AB AC BC. k PQ PR QR GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles

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1 GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Retas paralelas cortadas por uma transversal São aqueles que possuem dois lados iguais. Ligando o vértice A ao ponto médio da base BC, geramos dois triângulos congruentes. Logo, os ângulos B e C são congruentes. AB AC Bˆ Cˆ Ângulos Centrais e Inscritos Soma dos ângulos internos de um triângulo 180 Ângulos centrais são aqueles cujo vértice é o centro da circunferência. O arco gerado por eles tem a mesma medida em graus que o ângulo central. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo Ângulos inscritos são aqueles cujo vértice está sobre a circunferência. O arco gerado por eles tem o dobro da medida em graus do ângulo inscrito. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Um pentágono convexo pode ser dividido em três triângulos cujos ângulos internos são os mesmos do pentágono. Logo, a soma dos ângulos internos do pentágono vale 180º = 40º. De mesmo modo, um heptágono convexo pode ser dividido em cinco triângulos, e a soma dos seus ângulos internos valerá 180º = 900º. Entender essa lógica é mais importante do que memorizar a fórmula em si. Dois triângulos são ditos semelhantes se: - seus ângulos são congruentes. - seus lados correspondentes são proporcionais. Generalizando, um polígono convexo de n lados pode ser divido em n - triângulos, já que os triângulos são formados a partir de diagonais do polígono. Dessa forma, os dois vértices adjacentes ao vértice de partida são ignorados. Logo, a soma dos ângulos internos é dada por Sn ( n) 180. AB AC BC k PQ PR QR IMPORTANTE: Os lados opostos a ângulos congruentes são correspondentes.

2 Em dois triângulos semelhantes, a razão de dois elementos lineares correspondentes quaisquer é igual à razão de semelhança. PRINCIPAL CASO DE SEMELHANÇA Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então esses triângulos são semelhantes. Ou seja, basta obtermos a congruência entre dois ângulos dos dois triângulos para que os lados correspondentes sejam proporcionais. TRIÂNGULO RETÂNGULO POLÍGONOS REGULARES Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. CENTRO de um polígono regular é o centro das circunferências inscrita e circunscrita a esse polígono. APÓTEMA de um polígono regular é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados. É o raio da circunferência inscrita. As medidas relevantes de um polígono regular são todas calculadas a partir do Teorema de Pitágoras e das razões trigonométricas. Abaixo, alguns exemplos. As fórmulas obtidas não precisam ser memorizadas. a² = b² + c² Triângulo Eqüilátero Ainda no triângulo retângulo, podemos definir as razões trigonométricas: 1) Seno de um ângulo agudo α é a razão da medida do cateto oposto ao ângulo α para a medida da hipotenusa. ) Cosseno de um ângulo agudo α é a razão da medida do cateto adjacente ao ângulo α para a medida da hipotenusa. ) Tangente de um ângulo agudo α é a razão da medida do cateto oposto para a medida do cateto adjacente ao ângulo α. Altura do triângulo eqüilátero: h sen60 L h L h L Apótema do triângulo: a tg0 L a L a L 6 PARA LEMBRAR! É importante destacar que em um triângulo eqüilátero o apótema corresponde a um terço da altura. sen cos tg 0º 4º 60º Hexágono Regular Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos eqüiláteros. Seu apótema corresponde à altura de um dos triângulos eqüiláteros que o formam. Essa tabela deve ser memorizada.

3 EXERCÍCIOS 01) (UFRGS) As semi-retas AB e AC tangenciam o círculo de centro D, respectivamente, nos pontos B e C. Se o ângulo BAC mede 70º, o ângulo BDC mede 110º b) 11º 1º d) 1º e) 140º 0) (UFRGS) Na figura, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede 06) (UFRGS) Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD = 1, AF = e FB = x, então x vale 1 b) 1 d) 1 e) 07) (UFRGS) Dada a figura, qual o valor de x?,1 b),,7 d),1 e), cm b) 6 cm 8 cm d) 9 cm e) 10 cm 0) (UFRGS) A opção que apresenta todas as possibilidades do número de pontos de interseção de um círculo com um retângulo é 0, 1,, 4 ou 8 b) 0,, 4, 6 ou 8 0, 1,, ou 7 d) 0,,, ou 7 e) 0, 1,,, 4,, 6, 7 ou 8 04) (UFRGS) Na fig. 1, BC é paralelo a DE e, na fig., GH é paralelo a IJ. Então, x e y valem, respectivamente, ab e a / b b) ab e b / a a / b e ab d) b / a e ab e) a / b e 1/ b 0) (UFRGS) Sabendo que AD = 1 cm, AE = 1 cm e AB = 8 cm, a medida do raio do círculo é 4 cm b) 4, cm cm d), cm e) 6 cm 08) (UFRGS) Na figura, os três círculos têm o mesmo raio r, as retas são paralelas, os círculos são tangentes entre si e cada um deles é tangente a uma das duas retas. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a distância entre as retas é r b),r,r d),7r e) 4r 09) (PUCRS) A figura mostra uma janela em que a parte superior é formada por um semicírculo, e a parte inferior, por um retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base b. A medida da altura total da janela é b) b b d) b e) b 10) (UFRGS) Uma correia esticada passa em torno de três discos de m de diâmetro, conforme a figura. Os pontos A, B e C representam os centros dos discos. A distância AC mede 6 m, e a distância BC mede 10 m. O comprimento da correia é b 60 m b) 60 m 6 m d) m e) 6 m

4 11) (UFRGS) Três arcos de círculo são construídos de maneira que seus centros estão nos vértices de um triângulo eqüilátero de lado 10 cm e interseccionam o triângulos nos pontos médios dos lados, como indicado na figura A soma dos comprimentos dos arcos é 1) (FUVEST) No quadrilátero ABCD da figura a seguir, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se ainda que AB CD e BC=1. Determine a medida de AD. cm b) cm 10 cm d) cm e) 10 cm 1) (UFRGS) Na figura, cada um dos quatro círculos tem raio igual a 1 e é tangente às diagonais do quadrado e a um de seus lados. A área do quadrado é: 16) (UFF) Na figura, os triângulos ABC e DEF são equiláteros. Se AB, CD e DE medem, respectivamente, 6m, 4m e 4m, calcule a medida de BE. 1 b) 4 d) 1 e) 6 1) Sabendo que, na figura seguinte, temos três quadrados de lados x, 6 e 9, calcule o valor de x. b), 4 d) 4, e) 14) (UFG) Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 0 metros. Deseja-se marcar um ponto P, conforme figura a seguir, de modo que o comprimento do percurso ABPA seja a metade do comprimento total da pista. Calcule a distância entre os pontos B e P. 17) (UFF) Seja MNPQ um quadrado de lado igual a cm. Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T). Determine o raio do círculo C. 18) (UFG) Uma fonte luminosa a cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 8 cm de diâmetro, conforme figura. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é: b) 8 d) e)

5 19) (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: 8 b) 6 8 d) 4 e) 6 4) (UFLAVRAS) Os lados de um triângulo medem 1m, m e m. A medida em metros que adicionada aos três lados transforma o triângulo em um triângulo retângulo é 1 m b) m m d) 4 m e) m ) (UFPE) Na figura, ABD e BCD são triângulos retângulos isósceles. Se AD = 4, quanto mede DC? 4 b) 6 7 d) 8 e) 8 0) (FUVEST) Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo com a reta s. Se PQ = R, então cos vale: 6 d) 6) (UFRRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do círculo de raio m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é: m b) m m b) e) d) m e) m 1) (PUCRJ) A maior distância entre dois pontos de um retângulo de base 8 cm e altura 6 cm é, em cm: 14 b) 10 7 d) 11 e) 1 ) (UEL) Se um círculo de cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a: 0 b) 18 1 d) 1 e) 9 7) (UNESP) Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro, representado na figura por um ponto Q. Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscin é 6 m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é, em metros: 4 b) 4, d), e) 6 ) (UFLAVRAS) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10km? 6 km b) 6.00 m m d) 4 km e) km 8) (FUVEST) Um lenhador empilhou troncos de madeira num caminhão de largura, m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0, m. Logo, a altura h, em metros, é 1 7 b) 1 7 d) 1 e)

6 9) (FFFCMPA) A companhia telefônica coloca cabos cilíndricos em dutos cilíndricos. A figura indica a relação entre as seções transversais de 4 cabos e do menor duto que pode contê-los. Supondo que o diâmetro de cada cabo seja 1 cm, o valor mais próximo para o diâmetro do duto mínimo é de: cm b), cm cm d), cm e) 4 cm 6) Determine a razão entre o perímetro do quadrado inscrito em uma circunferência de raio R e o perímetro do quadrado circunscrito a essa mesma circunferência. 7) (UFRGS) O perímetro do triângulo eqüilátero circunscrito a um círculo de raio é: 18 b) 0 6 d) 1 6 e) 8 8) (UFRGS) A medida do lado de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio igual a 1 é: 0) (UFRGS) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é: 6 b) 1 18 d) 4 e) 0 d) sen sen b) e) cos cos cos 1) (UFMG) Observe a figura. ABCD representa um quadrado de lado 11 e AP = AS = CR = CQ. O perímetro do quadrilátero PQRS é: 11 b) 11 d) 9) (PUCMG) A pista representada na figura tem a forma de um trapézio retângulo e as dimensões indicadas em metros. Um atleta que queira percorrer 6 km deverá dar m voltas completas nessa pista. O valor de m é: 9 b) d) 1 ) (UFRJ) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado cm. Calcule a distância BE. 40) (UEL) Se um círculo de cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a: 0 b) 18 1 d) 1 e) 9 ) Calcular, de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 6, a medida de um apótema. 4) Uma diagonal de um quadrado inscrito numa circunferência mede 8. Calcular, de um hexágono regular inscrito nessa circunferência, a medida de um lado. ) Um apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede. Calcular, de um triângulo eqüilátero inscrito nessa circunferência, a medida de um apótema. 41) (UFPE) Júnior descobriu um mapa de tesouro com as seguintes instruções: partindo de onde o mapa foi encontrado caminhe 16 passos na direção oeste, a seguir 9 passos na direção sul, depois 11 passos na direção oeste, prossiga com 4 passos na direção norte, a seguir 1 passos na direção leste e finalmente 10 passos na direção sul que é onde se encontra o tesouro. Supondo que a região é plana, qual a menor distância (em passos) entre o lugar onde se encontra o mapa e o lugar onde se encontra o tesouro? 0 b) 1 10 d) 4 e) 79

7 4) (UFRN) Uma escada de 1,0 m de comprimento encontra-se com a extremidade superior apoiada na parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de,0m da parede.se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: 1 m b) 1, m m d),6 m 4) (UNESP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: b), d) e) 4 44) (UFRGS) Na figura, AB, CD e EF são paralelos. AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e cm. O comprimento EF é: b) d) e) 4 10 GABARITO 01 A 0 B 0 E 04 A 0 C 06 A 07 C 08 D 09 B 10 B 11 D 1 C 1 C , 18 A 19 C 0 D 1 B A B 4 B D 6 E 7 A 8 E 9 B 0 E 1 D A 8 A 9 B 40 A 41 B 4 C 4 B 44 D