( ) ( ) FUVEST 08/01/ /11/2008 Seu pé direito nas melhores Faculdades MATEMÁTICA

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1 FUVEST 08/0/009 //008 Seu pé direito nas melhores Faculdades MTEMÁTIC 0. Na figura, a reta r tem equação y x + no plano cartesiano Oxy. lém disso, os pontos 0,,, estão na reta r, sendo 0 0,). Os pontos 0,,, estão no eixo Ox, com 0 O 0,0). D O ponto D i pertence ao segmento i i, para i. Os segmentos,, são paralelos ao eixo Oy, D os segmentos 0D, D, D são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre i e i + é igual a 9, para 0 i. R 0 D R R x 0 y 0 O 0 0 x y + + Como x y + + Nessas condições: SR. 0 Então SR. + ) S. + ) R S R0 + S R + S R 9 + a) Determine as abscissas de,,. b) Sendo R i o retângulo de base i i + e altura i + D i +, para 0 i, calcule a soma das áreas dos retângulos R 0, R e R. S R0 + S R + S R 9 + ) 0. Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio, e os pontos,, e, de tal modo que: a) Se y x +, então m r. No 0 D, temos: ) ) 0D + D D tg α D 0 ) ) 9 0D + D D 0D 9 )α 0 D. O ponto O pertence ao segmento. O, O.. e são pontos da circunferência, e Resolvendo o sistema, resulta 0 D. ssim sendo, determine: b) Como O, obtemos: x, x e x 9 a) área do triângulo O. b) Os comprimentos dos arcos determinados por e em C. c) área da região hachurada. CV fuv08fnov_inteira

2 ) Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST //008 FUVEST 08/0/009 α ) c O γ a) No O, aplicamos itágoras e obtemos: c O) O) + ) + ) S O O. b) No O: sen α ) β S O α 0º No O: sen β β º Logo, γ α + β γ 7º 7º c 0º. π. c π c 8º 0º c) S S O + S O + S O. π. c 9 π 0. Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por x + m y 0 mx + m ) y 0 Desse modo: a) Resolva o sistema para m. b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções. c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma x, y) α, ), sendo α um número irracional. x + y 0 a) ara m obtemos o seguinte sistema x + y 0 s duas equações são equivalentes, o que sugere um SI. ssim, fazendo x α. α + y 0 y. α S { α; α), α IR} α Obs: Também pode ser aceita a resposta S ; α, α R b) Como o sistema é homogêneo, teremos um SI desde que D 0: m D m m m + 8m 0 m m + 0 Como m é raiz, aplicamos riot-ruffini: 0 0 m + m 0 m ± S S. 7º + +. π. 0º π + + S + +π + S ; ; c) Se o sistema admite soluções com y, essa solução não é a trivial ± e temos um SI. Logo, m ou m, em princípio. Substituindo y no sistema, resulta: m x + m 0 x mx + m 0 m x m 0) m Se m, x valeria ara x irracional, devemos ter m, ou seja, seria racional. + ou m - CV fuv08fnov_inteira

3 FUVEST 08/0/009 //008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. O triângulo C da figura é equilátero de lado. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados, C e C do triângulo. lém disso, os ângulos FˆE e CĜ F são retos e a medida do segmento F é x. 0. soma dos cinco primeiros termos de uma G, de razão negativa, é. lém disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da G é igual a. Nessas condições, determine: a) razão da G. b) soma dos três primeiros termos da G. ssim, determine: a) área do triângulo FE em função de x. b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto. 0º 0º 0º 0º α a) No EF temos que tg 0º FE x FE x S FE x x. x b) FC x e CF^G 0º, portanto: a q. a q. q ) q I) a 7 a a. q a. q a. q q ) II) a) S ) Dividindo I) por II), resulta: ) ). a q a. q. q q q 0 q q q q q q não convém, pois q < 0) q q b) Voltando à equação II) do item a, vem: a. ). ) ) a a Usando a razão q, obtemos a Logo, a soma pedida é a + a + a cos 0º FG x FG x) Se o ângulo FÊG for reto, então no FEG teremos: cos 0º FE x FG x ) x x x x x CV fuv08fnov_inteira

4 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST //008 08/0/ Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 0 garrafas de vinho de um lote constituído por garrafas da Espanha, garrafas da Itália e garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas do lote, sendo garrafas da Espanha, da Itália e da França? 07. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto,) e é tangente à reta t de equação x y 0 em um ponto. Seja ainda o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. a) Determine as coordenadas do ponto. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triângulo. c) ual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 0 garrafas do lote, haja exatamente garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?, ) s x y 0 t) ES Opções à disposição: IT total de opções FR a) Das opções, basta selecionarmos 0:!.... C, 0 00 maneiras 0!!... a) Se t) x y 0, então m t. Como s t m s s) y x + ) s) x + y + 0 b) ara essa configuração específica, temos: ES IT FR C,. C,. C,.. 0 maneiras c) Listando as possíveis configurações, temos: ES IT FR C,. C,. C,.. 0 C,. C,. C,.. 0 C,. C,. C, C,. C,. C,.. 7, totalizando 0 maneiras. x + y + 0 Resolvendo o sistema obtemos ; ) x y r equação da circunferência é x x 0 ) + y y 0 ) R b) Raio: r d r ) ) x + ) + y ) c) ara y 0 em t, temos x ;0 Temos que S D 0 9 Logo, a probabilidade pedida corresponde a: 00 7 D D 0 Logo, S S CV fuv08fnov_inteira

5 8 FUVEST 08/0/009 //008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 08. ara cada número real m, considere a função quadrática f x) x + mx +. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y f x). b) Determine os valores de m IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y IR : y }. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y IR : y } e, além disso, f é crescente no conjunto {x IR : x 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y, o único valor de x 0 tal que f x) y. a) Das coordenadas do vértice, temos: x v b m m x a v. y v m.. ) m + 8 y a v. b) ara que o conjunto-imagem contenha o subconjunto [; + [, o vértice deve se localizar a uma ordenada de, no máximo, y. ssim: y v m + 8 m 0 m ou m V não serve) c) Nesse caso, o vértice deve corresponder a y : m + 8 y v m m ou m seguir, testamos as duas possibilidades: se m : se m : xv yv xv yv serve) x 0 f é crescente para x 0 0 f não é crescente para x 0 De onde resulta que m. d) Do item c, temos a função f x) x + x + Como fx) y, temos que y x + x +, com x 0 e y Logo: y x + x + y x + x + + y x + ) + y x + ) x + + y Lembrando que x 0, temos que x + > 0 e, assim: x + y Finalmente: x y CV fuv08fnov_inteira

6 Seu pé direito nas melhores Faculdades FUVEST //008 FUVEST 08/0/009 9 π 09. Seja x no intervalo 0, satisfazendo a equação tg x + sec x. ssim, calcule o valor de a) sec x. b) sen x + π tg x + sec x tg x sec x a) Elevando ao quadrado, temos: tg x 9.. sec x + sec x Como tg x sec x resulta que sec x 9 sec x + sec x sec x + sec x 0 Fazendo sec x t, obtemos: t + t 0 t ± sec x t t não convém, pois x o ) b) Se sec x Como ortanto:, então cos x cos x sen x cos x sen x 0 sen x x o ) π sen x + sen x. cos π π + sen. cos x π sen x sen π 0 x+ 0 CV fuv08fnov_inteira

7 70 FUVEST 08/0/009 //008 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. figura representa uma pirâmide CDE, cuja base é o retângulo CD. Sabe-se que CD D C E E CE DE D. Nessas condições, determine: a) a medida de. b) a área do trapézio C. c) o volume da pirâmide CE. a) No E, temos: cos α cos α ) α E M Utilizando a Lei dos Cossenos no obtemos: M +... cos α c) L D E L H C 0 0 b) Temos que base média do DE) R T No R temos: R) ssim: S C 0 C 0 + R + S C 9 R H Temos que // D e L é ponto médio de. Então EL é altura do E equilátero), com medida EL Seja H ponto médio de C. No triângulo equilátero CE, EH é altura, portanto EH No trapézio C, LH é altura, mas note que: EH) EL) + LH), pois + 9 C.. Então, LH é perpendicular ao segmento EL, que faz o papel de altura da pirâmide CE. Logo, o seu volume é V 9. V EC CV fuv08fnov_inteira