Matemática B Semi-Extensivo V. 3

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1 GRITO Matemática Semi-Etensivo V. (, e (, M, Então: M = M = M = M = Eercícios D Substituindo em I, temos: = =. = = Então, = ( = 8 M(, (, (, M = M = 8 M = M = D Sabendo que o eio é o da abcissa e que o eio é o da ordenada e que: Q Quadrante: Sabendo que M é o ponto médio entre e, então: I. M = = multiplicando por = = = o quadrante < > o quadrante > > II. M = = o quadrante < < o quadrante > < Então, se <, esse ponto nunca estará no ºquadrante. (, = (, Então: I. = = = II. = substituindo I em II ( = ( = 8 = 8 = 8 = = = = = = alculando a distância de (, até a origem (,, temos: d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = d(, = a >, então a é positivo, e b <, então b é negativo. Se P( a, a b, então: I. P = a II. P = a b P < P = a ( b P = a b P > Logo, P = ( P (, P (. Matemática

2 GRITO (, (, (, D(, M D D, M = D M = M = M = M = M = M = M = (, b (, (, Se é equidistante de e de podemos afirmar que é ponto médio entre e, então: 8 b = b = b = b = (, P(, h Para calcular a distância entre dois pontos usamos: d = ( ( 9 D P P Substituindo os valores, temos: d = ( ( h d = ( ( h d = 9 h < a < (I < b < Q = ( ( a b, ab P(a, b P(, Q(, R(, alculando a distância entre os pontos temos: I Entre P e Q d = ( ( P Q P Q d = ( ( d = ( d = d = d = II Entre Q e R d = ( ( Q R Q R d = ( ( d = ( d = 9 d = III Entre P e R d = ( ( P R P R d = ( ( d = ( ( d = 9 d = Note que ( a b é a distância de P à origem. Sabemos que a hipotenusa é maior que os catetos, então ( a b > a (II De I temos: < a < multiplicando por b:. b < a. b <. b < ab < b Logo, que satisfazem a b = > a estão na região II = ab< b Então (d = d d. (,, (, 9, (, e M o ponto médio entre e I M = II M = M = M = 9 M = M = M = M = Matemática

3 GRITO Então, M(,. gora calculando a distância entre M e, temos: d = ( ( E M M d = ( ( d = ( ( d = 9 d = d = (, (, Sabendo que e são vértices de um quadrado, precisamos calcular a distância entre esses dois pontos para saber a medida do lado, então: d(, = = ( ( = ( ( = ( = 9 = = Sabendo que a diagonal de um quadrado é, então. (, (, Primeiro precisamos calcular o comprimento da diagonal. d(, = ( ( d(, = ( ( ( d(, = ( 8 d(, = d(, = d(, = Sabendo que a diagonal do quadrado é d =, temos: d(, = = = Multiplicar o denominador e numerador por : = = p = p =. p =. (, (, (a, b d(, = d(, ( a ( b = ( a ( b a b b 9 = 8a a b b = 9 8a b = 8a b = 8 a b = a atedral (,, Prefeitura (, P, âmera (, Primeiro vamos calcular a distância entre e P: d(, P = ( ( P P d(, P = ( ( d(, P = ( d(, P = d(, P = gora vamos calcular a distância entre e : d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = d(, = fatorando = ². Matemática

4 GRITO d(, =. d(, = Sabendo que a distância real entre e P é m, por regra de três temos: Distância no plano Distância real =. 8 G(,, (,, (, 8 e (, I G = II G = = = 8. =. = = = 9 = = 9 =. = (,, (, e (, =, (,, (, e (, m Sabemos que a área = D,então = D m m = D. Sabendo que = D, vamos calcular D: = D. P D. S 8 ( = D 9 = = = (,, (, e (, Primeiro vamos calcular o determinante: DP DS ( 8 ( gora calculando a área: = D = DP DS ( m ( m m m m Logo, = m. aso I: aso II: m = m = m = m = m = m = m = m = m = 8 m = Área =, (,, (, e (, Sabemos que a área = D então, = D 8 = D. DP DS ( ( Logo, 8 =. aso I: aso II: = 8 = 8 = 8 = 8 = = = = = = Matemática

5 GRITO (, 8, (, e (, serão colineares se. 8 (8 ( = 8 = = = = D 8 DP DS = (,, (, e, k estão na mesma reta se. k/ k/ DP DS = ( k ( k = 9 k k = k = k = (,, (, e (, Sabendo que área = D, então: DP DS ( ( 8 9 área = área = M (,, M (, e M (, são pontos médios dos lados de um triângulo, então: I. Seja M o ponto médio entre os vértices e, então: M = M = = = = (I. a = (I. b II. Seja M o ponto médio entre os vértices e, então: M = M = = = = = = (II. a = (II. b III. Seja M o ponto médio entre os vértices e, então: M = M = = = = (III. a = (III. b Substituindo (II. a em (III. a e (II. b em (III. b temos: = = = = = (IV = (V Somando as equações (I. a e (IV e (I.b e (V, temos: = = = = = = = = = = (, Substituindo o ponto nas equações (I. a, (I. b, (III. a e (III. b, temos: = = = = = = = = = = = = = = (, e (, Matemática

6 GRITO D Para que seja colinear aos pontos e, eles têm que pertencer à mesma reta. Primeiro vamos encontrar a reta que passa pelos pontos e, sendo (d, m e (d,. (d (d m (d (d m DP DS = = (m (d ((d (d m (d d m( d = = m( d = m( d Então, a equação da reta que passa por e é: = m ( d (I Do gráfico sabemos que (d,. Então, substituindo na equação da reta (I, encontraremos o valor de para que, e sejam colineares. = md ( d = m( = m = m (,, (, Primeiro vamos encontrar a equação da reta que passa por e : DP DS = ( ( = = = Do gráfico sabemos que ' e ' pertencem à mesma reta que,, então: '(, '(, '(, ', =. = = = = = gora vamos calcular a distância entre I e : d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = ( d(, = d(, = Então, =. II ' e ': d(', ' = ( ( d(', ' = ( d(', ' = d(', ' = d(', ' = = Então, =. Por semelhança entre ~ ''' temos: do triângulo temos = e área =. do triângulo ''' temos = e Área =. Então: área = Área = =. = = =. =. Matemática

7 GRITO =. = = m² Note que o ponto P tem coordenadas comum para as duas retas, então: = = = = = 8 = = P(, (,, (, E Note que I e III são possíveis equações para a reta r. Do gráfico também temos r, com (, ; >. a = = = c =. = = Logo, podemos concluir que r: =. Para a reta s temos o ponto (,, com < e D(,, com >. Dos cálculos feitos anteriormente podemos afirmar que s: =. (, e (, Primeiro vamos encontrar a equação da reta que passa por (, e (, 8, então: DP DS = 8 8 DP DS = 9 ( ( = = = = Equações: I = II 8 = III = Do gráfico temos que para a reta r temos um ponto (,, com >. Substituindo o ponto nas equações, temos: a =. = = = b 8 =. 8 = 8 = 8 = = c = = = = = ( 8 ( 8 = 9 = 9 = = 9 9 = (I Substituindo e na equação I temos: Para : = = =. =. = = Para : = =. = = Matemática

8 GRITO Então, (, e (,, caculando a distância: d(, = ( ( d(, = ( ( ( d(, = ( D DP DS = d(, = 9 d(, = d(, = m = tg α alculando o suplementar temos: α = 8 α = 8 α = Então, m = tg m = = m ( = ( = (, P(, Do gráfico temos: Para (, temos cos =, a menor determinação positiva é = π, então (π,. Para (, temos cos =, a menor determinação negativa é = π, então ( π,. π π π π ( π π (π = π π = DP DS = ( ( 8 = 8 = = 8 = 8 = Queremos determinar o ponto (, que dista unidades da origem. Então: d(, O = ( ( o o = ( ( = ( ( elevando os dois mebros ao quadrado = ² ² 8 ² 8 = ( 8 = = ou 8 = = 8 = 8 Somando as abscissas temos: 8 = 8. Primeiro vamos encontrar a equação reduzida da reta que passa pelos pontos (k, e (, k. Então: k k k k ( k² (k k = ( k ( k k² = ( k = ( k k² = ( k k k DP DS = 8 Matemática

9 GRITO Sabemos que m = tg, então: k k = k = k k k = k = 8 D k = 8 K = tg = P(, = m ( = ( = = Substituindo o valor de em uma das equações, temos: = = = 9 = Então, P(,. alculando a distância: d(p, O = ( ( P O P O d(p, O = ( ( d(p, O = d(p, O = 9 9 d(p, O = 8 fatorando 8 = ². d(p, O =. d(p, O = m = (, 9 9 = m ( = ( (. Verdadeiro. 8 = = multiplicando por = 8 = (, M T N s (, r: = s: = = = = = Igualando as equações, temos: = Multiplicando por : = = = 9 = 9 = (, r d T = d T = d T centro da circunferência circunscrita M, M, N, N(, m = = = Matemática 9

10 GRITO Seja r a reta que passa por N e é perpendicular à reta que passa por, : N = m r ( N = ( = = = (I m = = = Seja s a reta que passa por M e é perpendicular à reta que passa por, : M = ( M = multiplicar por : 9 = multiplicar por : 9 = 9 = 8 = dividir por : = (II Por sistema de I e II encontramos o ponto T: = = (. = 9= = = = Substituindo em I: = = multiplicar por = = = = Então, T,.. Falso. ( ( = = DP DS =. Falso. d(, = d(, = d(, = 9 d(, = d(, =. d(, = = ². d(, =.. d(, = 8. Verdadeiro. área = D DP DS = ( ( = = área = D = = = Notação: DP = diagonal principal DS = diagonal secundária Primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção entre as retas: I = e = =. = = 9 II = e = =. = = III = e = = =. = = = = = = Matemática

11 GRITO D Então, os pontos (, 9, (, e (,. alculando a área temos = D. 9 9 DP DS = ( 9 ( = 9 = 8 = 8 = 8 = (,, (, e P(, r: = com o ponto = = = s: = com o ponto = = = = Encontrando o ponto P: = = = = = =. = 9 = Então, os pontos. alculando a área temos = D.,, (, e P, / / / / / / DP DS = 8 = 8 = D 98 = 98. = 98 área = l = (, (, = 9 área = 9 L = ( ( = = = 8 98 = = DP DS = (,, (,, (, e D(, P, Primeiro temos que localizar a equação da reta que passa em cada pontos: Reta = m = ( m = ( ( ( m = = m( = m( = ( = Matemática

12 GRITO Reta = m = ( = ( ( ( = m não eiste DP DS = ( ( = = = Reta D = m = ( D m = ( ( D ( m = m = = m( = ( = = Reta D = ( ( = = = DP DS = Reta D = m = ( D ( m = ( D ( m = m = = m( = ( = Reta = m = ( ( m = ( ( m = m = = m( = ( = Note que o ponto P tem coordenadas =, logo o ponto pertence à reta. r: = t: = = (,, (, e (, Ponto (8, = = =. = = 8 Ponto (, = substituindo a reta t: = multiplicando por : = = = = =. = = gora calculando a distância entre os pontos: d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = ( ( d(, = 9 d(, = d(, = d(, = ( ( d(, = ( 8 ( d(, = ( 8 d(, = d(, = 8 d(, = ( ( d(, = ( 8 ( d(, = ( ( Matemática

13 GRITO d(, = 9 d(, = d(, = Sabemos que o perímetro é a soma dos lados, então: p = 8 = 8. Primeiro vamos encontrar o ponto de intersecção entre as retas: I = e = (, = = = = = = = = II = e = (, = = = = = = III = e = (, = = = =. = = = = = IV = e = D(, = = = = = = alcular como área do triângulo D: DP DS = ( ( = = = = D = = = alcular como área do triângulo D: DP DS = ( ( = 8 8 = = D = = = 8 Então, a área do quadrilátero é: TOTL = = 8 = 8 Primeiro precisamos calcular a coordenada de cada ponto. I Do gráfico temos (,. II = e = (, = = = =. = = III = e = (, = = = IV = e = D(, = = = 8 = 8 = V = e = E, = = = Dividindo a figura em três triângulos (E, E e DE a área será a soma da área dos triângulos. I = área do triângulo E: / / DP DS = ( = = D = D. =. = Matemática

14 GRITO II = área do triângulo E / / DP DS = = = D = = III = área do triângulo DE / / DP DS = = = D = = alculando a área total temos: T = T = T = T = 8 T = 9 T = Um heágono regular pode ser dividido em triângulos equiláteros como a figura acima. Dessa forma, cada triângulo tem lado igual a. O segmento E é o dobro da altura. ² = h² 9 = 9 h² h² = 9 9 h² = h = h = ssim, o segmento E =, então (,, E(, e (,. DP DS = ( ( 9 = 9 = = 9 = 9 = 8 E D a, b, c em progressão geometrica, então: b a = c b e a, b e c. F h /. Falso. Note que todas as retas que pertencem à S têm como equação reduzida = a b c b e retas paralelas, m r = = a b.. Verdadeiro. =, com a, b e c, não é possível que S tenha retas da forma =.. Verdadeiro. omo a, b e c, não é possível que S tenha retas da forma =. Matemática

15 GRITO 8. Falso. =, note que o coeficiente angular dessa reta é e as retas de S têm coeficiente angular da forma a, com a e b distintos. Logo essa reta nunca será paralela às retas em S. b. Verdadeiro. Seja m r o coeficiente angular da reta r: a b = c e o coeficiente angular da reta s: a b = c, tal que r e s pertencem à S, então r s, se b = a e a = b. 9 D s: = r: = = = = = Divide numeradores e denominadores por. = Note que = m r. s: = r: a = = a = = Se s r, então: = m r = a =. a = a a =. a = = a mr = a a D D Primeiro vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e (reta s: DP DS = ( 8 ( = = s: = então = reta que passa pela origem e é parlela à s tem coeficiente angular igual a, então: = m( = ( = Primeiro vamos encontrar a equação da reta que passa por e : DP DS = ( ( 8 = 8 = = 8 = 8 = m = gora encontramos a reta que passa por e D: t t DP DS = ( t ( t = ( t t = = ( t t = ( t t m D = ( t Sabemos que // D, então m = m D. = t multiplicar por : = t = t = t Matemática

16 GRITO Seja s a reta que passa por (, e (,, então seu coeficiente angular é: = = ( = Se r s, então: m r = = q p = q p p = multiplicar por q = r D p q = s Note que se os pontos são simétricos em relação à reta r, podemos afirmar que r s, então: m r = m r = m r = D s: = = = Seja a reta r paralela à s que passa por P(,, então: P = ( P = ( = = = r: q = q = = m r = q q q s: p = = p = p = p Seja s a reta que passa por (, e (,, então seu coeficiente angular é: = = = E Seja r a reta parlela à s, que passa pela origem, então m r = = e sua equação é: = m r ( = ( = r s m r = s passa por (, e (,, então seu coeficiente angular é: = =. Sabemos que m r =, então: m r = m r =. ( m r =. Então, a equação da reta r que passa por (, e tem m r = é: Matemática

17 GRITO 8 = m( = ( = = =. s alculando a área do triângulo formado por O(,, (, e, temos: / DP DS = / ( = Área = D Área =. Seja s a reta que passa pela origem e pelo ponto (,, então seu coeficiente angular é: = m = s Seja r s, então: m r = m r = Então, a equação da reta r é: = m r ( = ( multiplicar por : = ( = = r : = Sejam, r, então: Para (, então:. = = Para (,, então: = = r Área =. Área = 9. Falso. m = m( =, se m =, então ( = = Sabendo que O é o eio das ordenadas é, possível afirmar que essa reta não será coincidente ao eio O.. Verdadeiro. Se m =, então: ( = = = om isso podemos afirmar que essa reta é perpendicular ao eio O.. Falso. Sabemos que se r s, então m r. =. Pela regra de sinal: (. ( = (. ( = ( (. ( = ( 8. Vedadeiro. Lembrando que um ângulo agudo é: < α < 9, logo α º quadrante e tangente no primeiro quadrante é positivo.. Verdadeiro. Sabemos que se m r =, então r = s. Matemática

18 GRITO (,, (, e (, e r: =. Verdadeiro. M, M, M, M,. Falso. d(, O = ( ( O O d(, O = ( ( d(, O = d(, O = d(, O =. Verdadeiro. DP DS = ( ( = = dividir por = 8. Verdadeiro. r: = = m r = s: = = = = = Se r s, então m r = m r = m r =.. Falso. Substituindo o ponto em r temos: = = = = 9 Seja s a reta que passa pelos pontos (, e (, e r a reta que passa pelos pontos (, e D(,. Então:. Verdadeiro. DP DS = ( ( = multiplicar por s: =. Falso. D s: = m r = D = m r = = m = r m = r = ms =. Falso. D = m r ( D = ( = = :r r = s = multiplicar por : = = = = 8. Verdadeiro. r: = O(, d(r, O = d(r, O =.. d(r, O = d(r, O =.. d(r, O = Note que, então não pertence à reta r. 8 Matemática

19 GRITO. Falso. Seja P o ponto em que r e s se interceptam. Da alternativa sabemos que P =, substituindo esse valor em r temos: = = multiplicar por P P = 9 P = P = 9 P = 9 P 9, alculando a área do triângulo P temos: / 9/ / 9/ Note que o ponto P é o ponto de intersecção entre as retas r e s, então: I = multiplicar por : = = = = = II = = = DP DS = 8 9 = 8 9 = = D =. = Seja r a reta que passa pelos pontos Q(, e O(,, então: DP DS = ( ( = = = = Então, m r =. Seja s a reta que passa por (, e é perpendicular à r, ou seja, = m r =. = ( = ( = = = Matemática 9