CADERNO DE EXERCÍCIOS 9

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1 MATEMÁTICA Capítulo 1 Triângulo Retângulo e Triângulo Qualquer Nível 01 Os observadores A e B vêem um balão sob ângulos de 0º e 45º, como mostra a figura. Sabendo-se que a distância entre eles é de 100m, calcular a altura do balão. em cm, medem: 5, 5 e 8 7, 7 e 4 c) 6, 6 e 6 d) 4, 4 e (CPCAR/000) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: 0,8 1,4 c),8 d), 0 (Col.Militar/97) Na figura abaixo, há um observador visando duas janelas de um edifício sob ângulos de 58º e 76º. Sendo AC = 5 m, calcule a distância BC entre as janelas. 09 (UFJF/00) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para faer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 00 metros do edifício e mediu um ângulo de 0º, como indicado na figura abaixo. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é: α sen α cos α tg α 58º 0,84 0,5 1,60 76º 0,97 0,4 4,00 0 (UFMG/006) Esta figura representa o quadrilátero ABCD: Sabe-se que: c) 117 d) 10 e) (UFJF/00) Ao aproximar-se de uma ilha, o Capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 0º na direção do seu cume, como indicado na figura. Depois de navegar mais km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45º. Então, usando = 1, 7, o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros, é: AB = 1cm e cm AD= cm ; O ângulo ABC = 10 o ; e O segmento CD é perpendicular aos segmentos AD e BC. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é: cm. 5 6 cm c) cm d) cm. 04 (C.Militar/94) Num triângulo obtusângulo, o lado AB mede 11cm e o lado BC mede 8cm. Sabendo-se que AB é o maior lado e que a projeção do lado AC sobre BC tem cm, AC, em centímetros, será igual a: c) 9 d) 6 e) 5,1.,. c),5. d),7. e),0. 11 (UFJF/00) A figura abaixo mostra, no plano cartesiano, uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1, passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD são paralelos ao eixo e θ é o ângulo que o segmento de reta OD fa com o eixo x. Com respeito a essa figura, é correto afirmar que: 05 (EEAR CFS 1/99 B) Num triângulo, o quadrado da diferença entre as medidas de dois de seus lados é 54cm e o produto das mesmas medidas é 45cm. Se esses lados formam um ângulo de 60º, então o º lado mede, em cm: c) 10 d) (ESA/94) Num triângulo ABC, o ângulo A é obtuso. Os lados AB e AC medem e 4, respectivamente. Então: BC < 4 c) BC > 7 e) 4 < BC < 5 BC < 5 d) 5 < BC < 7 07 (CFO/000) O perímetro de um triangulo isósceles de cm de altura em relação à base é 18cm. Os lados desse triângulo CADERNO DE EXERCÍCIOS 9

2 MATEMÁTICA OA = sen θ. OC = cos θ. AC c) BD =. OA d) AC OD = BD OB e) OB + BD = 1. 0 (Unicamp/008) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo. 1 (CFS /98) Se o perímetro de um triângulo retângulo isósceles é p, então a altura relativa à hipotenusa é: p c) 1) p( 1) d) 8 p( + 4) 4 + e)n.r.a. 1 (FUVEST/004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC =. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetri relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 14 (UFMG/004) Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, e : Se o tempo gasto para girar a ponte em 1º equivale a 0 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 1,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? Se α = 75º, quanto mede AB? 0 (Unicamp/006) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente 14 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, após desliar, a escada passou a faer um ângulo de 45º com a horiontal. Pergunta-se: Nessa situação, a altura do triângulo ADE em relação ao lado AE é dada por: x. c) x. d).. 15 (Unicamp/005) Dois navios partem ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 15km e, após mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5km mais longe do porto que o outro: Quais as velocidades dos dois navios, em km/h? Quais as distâncias de cada um dos navios até o porto de saída, 70 minutos após a partida? 01) 50( 1) 0) m 0) A 04) E 05) B 06) D 07) A 08) B 09) C 10) D 11) C 1) B 1) 11/0 14) B 15) 18 e 4km/h 81 e 108km/h Qual é a distância entre a parede da casa e o muro? Qual é o comprimento da escada de Roberto? 04 (Unicamp/006) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo. Exercícios Nível 01 (ESA/94) AB é hipotenusa de um triângulo retângulo ABC. A mediana AD mede 7 e a mediana BE mede 4. O comprimento AB é igual a: 1 5 c) 5 d) 10 e) 10 Qual a distância horiontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? Qual a altura da escarpa? 05 (C.Naval/8) O segmento da bissetri do ângulo reto de um triângulo vale 4 cm. Um dos catetos vale 5cm. A hipotenusa vale, em cm: CADERNO DE EXERCÍCIOS 10

3 MATEMÁTICA c) 5 17 d) (C.Militar/97) Sejam b e c catetos e h a altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo. Qual a condição necessária para que a equação abaixo tenha apenas uma rai real? 0 (FUVEST/004) Na figura ao lado, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a, determinar: 1 x h (b + c) x + b c h = 0 07 (ESA/95) O triângulo MPQ está inscrito num retângulo ABCD, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que: med(ap) < med(pd) med (AM) = med(mb) = cm med(ad) = 4cm med(cq) = 5cm Então, a altura do triângulo MPQ relativa à hipotenusa, em centímetros, mede:abaixo: 5 c) 10 d) e) 0 o valor de r. a área da região hachurada. 0 (FUVEST/00) No trapéio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. 08 (UFMG/007) Nesta figura, está representado o trapéio isósceles ABCD: 04 (UFMG/008) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta figura: Sabe-se que: os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento; o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e os segmentos BC e BE medem, cada um, 1 cm. CALCULE o comprimento do segmento AE. CALCULE a tangente do ângulo θ. 01) A 0) 15min 06) b=c 07) B 5 { ( ) 4 6 } 0) m m 08) AE = 1/ Tg θ = 1/7 04) + 1,6 + 05) C Capítulo Polígonos Regulares Inscritos, Circunscritos e Áreas de Figuras Planas Nível é: Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS 1+ dm. 1+ dm. c) + dm. d) + dm. 05 (UFMG/007) Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 5 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α, β e γ. 01 (FUVEST/005) Na figura abaixo, as 1 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figur, e que o quadrado tem lado 7, determine r. Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II. Então, é CORRETO afirmar que a área da região α mede 4 cm. 8 cm. c) 0 cm. d) cm. CADERNO DE EXERCÍCIOS 11

4 MATEMÁTICA 06 (UFMG/004) O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é de 1,6 m. 1,45 m. c) 1,58 m. d) 1,8 m. 07 (UFMG/004) Observe esta figura: 01) ( 1) 0) 7 ( + 1) 16 π + 4 π 8 ( ) ( ) 0) AB=8 06) A 07) C 08)S 1=14 09) 50cm 04) C 05) C 5/4cm 10) 8 e 10º Nível Nessa figura, o quadrado ABCD tem área igual a 1; o triângulo BPQ é eqüilátero; e os pontos P e Q pertencem, respectivamente, aos lados AD e CD. Assim sendo, a área do triângulo BCQ é: c) d) (UFRJ/008) A, B e D são pontos sobre a reta r e C 1 e C são pontos não pertencentes a r tais que C 1, C e D são colineares, como indica a figura a seguir. Se S 1 indica a área do triângulo ABC 1 e S, a área do triângulo ABC, e sabendo que DC 1 = 7, C 1C = 9 e S = 4, determine S Um lenhador empilhou troncos de madeira num caminhão de largura,5m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5m. Logo, a altura h, em metros, é: c) 4 d) 1+ e) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo eqüilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetri do ângulo ACB intercepta a semi-circunferência. O comprimento da corda AD é: R R c) R 1 d) R 1 e) R 09 (Unicamp/005) Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado o- posto AB. Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M. Calcule o raio da circunferência C. 0 Uma empresa produ tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produ 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. (Área do círculo: πr. 10 Na figura a seguir, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ 4 e RM =. Calcule: O raio da circunferência A medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: a entidade I recebe mais material do que a entidade II a entidade I recebe metade de material do que a entidade III c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III e) as três entidades recebem iguais quantidades de material 04 Seis círculos todos de raio 1cm, são dispostos no plano CADERNO DE EXERCÍCIOS 1

5 MATEMÁTICA conforme mostrem as figuras ao lado: Calcule a área do triângulo ABC. Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC. 04) ) E 0) A 0) E CADERNO DE EXERCÍCIOS 1