Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 4 Professor Marco Costa

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1 1 Projeto Jovem Nota (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos lados AC e AB). b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo A. 2. (Unicamp 2002) Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para: a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. b) Calcular a área do triângulo ABC.

2 2 Projeto Jovem Nota (Fuvest 2001) Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base 100m e altura 20m, e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro O, e de raios 10m e 30m. A posição relativa dessas duas regiões é dada na figura onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O está alinhados e que BO=20m, determine a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas; b) a área total irrigada. Utilize as seguintes aproximações: Ë2=1,41, =3,14 e arcsen1/3 = 0,340 rad. 4. (Fuvest 2002) Na figura a seguir, as circunferências C e C, de centros O e O, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C e C ; a reta s passa por O e O e é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C é 4, o de C é 3 e que sen = 1/5, calcule: a) a área do quadrilátero OQO P; b) sen, onde = QÔ P.

3 5. (Fuvest 2002) O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e Ë3, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que o ângulo NDB é reto, determine a) o comprimento dos segmentos CN e CM; b) a área do triângulo CMN. 6. (Uff 2000) Num terreno retangular com 104m de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9m por 4m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.

4 7. (Uff 2000) Paulo deve colorir um painel quadrado, com um círculo centrado, usando as cores azul, verde e cinza, conforme indica a figura. Sabe-se que a medida do lado do quadrado é 2m e que a do segmento åæ é 1m. Determine: a) o raio do círculo; b) a área, em m, a ser colorida de azul. 8. (Ufrj 2001) As cinco circunferências da figura são tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores também tangencia duas das demais exteriores. Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1, calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências.

5 9. (Ufrj 2002) O triângulo ACF tem vértices coincidindo com três dos vértices de um cubo de aresta a, como mostra a figura a seguir. Determine a área de ACF em função de a. Justifique. 10. (Ufrn 2002) O triângulo isósceles ABC a seguir foi construído a partir de seis quadrados congruentes e de sete triângulos. a) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a medida dos lados de cada quadrado é Ø. b) O triângulo ADE é eqüilátero? Por quê?

6 11. (Ufsc 2001) A figura abaixo representa um campo de beisebol. Sabe-se que: 1) AB = AC = 99m; 2) AD = 3m; 3) HI = DF/6; 4) o arremessador fica no círculo localizado no centro do quadrado. Se a área hachurada mede 1458m, então a medida, em METROS, do raio do círculo onde fica o arremessador é: 12. (Ufscar 2001) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4cm. Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1cm, pede-se: a) a área da região interna ao quadrado, complementar à região R; b) a área da região R.

7 13. (Unesp 2001) Para ladrilhar uma sala são necessárias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36m, determine a) a área de cada peça, em metros quadrados; b) o perímetro de cada peça, em metros. 14. (Unesp 2002) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros. a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação = 3,2). 15. (Unicamp 2001) Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r=2cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências. a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências. b) Calcule o comprimento da curva C.

8 16. (Unicamp 2001) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: åæ=25m, æè=24m, èî=15m. a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$50,00, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos PARALELOS AO LADO BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB. 17. (Unicamp 2002) Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras a seguir: a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.

9 18. (Ufpr 2001) Na figura abaixo está representada uma circunferência de raio 6 e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Dados A(6, 0), M(3, 0) e B(0, 6) e sendo P o ponto de interseção da circunferência com a reta que contém M e é perpendicular ao segmento OA, é correto afirmar: (01) A equação da reta que contém A e B é x+y+6=0. (02) A equação da circunferência é x +y =36. (04) A área do triângulo OMP é igual a 9Ë3. (08) A área da região hachurada é igual a (12-9Ë3)/2. (16) A distância de P a M é menor que 6. (32) Os segmentos OA e OP formam ângulo de 45. Soma ( ) 19. (Ufg 2000) A figura a seguir contém um quadrado e um círculo, ambos de área igual a 4cm. O ponto E indica o centro do círculo e a interseção das diagonais do quadrado. Observe a figura e julgue as afirmações a seguir. ( ) O círculo e o quadrado têm o mesmo perímetro. ( ) A área do polígono ACDE mede 1cm. ( ) A área das partes do círculo, externas ao quadrado, é a mesma que a das partes do quadrado, externas ao círculo. ( ) O ângulo AÊB mede 60.

10 20. (Ufpr 2001) Um retângulo de 6m por 12m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C. Com base nessas informações, é correto afirmar: (01) A soma das áreas de A, B e C é 72 m. (02) A área de A é 1/6 da área de C. (04) A área de A é 24 m. (08) Um dos lados de A mede 2 m. (16) Um dos lados de C mede 8 m. Soma ( )

11 GABARITO Projeto Jovem Nota a) h = c. sen  b) SÛ½Ý = 1/2. b. c. sen  2. a) 2,25 m b) 7,8125 Ë3 m 3. a) 188 m b) m 4. a) 12 b) 24/25 5. a) CN = CM = 2/3 b) Ë3/9 6. L = 2m 7. a) r = (Ë2-1) m b) Sa = 2 - (Ë2-1)/2 m 8. A = (Ë2) 9. Os segmentos AF, FC e CA coincidem com as diagonais dos quadrados de lado a. Logo, têm o mesmo comprimento Ø. Pelo Teorema de Pitágoras: Ø = 2a Ø = Ë2a O triângulo AFC é eqüilátero e, portanto, sua área é: Ë(3Ø )/4 = Ë(3a )/2 10. a) A = (6 + Ë3).Ø b) Sim, pois AïC = 60, AðB = 60 e BÂC = 60 assim o triângulo ABC é equilátero, então o triângulo ADE também é equilátero a) (8 + ) cm b) (8 - ) cm 13. a) 0,09 m b) 1,2 m 14. a) BD = 6m e a área = 48m. b) R$ 96,00.

12 15. a) (9Ë3-2 ) cm Projeto Jovem Nota 10 b) (18+4 ) cm 16. a) R$ ,00 b) Observe a figura a seguir: 17. a) 7Ë cm b) (20Ë3 + 36)/3 cm A área do triângulo ABC é maior do que a área do paralelogramo MNPQ = F V V F = 13

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