Duração: 90 minutos (3 valores) Sabe-se que a b. Atendendo à gura, calcule a medida do ângulo D indicado.

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1 aculdade de Ciências Departamento de Matemática e Informática Licenciatura em Informática, Diurno 1 0 Teste de undamentos de Geometria. Correcção. ariante Duração: 90 minutos ( valores) Sabe-se que a b. Atendendo à gura, calcule a medida do ângulo D indicado. Construímos a recta que contém o segmento EA e designemos por B o ponto de intersecção desta recta com recta a. Então, EB = A (ângulos alternos-internos), e, respectivamente, ÊB = 1 0. AE é externo do B E, logo, EA = ÊB + B E 50 0 = B E B E = 9 0. É claro que B E = Ĉ D = 9 0. Do CD obtemos Ĉ D + Ĉ + D = D = D =

2 . (4 valores) Indique se as proposições seguintes são verdadeiras ou falsas, colocando um ou um, respectivamente, no espaço destinado a tal na tabela. Justica os casos que tiver indicado como. No Proposição ou 1 Em qualquer triângulo o ponto de intersecção das medianas é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo Em qualquer polígono convexo com n lados a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 60 0 (n ). Em qualquer triângulo o ponto de intersecção das bissectrizes é equidistante dos lados do triângulo. 4 Se um ponto do plano for equidistante dos extremos dum segmento, então esse ponto pertence à mediatriz desse segmento. 5 O número de diagonais de qualquer polígono convexo com 1 lados é igual a Existe um triângulo cujos lados meçam cm, 6 cm e 7 Num triângulo isosceles a bissectriz do ângulo oposto à base é perpendicular à base. 8 Dois triângulos são congruentes se tiverem três ângulos congruentes, cada um a cada um. 9 Qualquer losango que tem pelo menos um ângulo recto é um quadrado. 10 Em qualquer trapézio existe pelo menos um lado tal que os ângulos internos adjacentes a este lado são suplementares. 1. O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes, o que, em geral, não coincide com ponto de intersecção das medianas.. Em qualquer polígono convexo com n lados a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 60 0, que, em geral, não é igual a 60 0 (n ).. É verdadeira, pelo Teorema 10 do Tema. 4. É verdadeira, pela Propriedade da mediatriz do Tema O número de diagonais dum 1-Gono convexo é igual a d = n(n ) = 1(1 ) = , então, pelo Teorema 1 do Tema, tal triângulo não existe. 7. É verdadeira, pelo Teorema 14 do Tema. 8. Dois triângulos equiláteros, um com lado 1 cm e outro com lado cm não são congruentes, mas têm todos ângulos de medida Pela uma propriedade de paralelogramo, os ângulos, adjacentes ao mesmo lado são suplementares. Então, o losango com um ângulo recto, tem todos os ângulos rectos, o que signica que esse losango é um quadrado. 10. Considerando um lado, que intersecta dois lados paralelos, temos dois ângulos internos do mesmo lado da secante. Esses ângulos, segundo Teorema do Tema 1, são suplementares. Observação: É apresentada a resolução do Exercício para ariantes, 4, 6,.... Para ariantes 1,, 5,... a resolução é análoga, com resposta,,,,,,,,,.

3 . ( valores) Seja dado um pentágono regular ABCDE. Calcule as medidas dos ângulos internos do ABD. A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono é S i = (n ) = S i = (5 ) = 540 0, então cada ângulo interno no pentágono mede β = S i 5 = O BCD é isósceles. Designando por α a medida dos ângulos congruentes adjacentes à base, temos α + β = α = α = 6 0. Então, DBA = ĈBA DBC = β α = = 7 0. Analogamente demonstra-se que DAB = 7 0. O terceiro ângulo do ABD mede ÂDB = ( DBA DAB) = = 6 0. Então, os ângulos do ABD medem 6 0, 7 0 e 7 0.

4 4. ( valores) Demonstre a seguinte propriedade: se duas alturas de um triângulo são congruentes, então este triângulo é isósceles. Hipótese: ABC, AD e BE são alturas, AD = BE. Tese: ABC é isósceles. Demonstração: Consideremos os ADB e BEA. Estes triângulos são rectângulos, com hipotenusa comum e com dois catetos congruentes: AD = BE. Segundo teorema de Pitágoras, os catetos AE e BD também são congruentes. Pelo Critério (l.l.l), ADB = BEA. Então, EAB = DBA. Temos que ABC tem dois ângulos congruentes. Pelo Teorema 6 do Tema, este triângulo tem dois lados congruentes. Isto signica, segundo denição, que ABC é isósceles. 4

5 5. ( valores) Na gura, o trapézio ABCD é isósceles. No lado AB é escolhido ponto P de modo que seja CP = BC. Demonstre que o quadrilátero AP CD é um paralelogramo. Hipótese: AB CD, AD = BC e BC = CP. Tese: AP CD é um paralelogramo. Demonstração: P CB é isosceles, logo, CP B = B. De outro lado, pela propriedade do trapézio isósceles, A = B. Temos CP B = A. Observamos, que CP B e A são correspondentes (a recta AB intersecta as rectas AD e CP ). Pelo teorema reciproca do Teorema do Tema 1 sobre ângulos correspondentes, AD CP. Então, no quadrilátero AP CD tem lugar AD CP e AP CD (a última propriedade implica da denição do trapézio). Pela denição, AP CD é um paralelogramo. 5

6 6. (4 valores) Seja dado o paralelogramo ABCD, sendo que o ângulo ADB é recto, CD = 10 cm e BC = 6 Designemos por O o ponto de intersecção das diagonais, por E o ponto médio do lado AD e por M o ponto de intersecção dos segmentos BE e AC (veja a gura). Determine as medidas dos lados do EOM. O ponto O é ponto médio da diagonal BD, então EO é linha média do ADB. Usando Teorema 16 do Tema e a propriedade AB = CD do paralelogramo, obtemos EO = 1 AB = 1 CD = 1 10 = 5 O ADB é rectângulo, sendo que a hipotenusa AB tem medida AB = CD = 10 cm e o cateto AD tem medida AD = BC = 6 Usando teorema de Pitágoras, obtemos AD + BD = AB 6 + BD = 10 BD = 10 6 = 64 BD = 8 O ADO também é rectângulo, sendo que AD = 6 cm e DO = 1 BD = 4 Usando teorema de Pitágoras obtemos AD + DO = AO AO = = 5 AO = 5 = 1 Observamos que M é ponto de intersecção das medianas AO e BE do ABD. Pelo Teorema 1 do Tema, MO = 1 AO = 1 Do EDB rectângulo onde ED = 1 AD = 1 BC = 1 6 = cm e BD = 8 cm, obtemos segundo Teorema de Pitágoras ED + BD = BE BE = + 8 = 7 BE = 7 Pelo Teorema 1 do Tema obtemos Então, EO = 5 cm, MO = 1 EM = 1 BE = 7 cm, EM = 7 Observação: É apresentada a resolução do Exercício 6 para ariantes, 4, 6,.... Para ariantes 1,, 5,... a resolução é análoga, com resposta EO = 5 cm, MO = 1 cm, EM = 7 6 Prof. Doutor Yu. Nepómnyashchikh 6

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