BH FH, ou seja, A [BHFG] = (x 1) x. Como A colorida = 1, temos:

2 A_Prova 4 (4x ) (5x 4) + (x 1)x = 1 0x 1x 15x x x = 1 0x 1x x x = 4 4x x 0 = 0 x = x = ± 4 4 0) ( 4 ± x = 0 x = x = Pelo teorema de Pitágoras, OC = OD + CD, ou seja, 5 = 4 + OD OD = 5 1 OD = ± OD = Logo, A [ABC] = 8 (5 + ) = 8 8 = R.: A = cm. 11. ± 5 x = AB = k x = CD ± 11.. = k 11.. BG = 1 AB BE k = = 1 k AD 8. Seja p o número de bolas pretas e b o número de bolas brancas. Sabemos que: p > b, p b = 1 e p + b = 8. Assim, (8 p) p = 1 8p p 1 = 0 p 8p + 1 = 0 8 ± (8) p = 4 1(1) 1 8 ± 1 p = p = 1 p = 1 C.S. = {1, 1} Como p > b, então p = 1. Logo, número de casos favoráveis: 1 Número de casos possíveis: 8 Então, P = 1 = Como AB = unidades e CD = 7 unidades, CD = 7, ou seja, CD = 7 AB. Concluímos então que [AB] e [CD] são comensuráveis. 10. A [ABC] = BC AD Como BC = 8 cm, DC = 4 cm. Sabemos que OA = 5 cm ,5 + + x = x = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x = x = 1 x = =, ou seja, pintou duas faces de vermelho = 4, ou seja, quatro faces pintadas de roxo e duas de castanho. 1. Pelo teorema de Pitágoras, x = x = 4 1 x = x = 4 A Hexágono = P ap A Hexágono = 8 4 = 4 4 = R.: A = cm O Rui não vai à praia Se estiver Sol, o Rui vai à praia.

3 Matemática.º Ano O Rui vai à praia se e só se estiver Sol p q 15.. ~p 15.. q p 1. α = 180 (n ) n 144 n = 180n 0 n = 0 n = 10 R.: O polígono tem 10 lados. 0 o 17. A amplitude de cada ângulo externo de um polígono regular é igual a. Então, n,5 o = 0 o n 0o n =, 5 o n = 1 R.: O polígono tem 1 lados a) Por exemplo, ABD e BCI. b) Por exemplo, ABH e BCI. c) Por exemplo, BC e DE Ponto J As retas PC e IC são perpendiculares. PC e CD pertencem ao plano ABC e são concorrentes. Como IC é perpendicular ao plano ABC, no ponto C, então é perpendicular a todas as retas do plano ABC que passam por C Pelo teorema de Pitágoras, temos: = 1 + OM OM = 4 1 OM = R.: OM = cm V prisma = Ab h Ab = Ab = P ap = Logo, V prisma = = 1 0,78 R.: V prisma 0,78 cm o termo 4 fósforos: o termo 7 fósforos: + 1. o termo 10 fósforos: o termo 1 fósforos: O termo geral desta sequência é n + 1. n + 1 = 05 n = 05 1 n = 04 n = 0 4 e 0 4 N Logo, não existe um termo constituído por 05 fósforos No final de 00, n =. Então, n() = 5 ( 5) + 10 = = 8,4, ou 5 seja, 8, = 8400 R.: 8400 animais. 0.. n(t) = 10 5 (t 5) + 10 = 10 5 (t 5) = 0 (t 5) = 0 t = 5 R.: No início de Sabemos que n(5) = = 000 R.: 000 animais n(t) = 0 5 (t 5) + 10 = 0 (t 5) = 5 t 5 = 5 t 5 = 5 t = 0 t = = 010 R.: No início de O triângulo [ACD] é isósceles porque [AC] e [AD] são raios de circunferência, ou seja, AC = AD = cm. 1.. Como DAB é um ângulo ao centro, DA^B = 4 o. Como o ângulo DCB é um ângulo inscrito no mes- mo arco que DA^B, então DC^B = 4 = o. o

4 A_Prova O triângulo [CEB] é retângulo porque está inscrito numa semicircunferência. Então, pelo teorema de Pitágoras, BC = CE + BE, ou seja, = + BE BE = BE = ± 7 BE = 7 A [CEB] = R.: A [CEB = 7,8 cm...1. π,8 e 1,7 O menor número inteiro pertencente a A é e o maior é 1... (5) + (1 ) = 1 = 5 + (1 + () ) = = = = = ( ) ( ) = = Como pertence a A... [A] A R = A [B] A R + = ]0, [ [C] A ]0, +[ = ]0, [ [D] A [0, ] = [0, [ Logo, a opção correta é a [D].. [A] Falsa, por exemplo <, então não são semelhantes porque [B] Falsa, CE EB 7 A [CEB] = 7, = 1, não é losango. [C] Verdadeira, porque todos os quadrados têm os quatro lados geometricamente iguais. [D] Falsa, Logo, a opção correta é a [C]. não é geometricamente igual a a) Número de casos favoráveis: 0 Número de casos possíveis: Logo, p(a) = = Número de casos favoráveis b) p(e) = = Número de casos possíveis = = = 5 1 p(e) = 1 p(e) = 1 = Número de casos favoráveis: 0 Número de casos possíveis: = Logo, P(A B) = = 0, Os triângulos [ABC] e [BFG] são semelhantes pelo critério AA: α = α e AB^C = FB^G. 5.. Como a razão entre as áreas (segundo uma ampliação) é 1, então a razão de semelhança é 1 = 4. P [ABC] Assim, = r, ou seja P [ABC] = 4 P[BFG] 1 P [ABC] = 4 1 P [ABC] = 4 R.: P [ABC] = 4 cm...1. a) Por exemplo, EJ e DG. b) [BH] c) Plano ABH.

5 Matemática.º Ano 45.. Os planos ABC e DEF são paralelos. Logo, se r é perpendicular a ABC, então r é perpendicular a DEF... [EF].4. Sabemos que EF = AB = 4 cm. JF = BJ AE = 15 1 = cm. Pelo teorema de Pitágoras, EJ = JF + EF EJ = + 4 EJ = + 1 EJ = 5 EJ = ± 5 EJ = 5 R.: EJ = 5 cm..5. [ABJ] é um triângulo retângulo em B. Então, tg (AJ^B) = AJ^B: tg ,o R.: J^B = 14, o... V [ABCHFEDG] = 4 1 = 1 V [DEFGIJ] = EF JF DE V [DEFGIJ] = 4 4 = 4 Logo, V total = = 1 R.: V = 1 cm. 7. x (x 1 ) 1 = (x 1) x x x = x + 1 x x + x = x + x x + x + x = 0 x + 5x = 0 5 ± 5 4 ) ( x = x = x = x = 1 C.S.:, 1 8. tg α = s enα = cos α AB BJ 5 ± =. (x + 7) = 1 x + 7 = ± 1 x + 7 = 4 x + 7 = 4 x = 11 x = C.S. = { 11, } R.: 11 e. 0. A opção correta é a [A]. 1. A reta r não representa graficamente a fução f porque a inclinação da reta r é positiva e o declive de f é. A reta s não representa graficamente a função f porque a reta interseta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1) e a ordenada na origem de f é.. x 1 (x 1) x 1 x 1 x + x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4x 18x + 18 x + 4x 18x + x x 1 11x 1 x = 1 11 C.S. =, (x ) = x 1 4x + 8 = x 1 8x + 1 = x 1 8x x = 1 1 x = 17 x = 1 7 Assim, x 7 = 1 = V = 7 a = 7 a = Logo a = 1,5. R.: 1,5 dm.

6 A_Prova h() + f( 1) = = 1 () + 1 = 1 = = = = Como o ponto B pertence ao gráfico de h, então h( ) = 1 ( ) = 4 =. Logo, B(, ). O ponto A pertence aos gráficos de g e de h. Assim, h(x) = 1 x = x = 4 x = ± Logo, A(, ). Por outro lado, g() = k = k = 4 R.: k = O ponto C pertence ao gráfico de f. Como f(4) = 4 = 1, então C 4, A [CBA] = b h A [CBA] = 4,5 = 5 R.: A = 5 u.a O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima e com a mesma abertura do gráfico de h. Logo, a expressão é 1 x e a opção correta é a [B]...1. B A E C A D.. T CD (C) = D e T DA (D) = A, então a imagem do ponto C por T DA, o T CD é o ponto A. E D C B Pelo teorema de Pitágoras, temos_ () = (7) + b b = 7 b = ± 1 b = Como tg α = tg 0 o = 1 b 1 b = b = b = b = 1 A = b h 1 1 Logo, A = = 18 1,7 R.: A = 1,7 cm. 7.. Nota que sen α = cos β e que cos α = sen β. cos α sen β + sen α cos β = = cos α cos α + sen α sen α = = cos α + sen α = = Os triângulos [ABC] e [DEC] são semelhantes pelo critério AA, pois AB^C = DE^C = 0 o e BC^A = EC^D (ângulo comum). 8.. Como os triângulos são isósceles, AB = BC = cm e DE = EC = 4 cm. AB + DE Assim, A [ABDE] = BE A [ABDE] = + 4 = 10 R.: A [ABDE] = 10 cm = 4 = ( 4 ) = = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente

7 Matemática.º Ano = 7 4 = 7 5 = = = = (7 ) O triângulo [AOB] é isósceles e OB =. Logo, a abcissa de A é =. Como A pertence ao gráfico da função f, temos: 1 f() = ( 10) = = = 7 1 = 7,1 10 Assim, A(; 7,1) e a altura do triângulo é 7,1. OB 7,1 Logo, A [AOB] = = 7,1 = 1, u.a a) Por exemplo, CD. b) Por exemplo, BF e ED. c) Por exemplo, CBF e ABC A reta s é paralela à reta AB, porque, sendo EF paralela a AB, então se s é paralela a EF também é paralela a AB A reta CB é perpendicular aos planos ABF e CDE. Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos. Logo, o plano BCF é paralelo ao plano ADE O ponto P é o ponto médio de [AB], porque três pontos colineares não definem um plano Um pnlano, porque por um ponto exterior a um plano passa um único plano paralelo ao primeiro. 4. Como a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: S = (n ) 180 o = (5 ) 180 o = 540 o ^ β = 540 o 11 o 14 o 4 o 1 o = 80 o o 105 o = 75 o α^ = 75 o + 1 o = 10 o y x = 8 = 4 5 k = 4 k = x y = 8 = 1 k = 1 =, x y = 4 x y = 4 ( y) y = 4 x + y = 1 x + y = x = y 5 y y = 4 y = y = 1 y = 1 x = 1 x = 10 C.S. = {(10, 1)} R.: (10, 1) Pelo teorema de Pitágoras, SP = OS + OP. Assim, = x + x x = x = ± 18 x = Logo, P(, 0), S(0, ), R(, 0) e Q(0, ). 4.. A ordenada na origem é igual à ordenada do ponto S,. 0 Assim, y = ax + e a [SP] = = 1 0 Logo, y = x Seja v o número de vacas e g o número de galinhas. Como há 40 cabeças: v + g = 40 Como há 100 patas: 4v + g = 100 Assim, v = 40 g 4(40 g) + g = g + g = 100 v = 10 g = 0 g = 0 Logo, a opção correta é a [C].. Como [ABC] é um triângulo equilátero, cada um dos seus ângulos internos tem 0 o de amplitude.

8 A_Prova Assim, DC^A = 180 o 0 o = 10 o. Consideremos o triângulo [ACD]. Como CA = CD, então AD^C = CA^D. Logo, α^ = 180o 10 o = 0 o Então, β^ = 180 o CA^B DA^C, ou seja, β^ = 180 o 0 o 0 o = 0 o. 4. Como a média de 10 números é, a soma dos 10 números é igual a 10 = 0. Como a média de dois números desse conjunto é 8, então a soma desses números é igual a 8 = 5. Logo, a média dos restantes oito números é igual a 0 5 =. 8