Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

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1 Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência

2 Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é o ponto O. chamado de origem do sistema. Há uma relação entre os pontos de um plano e o conjunto de pares ordenados, isto é, a cada ponto corresponde um único par ordenado(x, y). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Sistema cartesiano ortogonal Exemplo: B A D C UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Sistema cartesiano ortogonal Os pares ordenados são: (3, 2) está associado o ponto A; (-1, -4) está associado o ponto B; (-2, -3) está associado o ponto C; (2, -1) está associado o ponto D. Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou a abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Sistema cartesiano ortogonal Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante. y 2º quadrante (-, +) 3º quadrante (-, -) 1º quadrante (+, +) x 4º quadrante (+, -) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Distância entre dois pontos Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(a, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Exemplo: Como em ambos os pontos, o valor da ordenada é o mesmo (y = 1) a distância será a diferença entre as ordenadas. d(a, B) = 3 1 = 2 A(1, 1) B(3, 1) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Distância entre dois pontos Exemplo: C(1, 3) Nesse caso, como nem a ordenada e nem a abscissa dos pontos são iguais, usamos a relação de Pitágoras para obter a distância entre os pontos. [d(c, D)] 2 = d(c, D) = D(4, 1) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Distância entre dois pontos Temos uma fórmula que representa a distância entre dois pontos independente da localização deles. Para dois pontos quaisquer, A e B, tal que A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), teremos: d(a, B) = x 2 x y 2 y 1 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Ponto médio de um segmento Dado um segmento de reta AB tal que A e B são distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB. Considere: Um segmente com extremidades A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ); O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB. y 2 y y 1 A M x 1 x x 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9 B

10 Ponto médio de um segmento Podemos concluir que, dado um segmento de extremidades A e B: A abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades: x = x 2 + x 1 2 A ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades: y = y 2 + y 1 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Ponto médio de um segmento Assim, o ponto médio M do segmento AB, pode ser obtido independente da localização das extremidades usando as fórmulas anteriores: M = x 2 + x 1 2, y 2 + y 1 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Coeficiente angular de uma reta Consideremos uma reta r de inclinação em relação ao eixo x. O coeficiente angular ou a declividade dessa reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação, ou seja: m = tg( ) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Coeficiente angular de uma reta Vamos observar casos, considerando: 0º 180º 1º - y r x Para = 0, temos m = tg = tg 0 = 0, nesse caso temos uma reta horizontal. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Coeficiente angular de uma reta 2º - y r x Para 0 < < 90, temos tg > 0 m > 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Coeficiente angular de uma reta 3º - y r x Para 90 < < 180, temos tg < 0 m < 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Coeficiente angular de uma reta 4º - y r x Para = 90, a tg não é definida, nesse caso é uma reta vertical, ela não tem declividade UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Coeficiente angular de uma reta Agora vamos ver como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus pontos. No triângulo ABC, temos: d(c, B) tg = d(a, y C) x y 2 y 1 x 2 x 1 Então: m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 y A x B C x 1 x 2 r y x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Equação da reta Vimos antes que dois pontos distintos determinam uma reta, ou seja, existe uma única reta que passa pelos dois pontos. Da mesma forma, um ponto P(x 0, y 0 ) e a declividade m determinam uma reta r. Considerando ponto P(x, y) dessa reta, veremos que se pode chegar a uma equação, de incógnitas x e y. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Equação da reta Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tg = m, temos: tg = d(c, P) d(p 0, C) m = y y 0 x x 0 y y P r y 0 P 0 C y y 0 = m(x x 0 ) x 0 x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Vamos praticar... Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem coeficiente angular m = 1 2. Escreva a equação da reta. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Vamos praticar... Tendo o ponto e o coeficiente angular, usaremos esses valores no modelo da equação. y y 0 = m(x x 0 ) y (-5) = 1 [x (-1)] 2 y + 5 = x x 2 - y = 0 x 2y = 0 x 2y 9 = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Vamos praticar... Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um retângulo. Nessas condições, escreva a equação da reta-suporte da diagonal AC. C y B(8, 4) O A x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Vamos praticar... Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e C são: A(8, 0) C(0, 4) Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente angular. m = y 2 y 1 m = 4 0 x 2 x m = - 4 m = Agora vamos usar um dos pontos junto com o coeficiente para encontrar a equação. y 4 = (x - 0) y 4 = - x 2 x 2 + y - 4 = 0 x + 2y 8 = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Vamos praticar... (Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x 5y 2 = 0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de intersecção de r em s. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

25 Vamos praticar... O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmo tempo ambas as equações. Assim, devemos resolver o sistema: x + 3y + 4 = 0 2x 5y 2 = 0 Isolamos x na primeira equação: x = -3y 4 Agora aplicamos o x na segunda equação: 2(-3y - 4) 5y 2 = 0-6y 8 5y 2 = 0-11y 10 = 0 y = UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

26 Vamos praticar... Aplicamos o valor de y na primeira equação para encontrar a coordenada x: x = x = x = x = Assim, o ponto de intersecção das retas r e s é 14, UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

27 Duas retas no plano Duas retas r e s, contidas no mesmo plano são paralelas ou concorrentes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27

28 Retas Paralelas Sendo 1 a inclinação da reta r e 2 a inclinação da reta s, temos: m 1 = m 2 tg 1 = tg 2 1 = 2 Se as inclinações são iguais, as retas são paralelas (r // s). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28

29 Retas Paralelas Veja as imagens a seguir, que mostram duas retas distintas e não-verticais, que são paralelas: y Observamos que: 2 = 1 tg 2 = tg 1 m 2 = m 1 r // s r s 2 1 x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29

30 Retas Paralelas y r s Observamos que: 2 = 1 tg 2 = tg 1 m 2 = m 1 r // s 2 1 x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Retas Paralelas Podemos concluir que, dadas duas retas distintas e não-verticais r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais (m 1 = m 2 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31

32 Retas Concorrentes Duas retas do mesmo plano com coeficientes angulares diferentes não são paralelas, logo, são concorrentes. s y r Observamos que: 2 1 tg 2 tg 1 m 2 m 1 r e s: são concorrentes 2 1 x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 32

33 Retas Concorrentes Portanto, duas retas distintas e não-verticais r e s são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes (m 1 m 2 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Intersecção de duas retas A figura mostra duas retas, r e s, do mesmo plano, que se intersectam no ponto P(a, b). y s r P(a, b) x Como P pertence às duas retas, suas coordenadas devem satisfazer simultaneamente às equações dessas duas retas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Intersecção de duas retas Logo, para determiná-las, basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas. Observação: Pela resolução de sistemas verificar a posição relativa de duas retas. Assim temos: Sistema possível e determinado um único ponto comum: retas concorrentes; Sistema possível e indeterminado infinitos pontos comuns: retas coincidentes; Sistema impossível nenhum ponto comum: retas paralelas distintas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Intersecção de duas retas Vamos determinar as coordenadas do ponto P de intersecção das retas r e s, de equações 3x + 2y 7 = 0 e x 2y 9 = 0, respectivamente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36

37 Intersecção de duas retas Nosso problema consiste em resolver o sistema formado pelas equações das duas retas: 3x + 2y 7 = 0 x 2y 9 = 0 4x 16 = 0 4x = 16 x = 4 Encontramos a coordenada x do ponto de intersecção, agora substituímos seu valor na segunda equação: 4 2y 9 = 0-2y = 5 y = Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são: P 4, 5 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37

38 Perpendicularidade de duas retas A figura mostra a reta r, de inclinação 1 e a reta s, de inclinação 2, tal que r e s são perpendiculares. y s P r A 2 1 x B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38

39 Perpendicularidade de duas retas Dadas as retas r e s, de coeficientes angulares m 1 e m 2, temos: r s m 2 m 1 = -1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39

40 Vamos praticar... (FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e a reta t é paralela à reta s. Determine a equação da reta s e a equação da reta t. y P(0, 3) t s Q(4, 0) x O M(1, 0) r UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40

41 Vamos praticar... Vamos determinar coeficiente angular da reta r, usando os dois pontos: m r = 0 3 m 4 0 r = 3 4 Como a reta r é perpendicular a reta s, temos: m r m s = m 4 s = -1 m s = 4 3 Agora podemos obter a equação da reta s: y 0 = 4 (x - 4) y = 4x x - y - 16 = x 3y 16 = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41

42 Vamos praticar... Como a reta t e paralela a reta s, os coeficientes angulares são iguais, ou seja, m t = 4. Com isso, já podemos determinar a 3 equação da reta t. y 0 = 4 4x (x - 1) y = - 4 4x - y - 4 = x 3y 4 = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42

43 Circunferência Vamos estudar sobre a circunferência, assim vamos associar cada circunferência a uma equação, e a partir daí, estudar suas propriedades geométricas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43

44 Circunferência Uma circunferência com centro O(a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos no plano equidistantes de O, ou seja: d(o, P) = x a 2 + y b 2 = r y P(x, y) b O(a, b) a x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44

45 Circunferência Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, teremos a equação normal da circunferência: (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45

46 Problemas de tangência Para resolver problemas envolvendo retas tangentes á circunferência devemos lembrar de dois detalhes: Quando a reta é tangente à circunferência, a distanciado centro da circunferência à reta tangente é o raio. A reta tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 46

47 Problemas de tangência O ponto P(5, 2) pertence a circunferência de equação x 2 + y 2 + 2x 6y 27 = 0. Vamos determinar a equação da reta t tangente a essa circunferência em P. C P(5, 2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 47

48 Problemas de tangência Se uma reta t tangencia uma circunferência de centro C e raio r em P, então t é perpendicular à reta-suporte de CP. Vamos encontrar o centro e raio da circunferência. x 2 + y 2 + 2x 6y 27 = 0 x 2 + 2x + y 2 6y = 27 x 2 + 2x y 2 6y + 9 = (x + 1) 2 + (y 3) 2 = 37 Então, C(-1, 3) e r = 37 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 48

49 Problemas de tangência Agora, vamos determinar o coeficiente angular m 1 da reta-suporte que passa pelo pontos C(- 1, 3) e P(5, 2): m 1 = = Vamos determinar o coeficiente angular m 2 da reta tangente perpendicular à reta-suporte. m 2 m 1 = -1 m = -1 m 2 = = 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 49

50 Problemas de tangência Agora podemos calcular a equação da reta t que passa pelo ponto P(5, 2) e tem coeficiente angular 6: y 2 = 6(x 5) y 2 = 6x 30 6x y 28 = 0 A equação pedida é 6x y 28 = 0. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 50