SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

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1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 01. Na figura as retas r, s, t e u são paralelas. Sabendo que AB = 8; BC = 9; CD = 10; CG = x; CF = y e EF = k (x + y), determine k. a) 19 8 b) 19 9 c) 1 17 d) Na figura, os ângulos assinalados são retos. Temos necessariamente: x p a) y m x m b) y p c) xy pm d) x y p m x y m p 03. Na figura abaixo, são dados AC = 8 cm e CD = cm. A medida de BD é, em centímetros a) 9 b) 10 c) 1 d) Na figura a seguir, os pontos A, B e C estão alinhados. Se PA x, PB y e PC z a) y 1 x z b) c) y x. z d) x. y y x y x z y y x z, podemos afirmar que: 05. Na figura, prove que a.b OP a b

2 06. O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura abaixo. Os valores de a, b e c, em metros, sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a + b + c = 10 m são, respectivamente, a) 0, 0 e 0 m b) 30, 30 e 60 m c) 36, 6 e 0 m d) 30, 36 e 5 m 30, 6 e m 07. Na figura, CDé bissetriz interna do ângulo Ĉ. Sendo AD = 1 cm e BD = 15 cm, a medida do segmento AC é igual a a) 30 cm b) cm c) 18 cm d) 15 cm 10 cm 08. Considere um triângulo ABC, no qual os lados AB e AC possuem o mesmo comprimento, a bissetriz do ângulo B ĈA intercepta AB em P, e o comprimento de AP é igual ao comprimento de CP. Assinale o que for correto. 01) O ângulo BÂC mede 36º. 0) O segmento CP, além de ser bissetriz de B ĈA, é mediana com relação ao lado AB. 0) Os triângulos BPC e BCA são semelhantes. 08) Os triângulos BPC e APC são congruentes. 16) O triângulo BPC é isósceles. 09. Na figura abaixo os ângulos CÂD e Aˆ BD são congruentes. Então o valor de x é: a) b) 3 c) 1 d) (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão é a) 8 b) 6 c) 8 d) 3 6 3

3 11. (UFMG) Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, então a medida do raio do círculo inscrito nesse losango é, em metros: ab ab a) b) a b a b c) a b a b a b a b d) a ab b 1. Assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as Falsas: a) Na figura abaixo AB é paralelo a CD. Sabe-se que: AB = 15, AE = 9, AC = 6 Então, o valor do segmento CD é 5. b) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas condições, o valor de x + y é 9. C 10 E x A y D 18 B c) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano mede 1m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é 0m. d) Na figura abaixo AB é paralelo a CD, então o valor do segmento AD é 8. A 10 B 0 D x C Na figura abaixo, temos que y > x f) Uma escada com 10m de comprimento foi apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo. Sabendo-se que o pé da escada está afastada 6m da base da parede, a altura em metros, alcançada pela escada é 10.

4 13. Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 1, e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O menor lado do triângulo mede: a) 1,5 b) 13 c) 15 d) 16 16,5 1. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 5cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD. 15. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 1cm e 16cm b) 6cm, 1cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm 5cm, 1cm e 19cm GABARITO 01. a 0. b 03. c 0. d 05. Discurs. 06. d 07. b c 10. c 11. a 1. a) V b) V c) V d) F F f) F 13. c b

5 ESTUDO DE POLÍGONOS 01. O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b? a) 5/3 b) /3 c) d) 3/ 1/ 0. Na figura abaixo os ângulos â, x 3x bˆ, ĉ e dˆ medem respectivamente,, x, e x. O ângulo ê é reto. Qual a medida do ângulo fˆ? a) 16 b) 18 c) 0 d) 03. No quadrilátero ABCD da figura anterior, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) b) c) d) 3 0. Sendo: A x / x é quadriláte ro B x / x é quadrado C x / x é retângulo x / x é losango E x / x é trapézio F x / x é paralelogr amo D Determine qual das alternativas abaixo é a verdadeira. a) A D E b) A F D B c) F D A d) A F B C B D A E 05. Sobre as afirmativas abaixo, anote a soma do que for correto. 01) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. 0) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. 0) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. 08) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, esse fica decomposto em quatro triângulos congruentes. 16) Em um losango, todos os ângulos internos são congruentes. 06. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 7 b) 63

6 c) 36 d) (UEL- 010) Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura seguinte, onde seis de seus ângulos internos medem 10 o, 150 o, 130 o, 10 o, 100 o e 10 o. A medida do sétimo ângulo é a) 110 o b) 10 o c) 130 o d) 10 o 150 o 08. Em um dodecágono regular ABCDE... calcule: a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo 09. (OBM) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus? a) 70 b) 300 c) 330 d) 360 x 390 y 10. (MACK-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 0. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 10 c) 119 d) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono não existe 1. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono Hexágono 13. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.0 tem exatamente: a) 15 diagonais

7 b) 0 diagonais c) 5 diagonais d) 30 diagonais 35 diagonais 1. (PUC-SP) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono Hexágono 15. ( ENEM 011 ) O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de a) 5 b) 60 c) 90 d) GABARITO 01. a 0. b 03. d 0. b d 07. b 08. a) 1800 b) 360 c) a i = 150 e a e = a 10. d 11. b 1. c 13. e 1. d 15. d

8 RELAÇÕES MÉTRICAS EM POLÍGONOS REGULARES 01. Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado L. Sendo E, F e G os pontos médios dos lados desse triângulo e D, o ponto médio do segmento AE, pode-se afirmar que a área do polígono DEFG é: a) d) 3 3.L 3.L b) c) 3 16.L 3.L L 5 0. Num triângulo equilátero de lado 10 cm, inscreve-se um quadrado, conforme a seguinte figura. A área hachurada, em cm, vale: a) b) c) d) Considere um triângulo equilátero cuja área é numericamente igual ao perímetro. O apótema desse triângulo mede, em centímetros: a) 3 b) d) Se p é o perímetro de um triângulo equilátero inscrito num círculo, a área do círculo é: π p π p π p 3 a) b) c) d) c) π p A área da figura que se obtém eliminando-se do hexágono de lado a sua intersecção com os 6 círculos de raios unitários e centros nos vértices do hexágono é: a) 6 3 b) 6 6 c) d) Se o hexágono regular da figura tem área, a área do pentágono assinalado é: a) b) c) 3 6 π p d) 3 3 5

9 07. No quadro de Judith Lauand (figura 6), seja A a área do hexágono e A' a soma das áreas dos quadriláteros. A figura abaixo ilustra a relação de cada um desses quadriláteros (de cor cinza) com parte do hexágono, sendo l o lado da cada um dos triângulos que compõem o hexágono. Assinale a alternative correta. 1 a) A'. A b) A'. A 3 c) A'. A 1 d) A. A' 3 A. A' 08. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cujo apótema mede 10 cm, circunscrito a esta mesma circunferência é: a) b) 1 c) d) Na figura, um octógono regular e um quadrado estão inscritos na circunferência de raio r. A área da região sombreada é: a). 1 b) c) d) Considere uma progressão geométrica de razão 3 cujos três termos iniciais são o valor numérico da área de um triângulo equilátero, o valor numérico da área de um quadrado e o valor numérico da área de um hexágono regular, nessa ordem. Assinale a alternativa correta. a) Se o lado do quadrado mede 1cm, então o quarto termo da progressão geométrica é 3 3. b) Se o lado do hexágono regular mede 1cm, então a área do quadrado mede 3 cm. c) O perímetro do triângulo equilátero, o perímetro do quadrado e o perímetro do hexágono regular (nessa ordem) estão em progressão aritmética de razão 6. d) Se a área do triângulo equilátero mede 3 cm, então a área do hexágono regular mede 6 3 cm. Se o lado do triângulo equilátero mede 1cm, então o perímetro do hexágono regular mede 3 cm. 11. (FGV 010) O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é numericamente igual à área do círculo que o circunscreve, em cm², Assim, o raio do círculo mencionado mede, em cm: a) 3 b) 3 3 c) 3 d) 6 3

10 1. Assinale V para as alternativas verdadeiras e F para as Falsas: a) Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede 6 3 cm, então o lado do quadrado mede 1cm b) Um quadrado de lado 5 está inscrito numa circunferência de comprimento Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo 1. (UFRGS) O perímetro do triângulo equilátero circunscrito a um círculo de raio 3 é: a) 18 3 b) 0 3 c) 36 d) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: a) b) 3 c) d) 3 3 GABARITO 01. a 0. d 03. c 0. a 05. a 06. e 07. c 08. d 09. a 10. e 11. b 1. a) V b) V 13. a) 10 3 b) 10 c) a 15. a

11 ESTUDO DE CIRCUNFERÊNCIA 01. (UFSC) Na figura abaixo O é o centro da circunferência, o ângulo OAB mede 50º, e o ângulo OBC mede 15º. Determine a medida, em graus, do ângulo OAC. C O A B 0. A altura e a mediana traçadas do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um ângulo de. Sendo assim, os ângulos agudos do trângulo são: a) 33º e 57 b) 3º e 56 c) 35 e 55 d) 36 e 5 37 e Nas figuras abaixo, determine o valor de x 0. (ACAFE-SC) Na figura a seguir, o valor de x é: a) 5 b) 30 c) 50 d) (UFRGS) No quadrilátero da figura, ( + ) é: a) 00 b) 180 c) 160 d)

12 06. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 15 b) 110 c) 10 d) (UFMG - MG) Observe a figura. Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A B D e A E D medem, respectivamente, 0 e 85. Assim sendo, o ângulo C B D mede: a) 5 b) 35 c) 30 d) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 0. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo. 09. Calcule a medida angular y em função de x. 10. O pentágono ABCDE da figura seguinte está inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central CÔD mede 60. Então x y é igual a: a) 180 b) 185 c) 190 d) Num quadrilátero ABCD, temos Â 58º, ABˆ D 0º e Ĉ 1º. Calcule a medida do ângulo A ĈD. 1. Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão no mesmo lado de um diâmetro que passa por R. Sabendo que ORˆ P 0º e RÔQ 80º, calcule o ângulo P Qˆ O.

13 13. Na figura o valor de x é: 1. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: x+1 3x x 3x ( FUVEST ) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede: a) 15 b) 30 c) 36 d) Na figura o ângulo CÂD = 0 e CÊD = 70, determine o valor do ângulo AMB. 17. ( MACK-SP ) Na figura abaixo, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170 e 130. Então, o arco MSN mede: a) 60 b) 70 c) 80 d)

14 18. (UNB) Na figura a seguir, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC: A D B 30 0 M C 19. Na figura seguinte, AB é tangente à circunferência no ponto B e mede 8 cm. Se AC e CD tem a mesma medida x, o valor de x, em cm, é: a) b) 3 c) 8 d) 3 0. Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A e nos pontos C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB 5, BA 7, EC, GD 3 e AG 6, então GF vale: a) 1 b) c) 3 d) 5 GABARITO a 03. a) 3 b) 50 c) a 05. b 06. a 07. a x 09. y 10. d b a e 0. d

15 ÁREA DE FIGURAS PLANAS 01. (UFSC) A base de um triângulo mede 13m e sua altura, em metros, é h. Se a base é aumentada em m e altura, em 55m obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 0. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é: 03. (UFRGS 013) Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo. Se a medida do lado do quadrado é, então a área do triângulo ABC mede a) 3 b) 6 c) 1 d) π(3 π(6 ) ) 0. A área do triângulo da figura, é: a) 18 b) 9 c) 10 d) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: Observação: sen 10 = sen 60 a) 3 b) 3 c) 3 d) (FUVEST) Um triângulo tem 1 cm de perímetro e 6cm de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo? 07. Determine a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio igual a 3cm. 08. (UFSC 013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Na figura ao lado, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.

16 0) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC. 0) Na figura ao lado, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. 08) Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango 09. (FUVEST) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 cm e 5cm, respectivamente, e formam um ângulo de 60. A área desse paralelogramo, em cm, é igual a: a) 1 b) 1 3 c) 15 d) (UDESC) A área, em m, do quadrado ABCD, da figura a seguir, é: a) 100. b) 1. c) 169. d) Obter a área de um losango de lado 1 cm, sendo que um de seus ângulos internos mede 60º. 1. Na figura, AB é um arco de uma circunferência de raio 1. A área do trapézio retângulo BCDE é: a) b) c) 18 1 d) 3 6 3

17 13. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 1/10 1. (UFSC) Calcule em metros quadrados, a área limitada pela figura plana. m,5m 3m m m 15. (ENEM 010) A loja telas & molduras cobra 0 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (5 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadro retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será: a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura do quadro dobraram b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade igual a o valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo 16. Se o raio de um círculo cresce 30%, sua área cresce: a) 30% b) 30,% c) 0% d) 69% 169% 17. (UFRGS 01) Os círculos desenhados na figura ao lado são tangentes dois a dois. A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é a) 1 b) 3 c). π π d). π π. π

18 18. (UEL) Com a crise nas penitenciárias brasileiras decorrentes das rebeliões simultâneas em várias instituições, houve discussões sobre o uso de bloqueadores de celulares. O princípio do bloqueio é gerar um sinal, por meio de uma antena instalada internamente no presídio, que interfere na freqüência da rede celular e que seja mais forte do que o sinal da operadora A dificuldade, porém, está em evitar que o bloqueio extrapole a área do presídio. Supondo um determinado presídio inteiramente contido em um círculo com raio de 500 m, no qual a antena para o bloqueio esteja instalada no centro deste círculo e o bloqueio de celulares extrapole este círculo em 10% do raio, assinale qual a alternativa que corresponde à área indevidamente bloqueada fora deste círculo: a) π m b) π m c) π m d) π m π m 19. (UEL-PR) Na figura a seguir tem-se a reta r tangente à circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC, cujo lado mede 8 3 cm. A área da região sombreada é, em centímetros quadrados, a) 5 b) 8 c) 36 d) (UDESC) Uma circunferência intercepta um triângulo eqüilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a Figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na Figura é: a) 3 cm b) 3 cm 9 3 cm d) 9 3 cm 3 c) 9 3 cm 6 1. (PUC) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes de forma circular, por R$ 15,00. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também na forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas grande e média são proporcionais às suas áreas? Dados: raio da pizza grande : 35cm raio da pizza média : 8cm. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a área do setor assinalado é: 7π a) 9 7π b) 18 5π c) 18 5π d) 9 8π 9

19 3. (UEL- 011) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno? a) 38,8 km b) 5,33 km c) 56,37 km d) 58,78 km 60,35 km. (FUVEST) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado, uma de suas diagonais e uma circunferência de raio. Então, a área da região hachurada é: a) b) c) 3 d) 5. (CESGRANRIO) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das regiões hachuradas são iguais. Se o raio do menor círculo é 5m e do maior é 13m, então o raio do círculo intermediário é: GABARITO a 0. a 05. c cm 07. 7cm c 10. b cm 1. a 13. c b 16. d 17. d 18. b 19. e 0. e 1. R$ 9,60. b 3. d. b 5. 1