TEOREMA DE CEVA E MENELAUS. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo ABC, conforme a figura abaixo.

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1 TEOREMA DE CEVA E MENELAUS Definição 1. A ceviana de um triângulo é qualquer segmento de reta que une um dos vértices do triângulo a um ponto pertencente à reta suporte do lado oposto a este vértice. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo C, conforme a figura abaixo. São equivalentes: (1) AD, BE e CF concorrem em um único ponto; (2) sin D sin EBC sin F CA 1; (3) AF F B BD DC CE EA 1. Prova: Vamos mostrar que (1) implica (2), (2) implica (3) e (3) implica (1). (1) (2): Suponhamos que AD, BE e CF concorram em um único ponto P. Aplicando a Lei dos Senos no triângulo AP B, obtemos: sin BCF sin AP B sin D sin P AP BP Analogamente, aplicando a Lei dos Senos nos triângulos BCP e CAP, obtemos: Logo, (2) (3): sin BCF sin EBC BP CP sin D sin EBC sin F CA AP BP BP CP CP AP sin CAD e sin F CA CP AP Suponhamos que sin D sin EBC sin F CA 1. Então, aplicando a Lei dos Senos nos triângulos D e ACD, obtemos: sin ADB BD sin D e DC sin CAD CA sin ADC. Como ADC + ADB 180, temos que sin ADB sin ADC. Logo, CA Analogamente, temos que: sin D sin EBC sin F CA 1 sin ADB sin CAD sin ADC sin D sin CAD CA sin D AE sin E sin EBC e BF F A CA sin BCF BC sin F CA

2 Portanto, (3) (1): CA AE BF F A CA sin CAD sin E sin BCF BC sin D sin EBC sin F CA DC BD AE EC BF F A 1 Suponhamos que CA AE BF F A CA 1 e que os segmentos BE e CF concorrem no ponto P. BC Prolonguemos o segmento AP até o ponto D 1 pertencente ao segmento BC. Como AD 1, BE e CF concorrem em um único ponto, podemos afirmar que: D 1 C AE BD 1 EC BF F A 1 D 1C AE BD 1 EC BF F A DC BD AE EC BF F A D 1C DC BD 1 BD Mas, D BC e D 1 BC. Portanto, temos que D D 1 e, consequentemente, AD, BE e CF concorrem em um único ponto. Enquanto o Teorema de Ceva trata da concorrência de segmentos, o Teorema de Menelaus trata da colinearidade de pontos. Teorema 2 (Teorema de Menelaus). Dado um triângulo C, sejam F, G, H pontos pertencentes às retas BC, CA e, respectivamente, conforme as figuras abaixo. Então, F, G e H são colineares se, e somente se, HB BF F C CG GA 1 Prova: Aplicando a Lei dos Senos nos triângulos AGH, BF G e CF G, temos que: GA sin AGH sin GHA, BF sin BHF HB sin HF B e CG sin GF C F C sin CGF Como sin AGH sin CGF, sin BHF sin GHA e sin GF C sin HF B, podemos afirmar que: GA BF HB CG sin AGH sin BHF sin GF C F C sin GHA sin HF B sin CGF GA BF HB CG F C 1

3 Problema 1: (AFA) Na figura abaixo, o perímetro do triângulo equilátero C é 72 cm, M é ponto médio de e CE 16 cm. Então, a medida do segmento CN, em cm, é um sétimo de (A) 48 (B) 49 (C) 50 (D) 51 Problema 2: Em um triângulo C tomam-se os pontos M, N e P sobre os lados, AC e BC, respectivamente, de modo que 3 AM, AC 3 CN e BC 3 BP. Determine a razão entre a área do triângulo XY Z (determinado pelas interseções de AP, BN e CM) e a área do triângulo C. Problema 3: (IME) Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo, passando nos seus vértices, intersectam os lados opostos em três pontos colineares. Problema 4: (IME) Sobre os catetos e AC de um triângulo C, constróem-se dois quadrados DE e ACF G. Mostre que os segmentos CD, BF e a altura são concorrentes. Problema 5: Em um triângulo C, suponha que AD é altura. Suponha que perpendiculares, a partir de D, encontram os lados e AC em E e F, respectivamente. Suponha que G e H são pontos de e AC, respectivamente, tais que DG AC e DH. Supondo que EF e GH encontram-se em A : (a) Prove que A pertence a BC; (b) Definindo B e C de forma análoga, prove que A, B e C são colineares. Problema 6: Seja CD um trapézio com CD, e seja X um ponto no segmento. P CB AD, Y CD P X, R AY BD e T P R. Prove que 1 AT 1 AX + 1. Admitamos que Problema 7: (Cone Sul) Seja C uma circunferência de centro O, um diâmetro dela e R um ponto qualquer em C distinto de A e de. Seja P a interseção da perpendicular traçada por O a AR. Sobre a reta OP marca-se Q, de maneira que QP é a metade de P O, Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a que corta a reta AR em T. Chamamos H a interseção das retas AQ e OT. Prove que H, R e B são colineares.

4 Problema 8: Prove que os três pares de tangentes externas comuns a três círculos, tomadas duas a duas, cortam-se em três pontos colineares. Problema 9: Os lados, BC, CD e DA de um quadrilátero são cortados por uma reta nos pontos K, L, M e N, respectivamente. Prove que BL LC AK KB DN NA CM MD 1. Problema 10: No quadrilátero CD, as retas e CD se cortam em P, enquanto as retas AD e BC se cortam em Q. As diagonais AC e BD cortam P Q em X e Y, respectivamente. Prove que P X XQ P Y Y Q. Problema 11: Um círculo passando pelos vértices B e C de um triângulo C corta em P e AC em R. Se P R corta BC em Q, prove que QC RC AC QB P B. Problema 12: No triângulo retângulo C, P e Q estão sobre BC e AC, respectivamentem, tais que CP CQ 2. Pelo ponto de interseção R de AP e BQ, uma reta é desenhada passando também por C e cortando em S. O prolongamento de P Q corta em T. Se a hipotenusa 10 e AC 8, encontre T S. Problema 13: No triângulo C, os pontos L, M, N estão sobre BC, AC,, respectivamente, e AL, BM, CN são concorrentes. (a) Encontre o valor de P L AL + P M BM + P N CN. (b) Encontre o valor de AP AL + BP BM + CP CN. Problema 14: Três circunferências, de centros C 1, C 2 e C 3, são tangentes externamente duas a duas. Suponha que M é ponto de tangências entre as circunferências de centros C 1 e C 2, N é o ponto de tangências entre as circunferências de centros C 1 e C 3. Demonstre que C 1 P, C 2 N e C 3 M são concorrentes. Problema 15: Prove que uma reta desenhada passando pelo baricentro G de um triângulo C corta os lados e AC nos pontos M e N, respectivamente, de tal forma que AM NC + AN MB AM NA. Problema 16: Um círculo é tangente ao lado BC do triângulo C em M, seu ponto médio, e corta e AC nos pontos R, R e S, S, respectivamente. Se RS e R S são prolongados até cortar BC nos pontos P e P, respectivamente, prove que BP BP CP CP. Problema 17: Em um triângulo C, seja D um ponto sobre a reta BC e E um ponto sobre a reta CA, para os quais BD CE. Seja l a reta que é paralela a passando por D. Se M l BE e F CM, prove que (BA) 3 AE BF CD. Problema 18: Em um triângulo C, as cevianas AD, BE e CF concorrem em P. Mostre que S DEF P D 2 S C P A P E P B P F P C. Problema 19: Prove que as bissetrizes internas de dois ângulos de um triângulo não isósceles e a bissetriz externa do terceiro ângulo cortam os lados opostos em 3 pontos colineares. Problema 20: Prove que as bissetriz externas de um triângulo não isósceles cortam os lados opostos em três pontos colineares. Problema 21: No triângulo C, P, Q e R são os pontos médios dos lados, BC e CA. As retas AN, BL e CM são concorrentes cortando os lados em N, L e M, respectivamente. Se P L corta BC em J, MQ corta AC em I e RN corta em H, prove que H, I e J são colineares.

5 Problema 22: Na figura, B 2 C 1 A 1 A 2, B 3 C 2 A 2 A 3 e B 1 C 3 A 3 A 1. Prove que B 2 C 1, B 3 C 2 e B 1 C 3 são concorrentes se, e somente se, A 1C 3 C 3 B 3 A2C 1 C 1 B 1 A3C 2 C 2 B 2 1. Problema 23: Um triângulo C corta um círculo nos pontos D, D, E, E, F e F. Prove que se AD, BF e CE são concorrentes, então AD, BF e CE também são concorrentes. Problema 24: Sejam A, B e C três pontos situados nos lados BC, CA e de um triângulo, e A, B e C seus conjugados harmônicos em relação às extremidades dos lados correspondentes. Prove que se A, B e C estiverem em linha reta, então as retas AA, BB e CC serão concorrentes. Problema 25: Uma circunferência corta os lados BC, CA e de um triângulo C, nos pontos A e A, B e B, C e C, respectivamente. Mostre que se AA, BB e CC forem concorrentes, também serão AA, BB e CC. Problema 26: Sejam C um triângulo e A 1 B 1 C 1 o triângulo obtido traçando, pelos vértices do primeiro, paralelas aos lados opostos. Estando A, B e C situados, respectivamente, em BC, CA e, demonstre que se AA, BB e CC forem concorrentes, então A 1 A, B 1 B e C 1 C serão concorrentes. Problema 27: Sejam um triângulo C e um ponto P do seu plano. As perpendiculares a P A, P B e P C, traçadas de P, intersectam os lados BC, CA e em três pontos, A, B e C. Prove que estes pontos estão em linha reta. Problema 28: Em um triângulo C, 15, BC 13 e AC 12. Prove que, neste triângulo, a bissetriz interna do ângulo BAC, a mediana relativa a B e a altura relatuva a C são concorrentes. Problema 29: Em um quadrilátero ACGE, H é a interseção de AG e CE, as retas AE e CG encontram-se em I e as retas AC e EG encontram-se em D. Seja B a interseção das retas IH e AC. Prove que BC AD DC. Problema 30: Os pontos D, E e F são selecionados exteriormente a um triângulo C tal que C, EAC e F são todos isósceles. Sabe-se também que os lados congruentes intersectam-se em D, E e F e que D E F. Prove que as retas AD, BE e CF são concorrentes.

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