Geometria Plana 2015

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Cláudio Garrau Sampaio
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Geometria Plana 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4.

1 Geometria Plana (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r. Página 1 de 16

2 . (Uerj 015) Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela seguinte estrutura: - duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o ângulo DÂE igual a 45 ; - uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu ponto médio M; - um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade; - nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes. Observe o esquema que representa essa estrutura: Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtémse, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada. Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85.. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro quadrados. O valor da razão AB BC é igual a a) 5. b) 5. c) 4. d). Página de 16

3 4. (Unesp 015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'. Considere os dados: - ABCD e A'B'C'D' são retângulos. - B', A' e E estão alinhados. - C, D e E estão alinhados. - A 'D e B'C são arcos de circunferência de centro E. Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 0 m, ED' 4 m e α 7, calcule o comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais π. 5. (Fuvest 015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 1cm e o cateto BC mede 6cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a a) 7 b) 7 c) 7 d) 7 e) 7 Página de 16

4 6. (Fuvest 015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r, a) a medida do lado AB do triângulo ABC; b) a medida do segmento CO. 7. (Ita 015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADB ˆ reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é a) 1. 8 b) 7. 8 c) 5. 8 d) 7. 8 e) (Unesp 015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria conhecido como marco zero. No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do marco zero, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba. Página 4 de 16

5 Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação 5,4, os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em km h, de aproximadamente a) 8. b) 4. c) 40. d) 6. e). 9. (Pucpr 015) Um mineroduto é uma extensa tubulação para levar minério de ferro extraído de uma mina até o terminal de minério para beneficiamento. Suponha que se pretenda instalar um mineroduto em uma mina que está à margem de um rio com 00 metros de largura até um porto situado do outro lado do rio,.000 metros abaixo. O custo para instalar a tubulação no rio é R$10,00 o metro e o custo para instalar a tubulação em terra é R$6,00 o metro. Estudos mostram que, neste caso, o custo será minimizado se parte do duto for instalada por terra e parte pelo rio. Determine o custo de instalação do duto em função de x, em que x é a distância da mina até o ponto P, como mostra a figura. a) C(x) 6x x b) C(x) x 10x c) C(x) x d) C(x) 6x x e) C(x) x Página 5 de 16

6 10. (Uerj 015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir. Admita que: - as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a decímetros; - durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam. Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 11. (Uerj 015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro R, conforme ilustra a imagem. A área do setor equivale a: a) R R b) 4 R c) R d) Página 6 de 16

7 1. (Pucrj 015) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo. a) Encontre o raio do maior círculo. b) Encontre o raio do menor círculo. c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos. 1. (Unicamp 015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ 60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 14. (Pucrj 015) A medida da área, em círculo de raio igual a 5 cm é? a) 0 b) 5 c) 5 d) 50 e) 50 cm, de um quadrado que pode ser inscrito em um Página 7 de 16

8 15. (Unicamp 015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento. A medida do ângulo θ é igual a a) 105. b) 10. c) 15. d) Página 8 de 16

9 Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t 4, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t 4). 4 O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (, 1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k sendo g(x), x x k x 4x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( 4) 4 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : Considerando BC / /DF, temos: ADE ˆ ADE ˆ 50 ˆ ADF 67,5 Portanto, α 67, ,5 17 0' Resposta da questão : [A] Há três tipos de quadrados, com 1 sendo os seus lados. É fácil ver que 1 e 1 1. Portanto, temos AB 5. BC Página 9 de 16

10 Resposta da questão 4: Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então FB B'C A 'D π (40 0) 5 1 m. Resposta da questão 5: [B] Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem AC AB BC AB 1 6 AB 108 AB 6 cm. Do triângulo ABM encontramos BM tgbam tgbam. AB 6 6 É fácil ver que tgbac tgbam. Logo, obtemos tgmac tg(bac BAM) tgbam tgbam 1 tgbam tgbam tgbam 1 tg BAM Página 10 de 16

11 Resposta da questão 6: a) No AOE : AE r r AE 8r AE r Δ AB r r r ΔADB ~ ΔAEO AB AB r r b) No Δ ACO, temos: CO (r r) r CO r CO r Resposta da questão 7: [E] No Δ ABD, temos: BD 9 15 BD 1 15 EM 45 ΔBEM ΔADB EM Portanto, a distância pedida é Página 11 de 16

12 Resposta da questão 8: [D] A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o poço é dada por d 1 (0,5) d 1,5 d 0,5,4 d 1,1km. Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em 1,1 0,0014 h e, portanto, podemos 800 0,05 concluir que a velocidade média dos personagens foi de 6km h. 0,0014 Resposta da questão 9: [D] O custo total será dado por: C(x) 6 x 10 d Onde, d 000 x 00 Daí, temos: C(x) 6 x x 00 Portanto, a opção correta é C(x) x. Página 1 de 16

13 Resposta da questão 10: Na figura, temos: tg60 x 1 x a a 4 π 10 π y 60 Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por: π d a x a x y 6 dm Resposta da questão 11: [C] A área do setor é dada por R AB R R R. Resposta da questão 1: Página 1 de 16

14 1 a) R 1 6 b) 1 r 6 18 c) Teremos: (R r) x (R r) R Rr r x R R r r x 4Rr x x A A(trapézio) A(setor I) A(setor II) A π π π π A Resposta da questão 1: a) Considere a figura. Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e BAO 0. Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem Página 14 de 16

15 OB r senbao sen0 AO R r r 1 R Em consequência, a razão pedida é igual a πr r R πr 60 b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos θ r θ 1 sen sen. R r Por conseguinte, vem θ cosθ 1sen Resposta da questão 14: [E] Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC 10cm, daí temos: x x 10 x 50 Portanto, a área do quadrado é 50cm. Página 15 de 16

16 Resposta da questão 15: [B] Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura. É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED. Sabendo que BAE 90, tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE. Em consequência, sendo ABC 15, concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B. Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE. Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem 1 ( ) cosθ cosθ θ Página 16 de 16

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