Geometria Analítica I - MAT Lista 1 Profa. Lhaylla Crissaff

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1 1. Entre os pontos A = (4, 0), B = ( 3, 1), C = (0, 7), D = ( 1 2, 0), E = (0, 3) e F = (0, 0), (a) quais estão sobre o eixo OX? (b) quais estão sobre o eixo OY? 2. Descubra qual quadrante está localizado o ponto P em cada caso dado abaixo: (a) P = ( 7, 2) (b) P = ( 2, 5) (c) P = ( 1 2, 2 3 ) (d) P = ( 2, 5 2) (e) P = Ä 3 3, 1+ ä Se xy < 0 em quais quadrantes pode estar situado o ponto P = (x, y)? 4. Um dos vértices do quadrado OABC é a origem e o outro é o ponto A = (2, 3). Quais são as coordenadas dos pontos B e C (Sempre que mencionarmos um polígono, letras adjacentes indicarão vértices adjacentes). 5. Em cada caso, calcule x e y de modo que seja verdadeira a igualdade: (a) (x, y) = (3, 0) (b) (x, 1) = ( 2, y) (c) (2x, y + 3) = (, ) (d) (x + y, x y) = (5, 1) 6. Sejam A = (a, 0) e B = (0, a), com a 0. Ache x de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC. 7. Dados v = (3, 2) e u = (7, 5), calcule e represente graficamente os vetores: (a) v + u (b) 5 v (c) 2 u (d) 2 v + 3 u 8. Dados v = ( 3, 1) e u = (4, 0), calcule e represente graficamente os vetores: (a) 5 v + 4 u (b) 7 u 3 v (c) 3(2 v ) u (d) 5(3 u 2 v ) 9. Sejam A = (1, 3) e B = ( 2, 0). Determine os pontos que dividem o segmento AB em 5 segmentos de igual comprimento.. Dados v = ( 1, 4), u = ( 3, 2) e w = (0, 5), calcule e represente graficamente os vetores: (a) v + u + w (b) 3 v 2 u + w (c) 4( v + 2 u ) 3( w u ) 11. Dados v = (3, 7), u = ( 1, 2) e w = (11, 4), determine os números x e y que tornam verdadeira a igualdade x v + y u = w, ou seja, escreva w como combinação linear de v e u. 12. Escreva (4, 7) como combinação linear de (1, 0) e (0, 1). 13. Verifique que os vetores u e v não são múltiplos e escreva o vetor w como combinação linear de u e v. Coordenadas no plano e Vetores 1

2 (a) u = (1, 1), v = (1, 2) e w = (5, 6); (b) u = (2, 0), v = (2, 2) e w = (0, 1); (c) u = ( 2, 1), v = (1, 2) e w = (2, 2); (d) u = ( 1, 1), v = (1, 1) e w = (0, 2). 14. Calcule x e y na equação x(1, 2) + y( 2, 0) = 2(x, y) 3(y, x). 15. Determine as coordenadas do vetor AB nos casos: (a) A = (2, 1) e B = (4, 6) (b) A = (7, 5) e B = (1, 2) (c) A = ( 2, 0) e B = (3, 1) (d) A = (1, 0) e B = (0, 3) 16. Dados A = ( 2, 3), B = (2, 0), C = (0, 5) e D = ( 4, 2), verifique que os vetores AB e DC são iguais. Os pontos A, B, C e D são os vértices de que quadrilátero? 17. Dados A = (2, 1), B = (5, 1) e C = ( 4, 0), calcule o vetor soma dos vetores AB e AC. 18. Se v = AB, A = (3, 2) e v = (5, 8), então qual é o ponto B? 19. Calcule o ponto médio do segmento de extremidades A = (3, 7) e B = (11, 1). 20. Calcule os pontos médios dos lados do triângulo de vértices A = ( 11, 1), B = ( 1, 7) e C = (5, 9). 21. Calcule as coordenadas do vetor v da figura 1. (a) 17a (b) 17b (c) 17c (d) 17d (e) 17e (f) 17f Figura 1: Questão Dados u = (4, 9), v = (2, 1) e w = (5, ), calcule: (a) < u, v > Coordenadas no plano e Vetores 2

3 (b) < v, w > (c) < v, v > (d) < u, v + w > 23. Prove que < u, v + w >=< u, v > + < u, w >. 24. Dados u = (6, 2), v = ( 3, 4) e w = (1, 5), calcule: (a) < u, v + w > (b) < u v, w > (c) < u + v, u v > (d) < 4 u, v > (e) 4 < u, v > 25. Calcular a norma dos seguintes vetores: (a) u = (4, 3) (b) v = ( 2, 1) (c) w = ( 5, 0) 26. Dados u = (1, 1), v = ( 3, 4) e w = ( 2, 0), calcule: (a) u (b) v (c) u + v (d) v w (e) 5 w 27. A igualdade u + v = u + v é verdadeira para todo u, v R 2? 28. Entre os vetores abaixo, quais são unitários? (a) ( 1 2, 1 2 ) (b) ( 3 5, 4 5 ) (c) ( 1, 0) (d) ( 3 2, 1 2 ) 29. Dado u = (a, 2), calcule os valores de a para que se tenha u = Dado u = (a + 1, 2) e v = ( 3, a), calcule o valor de a para que se tenha < u, v >= Dados u = ( 12, 5) e v = (9, 12), determine os vetores: (a) u u + v v (b) < u, v > v + < v, u > u (c) Ä < u, ä v > v < v, v > 32. Dado o vetor v = (4, 6), quais vetores abaixo são paralelos à v? (a) (8, 12) (b) (12, 18) (c) ( 4, 6) (d) ( 20, 30) (e) ( 1 2, 3 4 ) Coordenadas no plano e Vetores 3

4 (f) (0, 0) 33. Verificar se u e v são ortogonais nos casos: (a) u = (3, 2) e v = ( 4, 6) (b) u = ( 1, 3) e v = (3, 1) (c) u = (5, 4) e v = ( 2, 3) 34. Dados u = (2, 5) e v = (5, 2), verifique se os vetores u + v e u v são ortogonais. 35. Para que valores de m os vetores u = (1, m) e v = ( 2, 2) são ortogonais? 36. Para que valores de m os vetores u = (2, 5) e v = (8, m) são paralelos? 37. Obtenha y de modo que os pontos A = (3, y), B = (0, 4) e C = (4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo em A. 38. Calcule y para que o quadrilátero de vértices A = (0, 0), B = (5, 1), C = (7, 3) e D = (3, y) possua as diagonais AC e BD perpendiculares. 39. Determine o ângulo entre u e v nos casos: (a) u = (1, 2) e v = ( 1, 3) (b) u = (3, 0) e v = (1, 3) (c) u = (0, 2) e v = ( 1, 1) 40. Dados u = (4, 3) e v = (2, 1), determine o ângulo entre os vetores u + v e u v. 41. Dado o triângulo de vértices A = (0, 2), B = ( 3, 5) e C = (0, 6), calcule a medida do ângulo interno A. 42. Dados A = (1, 0), B = (4, 1) e C = (4, y), calcule y de modo que BÂC = 60o. 43. Sejam u = (2, 4) e v = ( 3, 5). Determine: (a) o produto interno de u por v. (b) o ângulo entre u e v. 44. Encontre um vetor de norma 5 perpendicular ao vetor (2, 1). 45. Seja u = (3, 1). Determine as coordenadas de um vetor v, de norma 2, e que faz com u um ângulo de 30 o. 46. Escreva o vetor (7, 1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro perpendicular ao vetor (1, 1). 47. Dados os vetores u e v, com u 0, verifique que o vetor w = v < v, u > < u, u é perpendicular a u. u > 48. O círculo C de centro A e raio r > 0 divide o plano em três subconjuntos disjuntos, são estes: o conjunto dos pontos do próprio círculo C: P C d(a, P ) = r; o conjunto I dos pontos interiores a C: P I d(a, P ) < r; o conjunto E dos pontos exteriores a C, P E d(a, P ) > r. (a) Determine se os pontos P = (1, 1), Q = ( 3, 2), R = ( 2, 2), S = (4, 2) pertencem ao círculo C : x 2 + y 2 4x + 2y = 8, ao seu interior ou ao seu exterior. (b) Determine se o círculo C 1 : x 2 x + y 2 1 = 0 intersecta o círculo C. Caso negativo, decida se C 1 está contido no interior ou no exterior de C. 49. Determine o centro e o raio dos círculos cujas equações são: C 1 : x 2 + y 2 = 2x + 4y e C 2 : x 2 + y 2 = 4y 8x. Verifique que os círculos se intersectam e determine as coordenadas dos pontos de interseção. Coordenadas no plano e Vetores 4

5 50. Sejam A = (1, 1) e B = (4, 1) vértices do paralelogramo P = ABDC. Sabendo que as diagonais de P se cortam no ponto M = (3, 2), determine os vértices C e D. 51. Dados os pontos A = (1, 1), B = (3, 4) e C = (4, 2), determine os possíveis pontos D tais que A, B, C e D sejam os vértices de um paralelogramo. 52. Se P Q = (2, 1), determine a equação que satisfazem as coordenadas do ponto Q = (x, y), sabendo que P pertence ao círculo de centro na origem e raio 1. Respostas: 1. (a) A, D, F (b) C, E, F 2. (a) 2 o (b) 4 o (c) 3 o (d) 2 o (e) 1 o 3. 2 o ou 4 o 4. B = (5, 1) e C = (3, 2) ou B = ( 1, 5) e C = ( 3, 2) 5. (a) x = 3, y = 0 (b) x = 2, y = 1 (c) x = 5, y = 7 (d) x = 3, y = 2 6. x = a±a (a) (, 7) (b) (15, ) (c) ( 14, ) (d) (27, 19) 8. (a) (1, 5) 9. (b) (37, 3) (c) ( 22, 6) (d) (90, ). (a) ( 4, 7) (b) (3, 21) (c) ( 37, 21) 11. x = 2 e y = (4, 7) = 4(1, 0) + 7(0, 1) x = y = (a) (2, 5) (b) ( 6, 3) (c) (5, 1) (d) ( 1, 3) 16. paralelogramo 17. ( 3, 3) 18. B = (8, ) 19. (7, 3) 20. ( 6, 4), (2, 1) e ( 3, 4) 21. (a) (4, 3) (b) ( 4, 2) (c) (5, 1) (d) (4, 2) (e) ( 4, 3) (f) ( 4, 2) 22. (a) 1 (b) 0 (c) 5 (d) Demonstração 24. (a) 30 (b) 21 (c) 15 (d) 4 (e) (a) 5 (b) 5 (c) (a) 2 (b) 5 (c) 13 (d) 17 Coordenadas no plano e Vetores 5

6 27. Não (e) 28. b, c, d 29. 5, (a) ( 21 65, ) (b) (144, 816) 32. Todos (c) ( 48 25, ) 33. (a) Sim 34. Sim (b) Sim (c) Não 37. y = 7 ou y = (a) 45 o (b) 60 o o o (c) 135 o ou (a) (b) arccos (1, 2) ou 5(1, 2) 45. ( 3 30+, 30 3 ) ou ( 3 30, 30+3 ) 46. (7, 1) = (3, 3) + (4, 4) 47. Fazer as contas 48. (a) Interior: P, S e exterior: Q, R (b) Os círculos não se intersectam. E, o círculo C 1 está no interior de C 49. (0, 0) e (0, 4) são os pontos de interseção. 50. C = (2, 3) e D = (5, 5) 51. Se ADBC, então D = (0, 3). Se ABDC, então D = (6, 5). Se ABCD, então D = (2, 1) 52. (x 2) 2 + (y 1) 2 = 1 Coordenadas no plano e Vetores 6