Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

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2 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática, na qual associamos seres algébricos aos geométricos, estudando-se as propriedades de um pela análise do outro. Isso significa que a Geometria Analítica algebriza a Geometria. Entre as vantagens da Geometria Analítica sobre a geometria pura está o aumento do poder da análise e a eliminação da intuição. Agora substituiremos o traçado de curvas por equações, que fornecerão conclusões sobre as curvas correspondentes. No Ensino Médio exploraremos o ponto, a reta e a circunferência e as relações entre esses entes geométricos, inseridos no plano cartesiano ortogonal. Já fizemos algumas análises próprias da Geometria Analítica, quando calculamos áreas e determinamos a equação da reta por determinantes, analisamos a posição relativa entre retas analisando suas equações assim como para a posição relativa entre planos. Para exemplificar a algebrização da geometria, citaremos a dificuldade de retificar o centro de uma circunferência se esta não foi feita com compasso, por exemplo, a circunferência impressa abaixo. Os procedimentos necessários são descritos a seguir: m A B O D C n 1. Tomar uma corda AB; 2. Obter a mediatriz 1 m desta corda; 3. Tomar uma segunda corda, CD, não paralela; 4. Obter a mediatriz n de CD não paralela a m; 5. A intersecção das mediatrizes será o centro O da circunferência. Algebrizando o problema teríamos a equação da circunferência e por ela encontraríamos as coordenadas do centro. Utilizaremos, por vezes, o programa GeoGebra que tem essa dualidade, tudo o que é feito na área da geometria é relacionado as equações, medidas de área, etc. na área da álgebra. Foi no século XVII que a geometria analítica ganhou os contornos que conhecemos até hoje, com as contribuições de René Descartes e Pierre de Fermat. Foi Descartes que concebeu um sistema de referência para o plano: O Sistema Cartesiano Ortogonal, onde cada ponto é representado por um par ordenado (x,y), com x representando o deslocamento em relação a um ponto denominado origem em relação ao eixo horizontal, e y representando o deslocamento em relação ao eixo vertical. Graças a esse sistema conseguimos esboçar o gráfico de parábolas, hipérboles e muitas outras curvas Distância entre dois pontos Distância entre dois objetos quaisquer é definida pela medida do menor caminho que liga estes dois objetos. No caso de dois pontos A e B no plano cartesiano y A(x A, y A) e B(x B,y B) a distância é a medida do B segmento de reta com extremos em A e B. d d = AB em função das coordenadas de A e de B. y A Denotaremos por d(a,b) para explicitar os pontos a que se quer calcular a distância. Observando o triângulo retângulo ABC, reto em x A x B C. A distância entre A e B equivale à medida da hipotenusa. Pelas coordenadas dos pontos A e B podemos facilmente encontrar a medida dos 1 Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular a este passando pelo ponto médio do mesmo.

3 catetos. AC = x B x A BC = y B - y A d(a,b) = Exemplos: 1.Vamos calcular a distância entre: (a) A( 2,1) e B(2,1) (b) C(1,2) e D(1,5) (c) E(5,3) e F(1, 1) Observação: A fórmula acima é válida para qualquer disposição entre dois pontos Ponto Médio de um segmento. Ponto médio é ponto do segmento que é equidistante aos pontos extremos. Considerando A (x a, y a) e B(x b, y b) extremos do segmento e M (x m, y m) o ponto médio de AB. Podemos pensar primeiro na abscissa do ponto médio, ela deve estar a mesma distância das abscissas de A e B e depois pensar na ordenada do ponto médio, satisfazendo o mesmo critério. Note que os triângulos retângulos de hipotenusa AM e MB são congruentes.

4 Coordenadas do ponto médio: M Supomos A e B no primeiro quadrante. Chegaríamos a mesma conclusão trabalhando com outros quadrantes. Exemplo: (a) Determine as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo ABC, em que A( 3, 2), B(1,4) e C( 1, 1). (b) Determine as medianas relativas aos vértices. Equações da Reta 4.4. Equação Reduzida da Reta. A reta já é conhecida por nós como o gráfico de uma função afim, ou seja, se a lei da função é y = ax + b, onde a é o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear, coeficientes reais. Esta forma também é conhecida como equação reduzida da reta. Os coeficientes a e b são números reais quaisquer. A interpretação desses coeficientes também é conhecida. a = tg com o ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo ox. b é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo oy.

5 Esta forma apresenta esta vantagem, se conhecemos o ângulo e a intersecção da reta com o eixo y obtemos diretamente a equação da reta. Exemplo: Determine a equação reduzida da reta que faz um ângulo de 30º com o sentido positivo do eixo ox e que contém o ponto A(3,1). Pense: Toda reta pode ser representada pela equação reduzida? 4.5. Equação Geral da Reta. Podemos expressar a equação da reta a partir da forma reduzida colocando todos os termos para o primeiro membro e igualando a zero, originando a forma: r: mx + ny + k = 0. Com m, n e k, coeficientes reais onde m e n não podem ser nulos simultaneamente, pois teríamos k = 0, absurdo, se k 0. Nesta forma os coeficientes m e n também possuem significado geométrico, que veremos na próxima aula. Vimos no segundo bimestre que podemos obter a equação de uma reta que passa pelos pontos A(x a,y a) e B(x b,y b) usando determinantes: x y 1 xa ya 1 0 x b y b 1 O desenvolvimento do determinante nos fornece diretamente o formato da equação geral da reta. Exemplo: Determine a equação geral da reta que contém os pontos A(-2,5) e B(3,1) Exercícios. 1. Determine a distância dos pontos a seguir: (a) A (2,5) e B ( 3,1) (b) P( 4,0) e Q(1, 5) (c) R 0.5, 1 e S (5, 1) (d) T (0, 8) e V( 7,0) 2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dadas as coordenadas de seu vértice: (a) A (3,0), B(0, 4) e C(0,0) (b) A(1,3), B(1, 2) e C(5,0) (c) A( 6, 1), B(4,2) e C(3, 1)

6 3. Mostre que o triângulo de vértices A(3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo. Determine qual é o vértice do ângulo reto. 4. Obtenha o ponto da bissetriz 2 dos quadrantes ímpares que é equidistante dos pontos A(3,5) e B( 2,8). 5. Obtenha as coordenadas do ponto médio do segmento AB nos seguintes casos: (a) A(3,1) e B( 3,5) (c) A (b+2,b) e B(6 b, 5b) 5 2 (b) A,6 e B, 1 (d) A 3,0 e B(0,4) Dados os pontos A(4,2), B(6, 5) e C(10, 3), calcule a medida da mediana 3 AM do triângulo ABC. 7. Sabendo que A( 1,6) e que o ponto médio do segmento AB é M (3,5), determine as coordenadas de B. 8. Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M( 2,1), N(5,2) e P(2, 3). 9. Determine a equação reduzida da reta que intersecciona o eixo oy em y = 4 e faz um ângulo de 135º com o eixo ox. 10. Considere um quadrado, cujos vértices são A(0,0), B(0,2), C(2,0) e D(2,2). Determine a equação da reta cuja direção é ortogonal à diagonal do quadrado e que o ponto E (1,1) pertence a essa reta. 11. Demonstre que o quadrilátero de vértices A(a,b), B(a+4,b+3), C(a+7,b+7) e D(a+3,b+4) é um losango, usando argumentos da geometria analítica. 12. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: (a) A(-3,4) e B(2,1) (b) C(1,1) e D(-4,-5) 2 Bissetriz é uma reta que divide um ângulo ao meio. 3 Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

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