III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

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1 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além de calcular a área dessas figuras, nós vamos ver como o conhecimento da área de um triângulo pode ser uma informação importante para calcular outras grandezas. Matemática Frente III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS elementos das diagonais secundárias, como se fosse uma matriz. Exercício Resolvido 1: Calcule a área do triângulo formado pelos pontos, e. ja a matriz [ ]. Então 2 - ÁREA DO TRIÂNGULO jam, e os vértices de um triângulo. Como nós poderíamos calcular a área do triângulo? Uma estratégia possível seria calcular o comprimento do segmento, calcular a equação geral da reta (onde é a reta que passa por e ), calcular a distância entre e o ponto, e a partir da distância e da distância entre e, calcular a área do triângulo. Mas como você pode ver, essa estratégia envolve muitos cálculos! Felizmente, existe uma fórmula pronta para a área do triângulo formado pelos pontos, e : Resposta: a área do triângulo área. Exercício Resolvido 1: é 5 unidades de Calcule a área do triângulo formado pelos pontos, e. ja M a matriz [ ]. Então Figura 1: área do triângulo ABC [ ] Leia-se: a área do triângulo é metade do módulo do determinante da matriz [ ]. Resposta: a área do triângulo é zero! Observação: pode-se também fazer [ ], que não é uma matriz quadrada, e calcular-se o seu quase-determinante da seguinte forma: somamos os produtos dos elementos das diagonais principais e subtraímos os produtos dos Observação: a área do triângulo é zero, pois como, os pontos, e são colineares, portanto não existe o triângulo. CASD Vestibulares MAT III 1

2 Resposta: ou Exercício Resolvido 3: ja a reta de equação. Calcule o valor de, sabendo que a área do triângulo formado pela reta e pelos eixos coordenados é. Exercício Resolvido 4: Calcule e positivos na equação da reta de modo que ela passe pelo ponto e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual. jam a reta de equação, o ponto, o ponto onde a reta corta o eixo e o ponto onde a reta corta o eixo. Então: Logo a equação de é Figura 2: figura do exercício resolvido 3 jam o ponto onde a reta corta o eixo e o ponto onde a reta corta o eixo. Então: ja a origem do plano cartesiano. Logo. Além disso, como a área do triângulo é Como é a origem do plano cartesiano,. Além disso, como a área do triângulo é 2 MAT III CASD Vestibulares

3 e, e são positivos. Logo e é uma solução válida. Figura 4: área do pentágono ABCDE Da mesma forma, a área do pentágono acima pode ser dada pela seguinte expressão: com. Logo não é uma solução válida. Logo ( ) Resposta: a única solução válida é não é uma solução válida. 3 - ÁREA DO POLÍGONO De maneira geral, para calcular a área de um polígono qualquer, basta dividir o polígono em vários triângulos e calcular a área de cada triângulo. e [ ] [ ] Exercício Resolvido 5: [ ] jam, e Calcule a área do quadrilátero. Exercício Resolvido 6: jam e as equações de duas retas no plano. Sabe-se que corta o eixo em, corta o eixo em, corta em e sabese que corta o eixo em. Determine o valor de, sabendo que os polígonos e têm a mesma área. Figura 3: área do quadrilátero ABCD Por exemplo, a área do quadrilátero acima pode ser dada pela seguinte expressão: onde [ ] [ ] Figura 5: figura do exercício resolvido 6 Para usar a informação de que os polígonos e têm a mesma área, primeiro devemos calcular as coordenadas de todos os pontos ( ): CASD Vestibulares MAT III 3

4 Como. é a origem do plano cartesiano, Agora que calculamos todas as coordenadas, vamos calcular os determinantes: ja [ ] Então Infelizmente caímos em uma equação modular. Para resolvê-la, nós temos que saber se e são positivos ou negativos. Essa informação pode ser obtida através da figura original: Da figura: está acima do eixo Agora, a equação modular pode ser resolvida: ou Agora vamos dividir o quadrilátero nos triângulos e : ja [ ].Então Resposta: o valor de é 4 - RESUMO Para calcular a área do triângulo formado pelos pontos, e, podemos usar a seguinte relação: [ ] ja [ ].Então Para calcular a área de um polígono com mais de 3 lados, basta dividir esse polígono em vários triângulos e calcular a área de cada triângulo. Por exemplo, a área de um quadrilátero ser dada pela seguinte expressão: pode onde [ ] [ ] Finalmente, vamos usar a informação de que os polígonos e têm a mesma área Da mesma forma, a área de um pentágono pode ser dada pela seguinte expressão: Como tem-se: 4 MAT III CASD Vestibulares

5 x 0 do ponto R é: com [ ] [ ] e a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. [ ] De maneira análoga, podemos calcular a área de um hexágono, um heptágono, etc. Nível II EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. As retas r e s formam com os eixos ordenados triângulos retângulos de área igual a 6 e têm coeficientes angulares iguais a -3/4. Suas equações são: a) 4x 3y 12 0 e 4x 3y 12 0 b) 4x 3y 24 0 e 4x 3y 24 0 c) 3x 4y 12 0 e 3x 4y 12 0 d) 3x 4y 24 0 e 3x 4y 24 0 e) n.d.a 7. (FUVEST - 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. ndo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) determine a equação de s. b) calcule a área do triângulo ABC. 8. (UFSCAR - 08) As coordenadas dos vértices do triângulo ABC num plano cartesiano são, e. ndo θ um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo ABC maior que 9, o domínio de 4 validade de θ é o conjunto 2. (UNIFESP - 06) P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3 3. (FUVEST - 99) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. a área desse triângulo é 18, a equação de r é: 9. (UFRRJ - 06) Multiplicando as coordenadas dos vértices A(0, 0), B(2, 0) e C(4, 3) de um triângulo ABC por uma constante K > 1, obtemos um outro triângulo de vértices A 1, B 1 e C 1. Encontre a área do triângulo A 1 B 1 C 1 em função da constante K. 10. (UFMG - 94) Observe a figura. a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2 d) x + y = 4 e) x + y = 6 4. (UNESP - 94) ja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é: a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) (UFF - 00) A reta r contém o ponto P(-5, 0), tem coeficiente angular negativo e forma, com os eixos coordenados, um triângulo de área igual a 20. Determine a equação de r. Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto ( vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é ), e a área do triângulo de a) b) c) d) e) 6. (UNESP - 07) Um triângulo tem vértices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x 0, 4), com x 0 > 0. Sabendo-se que a área do triângulo é 20, a abscissa 11. (FATEC - 99) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir. CASD Vestibulares MAT III 5

6 (k, 5) sobre a reta s, determine a) todos os vértices do triângulo; b) a área do triângulo. A área desse triângulo é a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) (UFMG - 94) Observe a figura. 17. (ITA - 02) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2, respectivamente, se interceptam na origem 0. B r e C s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmentobc é perpendicular a r e a área do triângulo OBC é igual a , então a distância de B ao eixo das ordenadas vale a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1. Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Então, C é o ponto de coordenadas a) ( ) b) ( ) c) d ) e) 13. (UFMG adaptado) Considere as retas cujas equações são y = x + 4 e y = mx, em que m é uma constante positiva, maior do que 1. Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas é 18. (UFMG 05 - adaptado) Um triângulo tem como vértices os pontos A = (0,1), B = (0,9) e C = (4,9). Sabe-se que a reta x = k divide o triângulo ABC em duas regiões de mesma área. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o valor de k é igual a Nível III 19. (FUVEST - 04) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado a seguir em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto. O valor de para que se obtenham dois lotes de mesma área é: a) b) c) d) 14. (UFRRJ - 04) Esboce graficamente as retas,, e e determine a área da região delimitada por estas retas. 15. (UNICAMP - 06) Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o gráfico da função y = I x l em dois pontos distintos, A e B. a) Determine os possíveis valores para m. b) O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. 16. (FUVEST - 01) A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r: y = 5x - 13, e um de seus catetos está contido na reta s: y = x - 1. o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma a) b) c) d) e) 20. (UNICAMP - 08) As retas de equações e são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente é igual à média aritmética dos coeficientes e : a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes e ; b) determine, e, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1. 6 MAT III CASD Vestibulares

7 21. (UNIFESP - 09) Num sistema cartesiano ortogonal, considerados os pontos e a reta exibidos na figura, A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma área terá por equação: a) 3x - 5y - 5 = 0. b) 3x - 5y = 0. c) 6x - 10y - 1 =0. d) 9x - 15y - 2 = 0. e) 12x - 20y - 1 = 0. GABARITO o valor de t para o qual a área do polígono OABC é igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é: a) b) c) d) e) 22. (FUVEST - 06) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. 23. (ITA - 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm 2, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5 Dica: Em um paralelogramo, as suas diagonais se bisseccionam (a interseção delas é o ponto médio de cada diagonal). 24. (FUVEST - 02) jam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC. jam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima. 1. C 2. D 3. E 4. A E 7. a) b) u.a 8. E D 11. E 12. B 13. C u.a 15. a) b) 16. a) b) 6 u.a. 17. b B 20. a) ( ) ( ) 21. E E 24. a) b) 25. C BIBLIOGRAFIA Não há referências bibliográficas 25. (UNIFESP - 09) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação CASD Vestibulares MAT III 7

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