Semelhança de triângulos. 3 Exercícios para aula. 2 Casos de semelhança. 2.3 Lado proporcional, Lado proporcionl, Lado proporcional (L p, L p, L p )

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Orlando Ferrão Gomes
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1 Semelhança de triângulos 1 Definição 2.3 Lado proporcional, Lado proporcionl, Lado proporcional (L p, L p, L p ) Dois triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem ordenadamente congruentes e se os lados que formam ângulos congruentes forem proporcionais. 3 Exercícios para aula 1.1 Notação ABC A B C 1 a questão: (EEAR) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC de forma que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE BC, então 2 Casos de semelhança 2.1 Ângulo, Ângulo (A.A.) 2.2 Lado proporcional, Ângulo, Lado proporcional (L p, A., L p ) (A) y = x + 8 (B) y = x + 4 (C) y = 3x (D) y = 2x 2 a questão: (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? (A) 1m (B) 2m (C) 2,4m (D) 3m (E) 2 6m

2 3 a questão: (PUC/RJ) O retângulo DEF G está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: 6 a questão: (ACAFE - Adaptada) Considere a circunferência C 1 de raio 3 e outra circunferência C 2 de raio 2, com os pontos A e B, tangentes às circunferências C 1 e C 2, respectivamente. Assumindo DE = GF = 12, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: (A) 35 4 (B) (C) 90 7 (D) (E) a questão: (UFRN) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de (A) 18m (B) 8m (C) 36m (D) 9m 5 a questão: (UNESP) Na figura, o losango F GCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área é igual à área indicada em verde. Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango F GCE mede (A) 2 5 cm (B) 2 6 cm (C) 4 2 cm (D) 3 3 cm (E) 3 2 cm O comprimento do segmento AB (em unidades de comprimento) é: (A) 4 3 (B) 5 5 (C) 4 5 (D) a questão: (CEFET/MG) Na figura abaixo, temos um retângulo ABCD com medidas AB = 10m e BC = 5m. Suponha que AE = AF = 2m, que os segmentos EC e F G sejam paralelos e que a circunferência tangencie os segmentos EC e F G. O diâmetro da circunferência, em metros, mede (A) 2 (B) 5 2 (C) (D) (E) a questão: (FUVEST) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a (A) 24 cm (B) 13 cm (C) 12 cm (D) 9 cm (E) 7 cm

3 4 Exercícios para casa 1) (UDESC) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em média em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro forma um mapa dessas diferenças, tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós. A estereoscopia (popularmente conhecida como imagem 3D ) é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador, representando o que se observaria em uma situação real. Assim, o cérebro pode ser enganado a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente. Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos A e B a uma distância de um do outro, com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X, conforme a figura. O observador verá apenas um único ponto, resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B, localizado em X. Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam entre si, e que sua distância interocular é de 20m a distância da tela em que ele verá a imagem virtual, formada no ponto X, é aproximadamente: A altura do suporte em B é, então, de: (A) 4,2 metros (B) 4,5 metros (C) 5 metros (D) 5,2 metros (E) 5,5 metros 3) (UNESP) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005m. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 4) (PUC/RS) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em forma de triângulo com a parte mais profunda destacada. (A) 6,6m (B) 3,3m (C) 4m (D) 16,7m (E) 16m 2) (UFPR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. O valor em metros da medida x é (A) 2 (B) 2,5 (C) 3 (D) 4 (E) 6

5) (UEA) Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio.

4 5) (UEA) Potencialmente, os portos da região Norte podem ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em logística e a construção de novos terminais portuários privados irão aumentar consideravelmente o número de toneladas de grãos embarcados anualmente. Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do navio B é de e que, com 30 minutos de viagem, a distância que o separa do navio C é de conforme mostra a figura: A medida do segmento CE é igual a: (A) 2,8 (B) 2,4 (C) 2,0 (D) 2,5 (E) 2,3 8) (UFRGS) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo. Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão, respectivamente, (A) 30 e (B) e 22 (C) 30 e 24 (D) e 20 (E) e 24 6) (FGV) No triângulo retângulo abaixo, os catetos AB e AC medem, respectivamente, 2 e 3. A área do quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC? A distância entre os pontos P e Q é (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 9) (EEWB - Adaptada) Na figura, AMN é um triângulo e ABCD é um quadrado. Sabendo-se que AM = 4cm e NA = 6 cm, pode-se afirmar que a medida do lado deste quadrado é: (A) 42% (B) 44% (C) 46% (D) 48% (E) 50% 7) (ESPM) Na figura abaixo, sabe-se que os ângulos EÂD e DÊA são iguais. (A) 2,4 cm (B) 2,0 cm (C) 1,6 cm (D) 1,4 cm 10) (UEG) O formato dos papéis que utilizamos, tais como A0, A1, A2, A3, A4,..., A10, tem uma relação muito interessante, conforme descreveremos a seguir. Partindo do papel A0 obtém-se o papel A1 do seguinte modo: o

5 menor lado do papel A1 é a metade do maior lado do papel A0, e o maior lado do papel A1 é igual ao menor lado do A0. Do mesmo modo, a folha do papel 2 é obtida da folha A1, a folha do papel A3 é obtida da folha de papel A2, e assim sucessivamente. Considerando que as folhas de papel descritas acima são retangulares e que os papéis como A0, A1, A2, A3, A4,..., A10 são semelhantes, então a razão entre o maior e o menor lado do papel A4 é igual a: (A) 2 (B) 2 (C) (D) 2 11) (FUVEST) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3, então a área 2 do paralelogramo DECF vale (A) 63 (B) 12 5 (C) 58 (D) 56 É correto afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede: (A) 7,2 cm (B) 7,5 cm (C) 8,0 cm (D) 9,0 cm 13) (FUVEST) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC intersectam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente. A área do triângulo AEF é igual a (A) 24 (B) (C) (D) (E) ) (FGV) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e CD é arco de circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos. (E) ) (UFMG) Uma folha de papel quadrada, ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado nesta figura: A distância de P até CB, em centímetros, é igual a (A) 4 5 (B) 19 (C) 3 4 Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC. (D) 7 10 (E) 17

6 5 Respostas 1) D 2) D 3) C 4) C 5) C 6) D 7) D 8) D 9) A 10) A 11) A 12) C 13) D 14) A

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