Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart Exercício 3. Seja o triângulo retângulo em A, com AB = 6 e AC = 8, a medida da mediana BD, com D sobre o lado AC, é: 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Na figura, a medida do segmento CD, sendo AD =, BD = 6, BC = 7 e AC = 8, é: a) 13. b) 13. c) d) 13. e) Exercício. Determine o valor de x, que é a medida da ceviana no triângulo abaixo. a) 31. b) 3. c) 37. d) 1. e) 3. Exercício. Na figura, o triângulo ACD é equilátero e o triângulo CBD é isósceles de base BC = 1. A medida AC é: Exercício 5. Determine a medida da ceviana AD de um triângulo equilátero ABC, cuja medida do lado é 6 cm, sendo D um ponto do lado BC, tal que BD = cm. Exercício 6. Utilize a relação de Stewart para calcular a mediana de um triângulo equilátero cujo lado mede l. Exercícios de Fixação a) 3. b) 3 3. c) 3. d) 5 3. e) 6 3. Exercício 7. No triângulo ABC, sendo AB = 6, AC = 7 e BC = 8, determine a medida do segmento AD, cuja reta suporte é a bissetriz interna relativa ao ângulo BAC e o ponto D é pertencente ao lado BC. Exercício 8. No triângulo ABC, retângulo em A, traça-se o segmento BD, sendo D o ponto médio da mediana AM. Se AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 10 cm, determine a medida de BD. Exercício 9. Determine o valor de x na figura abaixo. 1

3 Exercício 10. Seja o triângulo ABC, no qual AB = AC = 6 cm, BC = cm, M AC tal que MC MA = 1. Determine BM. Exercício 11. No triângulo ABC, retângulo em A, com AC = 6, AB = 10 e BC = 8, D é ponto médio de AB e F é ponto médio de AD. Determine EF. Exercício 15. Utilize a relação de Stewart para mostrar que a mediana, relativa à hipotenusa, de um triângulo retângulo mede a metade da medida da hipotenusa. Exercício 16. No hexágono regular ABCDEF de lado l, marca-se o ponto médio G do lado BC. Determine a medida do segmento FG. Exercício 1. Seja um triângulo equilátero ABC de lado medindo 8 cm. Prolongando-se o lado AB até o ponto D, de forma que BD = 6 cm. Determine CD. Exercício 13. No quadrado ABCD, de medida do lado igual a 6 cm, marca-se o ponto E sobre a diagonal AC, tal que AE = CE. Determine BE. 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 1. Utilize o triângulo abaixo para mostrar a relação de Stewart. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino

4 Respostas e Soluções. 1. Aplicando relação de Stewart no triângulo ABC, temos: AC BD + BC AD = CD AB + AD BD AB Resposta B = CD = 10CD CD = 30 CD = 3.. Fazendo AC = AD = CD = BD = x > 0, temos, pela relação de Stewart: AC BD + BC AD = CD AB + AD BD AB x x + 1 x = x x + x x x x 3 + 1x = x 3 + x 3 3x 3 = 1x x = 8 x = 3.. (Extraído da Vídeo Aula) Aplicando a relação de Stewart, temos: = x = 16x x = 6 x = x =. 5. Aplicando a relação de Stewart, com AD = x, em centímetros, chegamos a: AB CD + AC BD = AD BC + CD BD BC = x = 6x + 8 6x = 168 x = 8 x = 7. Resposta C. 3. Pelo teorema de Pitágoras, BC = 10. Aplicando a relação de Stewart, com BD = x, temos: AB CD + BC AD = BD AC + AD CD AC Resposta B = x = 8x x = 16 x = 5 x = Seja m a medida da mediana, temos: l l + l l = m l + l l l l 3 = lm + l3 m = l l m = 3l m = l Fazendo BD = y e, consequentemente, CD = 8 y, temos, pelo teorema da bissetriz interna, 8 y = y 7 6, donde y = 8. Agora, aplicando a relação de Stewart, temos:

5 9. (Extraído da Vídeo Aula) Temos, pela relação de Stewart: AB CD + AC BD = AD BC + CD BD BC = x = 1.35x x = x = x = AB CD + AD BC = AC BD + BC CD BD 1 + x 3 = x = 60 x = 0 x = (Extraído da Vídeo Aula) Como MC MA = 1 e AC = 6 cm, então CM = cm e AM = cm. Aplicando agora a relação de Stewart, com BM = x, temos: AB CM + BC AM = BM AC + CM AM AC 6 + = x x = 88 x = 3 x = 33 cm Como a mediana, relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, mede a metade da medida da hipotenusa, então AM = 5. Além disso, AD = DM = 5, pois D é ponto médio de AM. Aplicando, agora, a relação de Stewart no triângulo ABM, com BD = x, temos: AB DM + BM AD = BD AM + AD DM AM = x = 0x x = 85 x = x =. 11. Como os triângulo BDE e BCA são semelhantes (caso AA), temos BD DE = BC AC, donde DE = 15. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ADE, chegamos a AE = 5. Vamos agora calcular EF, mediana do triângulo ADE, aplicando a relação de Stewart neste triângulo. AE FD + DE AF = EF AD + AF DF AD ( ) 5 5 ( ) = EF EF = EF = EF =

6 1. Aplicando a relação de Stewart, com CD = x, temos: CD AB + AC BD = BC AD + BD AB AD x = x = 18 x = 37cm. Igualando as equações, temos: cos α = a + c b ac cos α = a + x z ax a c + x c z c = a x + c x b x a (c x) + b x = z c + c x x c a y + b x = z c + cx(c x) a y + b x = z c + cxy. 15. Tomando o triângulo retângulo de catetos medindo b e c, hipotenusa medindo a e mediana relativa à hipotenusa medindo m, temos, aplicando a relação de Stewart: 13. Como a medida do lado do quadrado é 6 cm, então sua diagonal mede 6 cm e, consequentemente, AE = cm e CE = cm. Aplicando agora a relação de Stewart, no triângulo ABC, temos: BC AE + AB CE = BE AC + AE CE AC = BE BE = 10 BE = 5cm. b a + c a = m a + a a a a (b + c ) = am + a3 a a = am + a3 am = a3 a3 m = a m = a. 16. A diagonal CF mede o equivalente a duas alturas de um triângulo equilátero de lado l, ou seja, CF = l 3. O hexágono é regular e por isso é inscritível. Com isso, vamos aplicar o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero ABCF, sendo AC = BF = y: AC BF = AB CF + BC AF y y = l l 3 + l l y = l ( ) y = l Aplicando agora a relação de Stewart ao triângulo BCF, temos: 1. Fazendo BAC = α, temos, pela lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD: b = c + a a cos α z = x + a ax cos α Isolando cos α em ambas, obtemos: ( l ) ( ) l l + 1 l ( ) 6l 3 + l = FG l + l l l = FG l + l 3 ( ) FG = 5l + l ( FG = l ) FG = l

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