CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula.

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1 CM127 - Lista 3 Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo 3. Dizemos que um triângulo é acutângulo quando todos os seus ângulos são menores que um ângulo reto. Dizemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos for igual a um ângulo reto. Por fim, dizemos que um triângulo é obtusângulo quando um dos seus ângulos for maior que um ângulo reto. Determine em cada um dos itens abaixo se o triângulo é acutângulo, obtusângulo ou retângulo conhecendo apenas dois de seus ângulos. (a) ABC = 70 e BCA = 10 (b) ABC = 80 e BCA = 15 (c) ABC = 30 e BCA = 60 (d) ABC = 60 e BCA = Determine a medida x do ângulo do triângulo abaixo 1

2 5. No triângulo abaixo temos ABD CBD. Se AC = x + y, DC = 4x, AB = 5x e BC = 3x + 2. Determine os valores de x e y. 6. No triângulo abaixo BE é bissetriz de ABC. Se ACB = 30 encontre o valor de DBE. 7. Na figura abaixo ABC e BED são triângulos equiláteros que possuem lados de mesmo comprimento. Determine o valor de AEB. 8. No desenho abaixo temos ABD CDB. Determine os valores de α e β 2

3 9. Na figura abaixo temos ODC = OBE e OEB = DCO. Se DC = EB, DOB = 60 e OB = 5cm, determine o comprimento do segmento BD. 10. Na figura abaixo, GC e BE são as bissetrizes dos ângulos ACB e ABC, respectivamente. Se BAC = 60 e ABC = 80, determine (a) A medida de ACB (b) A medida dos ângulos DCB e DBC (c) A medida de BDC. 11. Na figura abaixo temos AE = BE = CE = CD. Sendo α e β as medidas dos ângulos na figura, determine a razão α β 3

4 12. Na figura abaixo os triângulos EF C e HID são equiláteros. Qual é o valor de x? 13. No triângulo ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que BD = BA e CE = CA. Dado que DAE = 40, determine a medida do ângulo BAC. 14. Na figura abaixo, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD = 30. Determine a medida do ângulo x. 15. Na figura abaixo, o ângulo ADC mede 48 e os triângulos ACD, DBE e EAF são isósceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Determine a medida do ângulo DEF. 4

5 16. Os pontos M e N são escolhidos na hipotenusa AB do triângulo retângulo ABC de modo que BC = BM e AC = AN. Prove que o ângulo MCN mede Se a soma das medidas em graus dos ângulos A, B, C, D, E e F da figura abaixo é 90.n, qual o valor de n? 18. A altura CH e a mediana BK são desenhadas em um triângulo acutângulo ABC. Sabemos que BK = CH e que KBC = HCB. Prove que o triângulo ABC é equilátero. 19. A mediana BM, a altura AH e a bissetriz CK de um triângulo ABC são desenhadas. Sabemos que AH intersecta BM em L, AH intersecta CK em N e BM intersecta CK em P. Os pontos L, N e P são distintos. Prove que o triângulo LNP não pode ser equilátero. 20. No triângulo ABC abaixo, BP é bissetriz do ângulo B, M é o ponto médio do lado AC e AP é perpendicular a BP. Se AB = 6, BC = 10, determine P M. 21. No triângulo ABC abaixo, BP é bissetriz do ângulo B e M é o ponto médio do lado AC. Se AB = 6 e BC = 10. Calcule P M. 5

6 22. Em um triângulo ABC com AB = AC e BAC = 30 marcamos um ponto Q no lado AB e um ponto P na mediana AD, de modo que P C = P Q e Q B. Ache P QC. 23. Na figura, os triângulos ABC e EGF são equiláteros. O perímetro do triângulo ABC é 132cm e AE = EC, BD = DC, EF = F C e DG = GE. Qual é o perímetro do polígono ABDGF? 24. Dois triângulos equiláteros de perímetro 36cm cada um são sobrepostos de modo que sua interseção forme um hexágono com pares de lados paralelos, conforme ilustrado no desenho. Qual é o perímetro desse hexágono? 25. Um trapézio ABCD de bases BC e AD com BC < AD é tal que 2.AB = CD e BAD + CDA = 120. Determine os ângulos do trapézio ABCD. 26. Encontre o valor dos ângulos de um losango se uma de suas diagonais é congruente à um de seus lados. 27. Demonstre que um paralelogramo é um losango se suas diagonais se cruzam em um ângulo reto. 6

7 28. Demonstre que os pontos de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um paralelogramo são vértices de um quadrado. 29. Demonstre que os pontos médios dos lados de um retângulo são vértices de um losango e que os pontos médios dos lados de um losango são vértices de um losango. 30. Demonstre que as três mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram em um ponto em comum. 31. Demonstre que as três alturas de um triângulo se encontram em um ponto em comum (Sugestão: Considere um outro triângulo cujos lados contém os vértices do triângulo original e são paralelos aos lados opostos). 32. Na figura abaixo ABCD é um quadrado e BCE é equilátero. Determine o valor de BDE. 33. Na figura abaixo ABCD é um quadrado e CDE é equilátero. Determine o valor de AED. 34. Prove que num trapézio isósceles a mediatriz de uma de suas bases é mediatriz da outra base, e reciprocamente. 35. Seja um quadrado ABCD e pontos X AB, Y BC, Z CD, W DA tais que AX BY CZ DW. Prove que XY ZW é um quadrado. 36. Dado um paralelogramo ABCD, considere os triângulos equiláteros ABF e ADE construídos exteriormente ao paralelogramo. Prove que F CE também é triângulo equilátero. 7

8 37. Seja ABCD um trapézio de bases AB = 7cm e CD = 3cm e lados não paralelos AD e BC. Se A = 43 e B = 47, calcule a distância entre os pontos médios dos bases do trapézio. 38. São dados no plano um paralelogramo ABCD, de diagonais AC e BD, e uma reta r que não intersecta ABCD. Sabendo que as distâncias dos pontos A, B e C à reta r são respectivamente iguais a 2, 3 e 6 centímetros, calcule a distância de D à reta r. 39. As bases AB e CD de um trapézio têm comprimento a e b, respectivamente, com a > b. Se os lados não paralelos são AD e BC e BCD = 2 DAB, mostre que BC = a b. 40. Seja ABCD um trapézio no qual o comprimento da base maior AB é igual ao comprimento da base menor CD somado ao comprimento do lado não paralelo BC. Se o ângulo A medir 70, calcule o ângulo C do trapézio. 41. Um triângulo ABC é retângulo em A e tal que BC = 2AB. Calcule a medida dos seus ângulos em graus. 42. Em um triângulo ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e H b e H c, respectivamente, os pés das alturas relativas à AC e AB. Prove que MH b H c é isósceles. 43. Sejam ABCD um quadrado de diagonais AC e BD, e E um ponto sobre o lado CD, tal que AE = AB + CE. Sendo F o ponto médio do lado CD, prove que EAB = 2 F AD. 8

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