Lista 2 de Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

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1 Lista 2 de Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 9 de abril de Dados os pontos R = (1, 2) e S = ( 2, 2) (a) Encontrar as coordenadas do vetor que tem origem no ponto R e o extremos no ponto S. (b) Encontrar o ponto medio do segmento RS. (c) Achar o comprimento do segmento RS. (d) Encontrar o ângulo que formam os vetores u = (2, 8) com RS. (e) Encontrar o ponto P tal que u = RP. (f) Encontrar o ponto Q tal que RQ = u + RS. (g) Encontrar a área do paralelogramo com vértices RSQP. 2. Sejam os vetores u = (2, 3) e v = ( 1, 2). Obtenha as coordenadas 2 de: (a) 3 u + 2 v. (b) u v. (c) 1 ( u v) Encontrar o vetor unitário: (a) Na direção do vetor w = (8, 10). (b) Na direção do ponto A = (2, 5) ao ponto B = (4, 3). 4. Dado o vetor u = (4, 3) achar: 1

2 (a) Um vetor unitário perpendicular ao vetor u. (b) Um vetor paralelo a u com o mesmo sentido e de comprimento 2. (c) Um vetor unitário paralelo a u no sentido oposto. 5. Expressar o vetor u = (5, 2) como combinação linear dos vetores v = (1, 2) e w = ( 1 2, 2). 6. São os vetores u = ( 3, 2) e v = (1, 1) multiplos? 7. Dados os vetores u = (0, 1) e v = (1, 2). Expressar os vetores a = (3, 2) e b = ( 2, 1), como combinação linear de u e v. Os vetores u e v geram um plano? 8. Provar que os vetores a = (4, 3) e b = (5, 2) são linearmente independentes e escrever o vetor u = (1, 1) como combinação linear dos vetores a e b. 9. Provar que os vetores u = (1, 2) e v = (1, 3) são linearmente independientes. Escrever as coordenadas do vetor w = (6, 15) como combinação linear dos vetores u e v. 10. Dados a = (1, 2), b = ( 2, 4) e c = (7, 5). Demonstrar que c não pode se escrever na forma: h a + k b, onde h e k são números reais. 11. Dados os vetores u = ( 1, 4), v = (3, m) e w = (2, 3). (a) Encontrar os valores de m para que u e v sejam perpendiculares. (b) Achar o ângulo que formam u e w. 12. Considere os vetores u = (a, 3) e v = ( 1, b). Encontre os valores de a e b para que os vetores u e v sejam perpendiculares se u = Dados os vetores u = (5, 4), v = (3, 2) e w = (1, k). (a) Determinar o valor de k para que u e w formem um ângulo de π 2 e π. (b) Determinar um vetor unitario com a mesma direção e o mesmo sentido que u. (c) Determinar um vetor unitario com a mesma direção e sentido oposto que u. 2

3 (d) Determinar um vetor de módulo 3 e perpendicular ao vetor u. 14. Determinar o ângulo que formam os vetores a = ( 3 5, 4 5 ) e b = (1, 1). 15. Qual é o valor de x para que o vetor u = (1, x) seja perpendicular ao vetor a da questão anterior.? 16. Dados u = (5, 12) e v = (1, k), onde k um número real, encontre k tal que a medida do ângulo entre u e v seja π Dados os vetores u = (2, 4) e v = (3, 1). Calcular a norma do vetor u v. 18. Considere os pontos P (2, 4, 3) e Q(1, 5, 2) no espaço tridimensional. Encontre os vetores OP, OQ e P Q em termos dos vetores unitários e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1). 19. Se u = ( 2, 1, 4) e v = (3, 4, 5), obtenha w tal que u + w = v w e calcular 3 u 3 v + w. 20. Encontre um vetor v com v = 5 e que tenha a mesma direção que o vetor u = (2, 1, 1). 21. Determine um vetor com direção contraria à do vetor v = (2, 4, 1) e com ponto de extremidade Q(2, 0, 7). 22. Para que valores de a os vetores u 1 = (2, 1, 1), u 2 = (1, 2, 3) e u 3 = (3, a, 5) se encontram num mesmo plano? 23. Sejam os vetores u 1 = (2, 1, 1), u 2 = (1, 3, 2) e u 3 = ( 2, 1, 3). Mostre que osvetores u 1, u 2 e u 3 são lineramente independentes e escreva o vetor u 4 = (1, 3, 2) como combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u Encontre o valor de x para que os vetores u = (1, 1, 4) e v = (x 2, x, 3) sejam perpendiculares. 25. Encontre a projeção ortogonal de u sobre u v se: (a) u = (2, 1, 1), v = ( 1, 0, 1) (b) u = (1, 0, 1), v = (2, 1, 4) 3

4 26. Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares. 27. Determinar o ângulo formado pela diagonal de um cubo e a diagonal de uma de suas faces. 28. Sejam u = (3, 2, 6) e v = ( 2, 1, 0) (a) Calcule a projeção ortogonal de u sobre u + v. (b) Calcular o ângulo entre u e u v. 29. Sejam u = (1, 2, 3) e v = ( 3p, p 2, 3). Determinar o valor de p tal que os vetores u e v sejam perpendiculares. 30. Se k = u e l = v, demonstre que o vetor w = 1 (k v + l u) bisseca k+l o ângulo formado por u e v. Dizemos que w bisseca o ângulo entre u e v se o ângulo entre w e u é o mesmo que o ângulo entre w e v. 31. Demonstrar que: (a) a + b 2 = a 2 + b a, b (b) a b 2 = a 2 + b 2 2 a, b 32. Dados os vetores u e v tais que u = 2 e v = 3 e formam entre eles um ângulo de π 3, calcular. (a) u + v. (b) O ângulo que formam os vetores u com 2 v. (c) O ângulo que formam os vetores u com 2 v. 33. Sejam os vetores u e v tais que u = 9 e u + v, u v = 17. Calcular a norma de v. 34. Os vetores a e b são tais que a = 10, b = 10 3 e a + b = 20. Achar o ângulo que formam os vetores a e b. 35. Sabendo que a = 2 e b = 6 e que o ângulo que formam a e b é π 3. Calcular: a + b e a b. 36. Suponha que u e v não são colineraes. Prove que x u + y v = x u + y v implica que x = x e y = y. 4

5 37. Suponha que a u+b v+c w = a u+b v+c w, onde u, v e v são linearmente independentes. Provar que a=a, b=b e c=c. 38. Suponha que os pontos médios dos lados consecutivos de um quadrilátero estão conectados por linhas retas. Prove que o quadrilátero resultante é um paralelogramo. 39. Prove que se a + b + c = 0, então a b = b c = c a. Interprete o resultado geometricamente. 40. Se a, b e c no espaço são vetores linearmente independentes, qualquer outro vetor d no espaço pode se escrever da forma d = α a + β b + γ c. Provar que α = d b, c a b, c, β = d c, a a b, c γ = d a, b a b, c. 41. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor u = (x, y, z) formam com as direções positivas dos eixos coordenados. Porve que cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado e tem de comprimento a mitade de seu comprimento. Cristhabel Vasquez Departamento de Geometria Insitituto de Matematica Universidade Federal Fluminense- UFF Centro, Niterói, RJ , Brazil cristhabel@mat.uff.br 5