Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares.

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1 GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação - 01/ Questão 1. (pontuação: ) Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida do ângulo DEF. As retas perpendiculares CD e GH cortam-se em J. A reta BE encontra GH em L como mostra a figura abaixo. Como BE é paralela a CD então BE é perpendicular a GH. Na figura, os ângulos de vértices J e L são retos. Sejam: DEF = θ, LEF = α e DEB = β. Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108 o. Como BE é paralela a CD e CDE = 108 o então β = 180 o 108 o = 7 o. No quadrilátero ELGF temos α = 60 o 90 o 108 o 108 o = 54 o. Assim, θ = 180 o 7 o 54 o = 54 o. Outra solução: A soma dos ângulos internos do pentágono EDJGF é 540 o e todos os seus ângulos são conhecidos, com exceção de θ. Somando todos eles, θ + (180 o 108 o ) + 90 o + (180 o 108 o ) + (60 o 108 o ) = 540 o, donde θ = 54 o.

2 Questão. (pontuação: ) Em uma circunferência de centro O e raio R as cordas AB e CD são perpendiculares em P, interior à circunferência. Seja CE um diâmetro da circunferência. (0,5) a) Mostre que os triângulos CP A e CBE são semelhantes. (0,5) b) Mostre que os arcos AD e EB são congruentes. (1,0) c) Mostre que P A + P B + P C + P D = 4R. a) Como CE é diâmetro, o ângulo CBE é reto. Os ângulos inscritos BEC e BAC são iguais pois subtendem o mesmo arco CB. Assim os triângulos CP A e CBE são retângulos e possuem um mesmo ângulo agudo. Logo, são semelhantes. b) Como os os triângulos CP A e CBE são semelhantes, então os ângulos ACP e ECB são iguais. Assim, são também iguais os arcos subtendidos AD e EB. c) Arcos iguais subtendem cordas iguais. Então, AD = BE. Assim, CB + BE = CE CB + AD = (R) Rearranjando os termos, P B + P C + P A + P D = 4R P A + P B + P C + P D = 4R

3 Questão. (pontuação: ) O triângulo ABC tem área igual a 1. O ponto M é médio de AB e o ponto D é médio de CM. A reta AD intersecta o lado BC em E. (1,0 a) Calcule a área do quadrilátero MBED. (1,0) b) Considerando AB = 1 e CM perpendicular a AB, determine o cosseno do ângulo ACB. Usaremos o símbolo (X) para denotar a área da figura X. Traçamos MF paralela a AE. Como M é médio de AB então F é médio de EB. Como D é médio de AM então E é médio de CF. Então, CE = EF = F B. Vamos calcular a área do triângulo CDE. (CDE) (CMB) = CD CM CE CB = 1 1 = 1 6 A mediana de um triângulo divide esse triângulo em dois outros de mesma área. Por isso (CMB) = 1 (CDE) = = 1 1. Logo, (MBED) = = 5 1. e, portanto, b) Se ABC tem área igual a 1 e AB = 1, então a altura CM é igual a, CA = CB = + ( 1 ) = Seja θ = ACB. A lei dos cossenos no triângulo ABC relativa ao vértice C é AB = CA + CB.CA.CB.cos θ. Substituindo e fazendo as contas, temos: cos θ =

4 Questão 4. (pontuação: ) O prisma triangular reto ABC DEF tem arestas laterais AD, BE e CF. Sabe-se que BAC = 90 o, AB = BE = e AC = 4. (0,5) a) Calcule cosseno do ângulo entre as retas AF e BE. (0,5) b) Determine o comprimento da perpendicular comum entre as retas AF e BE. (0,5) c) Determine a posição do centro da esfera circunscrita ao prisma. (0,5) d) O ponto G é médio da aresta CF. O plano AEG dividiu o prisma em duas partes. Mostre que essas duas partes têm mesmo volume. a) Como AC = 4 e CF = então AF = 5. O ângulo entre as retas AF e BE é o ângulo F AD = α. Como o prisma é reto, o ângulo ADF é reto e, portanto, cos α = AD AF = 5 b) O ângulo ABE é reto porque o prisma é reto. Como os ângulos F CA e CAB são retos então, pelo teorema das três perpendiculares, o ângulo F AB é reto. Logo, AB é a perpendicular comum entre AF e BE. Então, AB = unidades. c) Basta encontrar o ponto equidistante de todos os vértices do prisma. Sejam M e N os pontos médios de BC eef, respectivamente. O ponto O, médio de MN é o centro da esfera circunscrita ao prisma. De fato, como o triângulo ABC é retângulo em A temos MA = MB = MC = NF = NE = ND. Assim, os triângulos OMA, OMB, OMC, OND, ONE e ONF são todos congruentes. Logo, O é equidistante de todos os vértices do prisma.

5 d) O volume do prisma é V = (ABC).BE =.4. = 18 O sólido ABCGE é um tronco de prisma. Seu volume é CG + BE V 1 = (ABC). = 6. + = 9 Como V 1 = V, o plano AEG dividiu o prisma em duas partes de mesmo volume. Obs: Esse fato ocorre em qualquer prisma triangular. Se S é a área da base e h a altura, o volume da parte de baixo é V 1 = S. h + h = S. h = S.h = V Questão 5. (pontuação: ) O trapézio ABCD de bases AB e CD, representado na figura abaixo, gira em torno do eixo e que passa por A e é perpendicular a AB gerando o sólido de revolução R. Dados AB = 4, CD = e BC = AD =. (1,0) a) Calcule o volume de R. (1,0) b) Calcule a área total de R. Seja E a interseção da reta CD com o eixo. Como o trapézio é isósceles, a distância de D ao eixo é DE = 1. No triângulo retângulo AED, AE = h =.

6 O sólido de revolução R é um tronco de cone de altura h com bases de raios AB e EC, subtraído de um cone de altura h e base de raio ED. a) O volume do sólido R é V = π ( ) 1 π 1 = 4π b) Calcularemos a área gerada por cada segmento. Área gerada por AB (círculo). Área gerada por CD (coroa circular). S 1 = π 4 = 16π Área gerada por AD (superfície lateral de um cone). S = π π 1 = 8π S = π 1 = π Área gerada por BC (superfície lateral de um tronco de cone). S 4 = π (4 + ) = 1π A área total de R é a soma das áreas geradas pelos lados do trapézio ABCD. Assim, S = S 1 + S + S + S 4 = ( )π = 48π

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