RECUPERAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA PROFESSOR GILMAR BORNATTO

Transcrição

1 1. (Unesp) Seja A = [a Œ] a matriz 2 x 2 real definida por a Œ = 1 se i j e a Œ = -1 se i > j. Calcule A. 2. (Unesp) Seja A=[a Œ] a matriz real 2 x 2 definida por a Œ=1 se i j e a Œ=-1 se i>j. Calcule A. 3. (Unesp) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2 2: 4. (G1) Um papagaio ou pipa, é preso a um fio esticado que forma um ângulo de 45 com o solo. O comprimento do fio é de 100m. Determine a altura do papagaio em relação ao solo. 5. (Ufpe) A rampa de acesso à garagem de um edifício sobre um terreno plano tem forma retangular e determina um ângulo de 60 com o solo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra da rampa tem área igual a 36m, calcule a área da rampa. 6. (G1) A razão entre as medidas dois lados de um paralelogramo é 2/3. Se o perímetro desse paralelogramo é 150m, determine a medida dos lados. 7. (G1) Na figura a seguir, as medidas são dadas em cm. Sabendo que m//n//t, determine o valor de x. 8. (Unicamp) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'. pag.1

2 9. (Fuvest) Na figura a seguir, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão DE/BC. 10. (Fuvest) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? 11. (Ufpe) Qual o número inteiro mais próximo do comprimento do segmento AB indicado na figura a seguir? pag.2

3 12. (Unesp) A área do quadrado ABCD da figura adiante é 1. Nos lados æè e îè tomam-se, respectivamente, os pontos M e N de modo que MN seja paralelo à diagonal îæ. Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, calcule a medida do MC. 13. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 14. (Unesp) Corta-se um pedaço de arame de 12dm em duas partes e constrói-se, com cada uma delas, um quadrado. Se a soma das áreas é 5dm, determine a que distância de uma das extremidades do arame foi feito o corte. 15. (G1) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é Determine a medida do ângulo central. 16. (G1) O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 8Ë2 cm. Determine o apótema do quadrado inscrito na mesma circunferência. 17. (G1) O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo. 18. (Unesp) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x -(m+1)x +32, determine o resto da divisão de p(x) por x-1. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. 19. Considerando-se a função polinomial p :IRëIR definida por p(x) = x + x +21 podemos afirmar que: ( ) A equação p(x)=0 não tem solução inteira. ( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcissa inteira. ( ) A equação p(x) =0 possui uma solução real. ( ) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcissa negativa. ( ) A equação p(x) -21 =0 possui exatamente três soluções reais. pag.3

4 20. (Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais que sua soma é igual a a) - 3 b) - 2 c) - 1 d) 2 e) Considere a matriz A = [a Œ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. a ij 1, se i j 0, se i j É correto afirmar que: 01) Na matriz A, o elemento a ƒ é igual ao elemento aƒ. 02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 04) O determinante da matriz A é igual a ) Se a matriz B é [ ], então o produto B.A é a matriz -B. 16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a (Cesgranrio) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30 com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de: a) 0,5 m b) 1 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 2 m pag.4

5 23. (G1) O cosseno do ângulo x, assinalado na figura a seguir, é: a) 1/2 b) 2/Ë3 c) Ë3/2 d) Ë3/3 e) Ë2/3 24. (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se åæ = 2m e BðA mede 30, então a medida da extensão de cada degrau é: a) (2Ë3)/3 m b) (Ë2)/3 m c) (Ë3)/6 m d) (Ë3)/2 m e) (Ë3)/3 m 25. O seno de um arco de medida 2340 é igual a a) -1 b) - 1/2 c) 0 d) (Ë3)/2 e) 1/2 pag.5

6 26. (Ufrs) Considere as afirmativas abaixo. I. tan 92 = - tan 88 II. tan 178 = tan 88 III. tan 268 = tan 88 IV. tan 272 = - tan 88 Quais estão corretas? a) Apenas I e III. b) Apenas III e IV. c) Apenas I, II e IV. d) Apenas I, III e IV. e) Apenas II, III e IV. 27. (Fuvest) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 e o ângulo 2 mede 55. A medida, em graus, do ângulo 3 é: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) (Uel) A medida de um ângulo é igual ao triplo da medida do seu suplemento. Nestas condições, tg é igual a a) 1 b) Ë2/2 c) 0 d) - Ë2/2 e) - 1 pag.6

7 29. (Fuvest) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de + é a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) (Ufpe) Na figura a seguir, os retângulos ABCD e A'B'C'D' têm o mesmo centro e lados iguais a 5cm e 9cm. Qual o diâmetro da maior circunferência contida na região hachurada? a) 4 cm b) 5 cm c) 5Ë2 cm d) 9 cm e) 9Ë2 cm pag.7

8 31. (Faap) Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60 com a horizontal quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45 se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada no mesmo ponto do chão. A largura da rua (em metros) é: a) 10Ë2 b) Ë2 c) (10Ë5) - 5 d) 5 + 5Ë2 e) Ë2 32. (Fuvest) No triangulo ABC, AB = 20cm, BC= 5cm e o ângulo AïC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8cm. A medida, em graus do ângulo BNP é: a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 8,0 cm b) 7,2 cm c) 6,0 cm d) 5,6 cm e) 4,3 cm pag.8

9 34. (G1) Calcule a soma dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e cos x = 3/5 a) 6 b) 8 c) 14 d) 2 e) (G1) Para o triângulo retângulo BAC, a relação correta é: a) sen ï = b/a b) cos ï = b/a c) tg ï = c/b d) tg ð = b/c e) sen ð = b/a pag.9

10 36. (G1) O valor de a no triângulo ABC é: a) 32 b) 36 c) 30 d) 33 e) (G1) Sabendo que tg 30 = Ë3/3, determine a medida do segmento åæ na figura a seguir: a) 173 m b) 174 m c) 100 m d) 346 m e) 200 m pag.10

11 38. (Ufes) Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de comprimento. A medida do segmento de reta åæ nesta unidade de comprimento é igual a a) 1/2 b) Ë(3)/2 c) 3/2 d) 1+Ë(3)/2 e) Ë3 39. (Unaerp) Um triângulo, inscrito num semicírculo de raio igual a 5cm, possui um dos lados que mede 10cm. A soma dos quadrados dos outros dois lados é: a) 50 cm b) 75 cm c) 100 cm d) 125 cm e) 150 cm 40. (Cesgranrio) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: a) 36 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54 pag.11

12 41. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é: a) 2Ë3 b) 2Ë5 c) 3 d) 5 e) Ë (Fuvest) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? a) 30 %. b) 36 %. c) 40 %. d) 45 %. e) 50 %. 43. (Fuvest) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm, vale: a) 24 b) 12 c) 5Ë3 /2 d) 6Ë2 e) 2Ë3 pag.12

13 44. (Unesp) Considere o triângulo retângulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos internos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se que a medida do segmento BF é igual a 8cm, do segmento DC é 4cm e que a área do trapézio EFCD é 30cm. A medida de åæ é: a) 12 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 20 cm 45. (Unesp) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 200 m e 201 m. b) 220 m e 221 m. c) 401 m e 402 m. d) 632 m e 633 m. e) 802 m e 803 m. pag.13

14 46. (Unesp) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados? a) 37,2. b) 38,2. c) 40,2. d) 41,2. e) 42, (Ita) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será: a) (Ë3 - Ë2)R/2 b) (Ë2 + 1)R/2 c) (Ë3 + 1)R/2 d) (Ë2-1)R/2 e) (Ë3-1)R/2 48. (Fuvest) Seja p(x) = x + bx + cx + dx + e um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é impar. Quantos coeficientes pares têm o polinômio p(x)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) (Ita) A divisão de um polinômio P(x) por x -x resulta no quociente 6x +5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x+1 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 pag.14

15 50. (Fgv) Sobre as raízes da equação 2x - x - 2x + 1 = 0, é verdade que a) nenhuma delas é real. b) exatamente duas delas são negativas. c) somente uma delas é irracional. d) as três são números inteiros. e) pertencem ao intervalo [-1, 1]. 51. (Fuvest) As três raízes de 9x -31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p +q é: a) 5/9 b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9 52. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x -x +kx+4=0 é igual a 1. Então o valor de k é: a) - 8. b) - 4. c) 0. d) 4. e) (Pucsp) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f=x +x -2x-2. As demais raízes desse polinômio são números. a) irracionais. b) não reais. c) racionais não inteiros. d) inteiros positivos. e) inteiros e opostos entre si. pag.15

16 54. (Unesp) O gráfico da figura adiante representa o polinômio real f(x)=-2x +ax +bx+c. Se o produto das raízes de f(x) = 0 é igual a soma dessas raízes, então a+b+c é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 9/2 55. (Fei) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis: podemos afirmar que x/y vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6 pag.16

17 56. (Fei) Para que o determinante da matriz seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou (Pucmg) O termo geral da matriz M Ö é a Œ = 3i - 2j. O valor do determinante de M é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (Uel) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b b) se e somente se a = b c) se e somente se a = - b d) se e somente se a = 0 e) se e somente se a = b = 1 pag.17

18 59. (Unitau) O valor do determinante como produto de 3 fatores é: a) abc. b) a (b+c) c. c) a (a-b) (b-c). d) (a+c) (a-b) c. e) (a+b) (b+c) (a+c). 60. (Unitau) Sendo B = (b Œ) Ö, onde, b ij Calcule o det B : a) 13. b) c) 25. d) 20. e) se i j 2ij se i j 3j se i j GABARITO 1. A é a matriz a seguir: pag.18

19 2. A é a matriz a seguir: 3. x = 2, y = 2 e z = Ë2 m m e 45 m 7. x = 9 8. AB' = 2,6 cm ; B'C' = 3,9 cm ; C'D' = 6,5 cm. 9. 2/3 10. a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10 metros MC = Ë3/3 13. Observe a figura a seguir: b) 20,5 m dm de distância de uma das extremidades e 8dm da outra a = 4Ë Ë V F V V F 20. [E] = [B] 23. [C] 24. [E] 25. [C] 26. [D] 27. [E] pag.19

20 28. [E] 29. [D] 30. [C] 31. [D] 32. [B] 33. [B] 34. [C] 35. [A] 36. [B] 37. [A] 38. [D] 39. [C] 40. [E] 41. [A] 42. [B] 43. [A] 44. [B] 45. [D] 46. [E] 47. [A] 48. [D] 49. [E] 50. [E] 51. [D] 52. [A] 53. [A] 54. [A] 55. [E] 56. [A] 57. [E] 58. [A] 59. [C] 60. [A] pag.20