Geometria 8 Ano A/B/C/D Prof. Israel Lopes

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1 Geometria 8 Ano A/B/C/D Prof. Israel Lopes

2 QUADRILÁTEROS (Cap. 18) A presença da forma dos quadriláteros é muito frequente em situações do dia a dia, como em caixas, malas, casas, edifícios etc. Vejamos!

3 Elementos de um quadrilátero Observando o quadrilátero AEOU da figura, podemos destacar: Vértices: A, E, O, U. Ângulos internos: Â, Ê, Ô e Û. Lados: AE, EO, OU, UA. Diagonais: AO e EU. É importante destacar outros vértices, lados e ângulos internos. Nesse quadrilátero, temos: Vértices opostos: A e O ; E e U. Lados opostos: AE e OU ; AU e EO. Ângulos internos opostos: Â e Ô ; Ê e Û. Ângulos consecutivos: Â e Û ; Ô e Ê... Perímetro É a soma de todos os lados AE + EO + OU + UA.

4 Somas dos Ângulos Internos de um quadrilátero Experiência: Desenhe um quadrilátero ABCD e trace a diagonal BD. O que vocês observam? Vocês poderiam dizer qual é a soma dos ângulos internos desse quadrilátero, só observando o que fizeram? Como obtemos dois triângulos, podemos dizer que: Soma dos ângulos internos é igual a 360º. Exemplo: 1) Página 225. Questão 5: a) 2) Página 225. Questão 7: a)

5 Trapézios Trapézios são quadriláteros que tem dois lados paralelos. Observe os seguintes quadriláteros: R S J. L M Q. U RS // TU T N JL // NM M N P RS é a base menor; JL é a base menor; NP // MQ TU é a base maior. MN é a base maior. JN MN Eles são trapézios! No trapézio MNPQ, os lados não paralelos são congruentes, por isso ele é chamado de trapézio isósceles. No trapézio JLMN, existem dois ângulos retos, por isso ele é chamado trapézio retângulo. No trapézio RSUT, todos os lados são diferentes, por isso é chamado de trapézio escaleno.

6 Paralelogramos Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Observe os seguintes quadriláteros: M E F A B R S N Q D C U T H G P AB // CD RS // TU EF // GH AD // BC MQ // NP e MN // PQ RU // ST EH // FG

7 Losango É um quadrilátero cujos quatro lados são congruentes. Veja: AB = BC = CD = DA Obs.: um losango também é um paralelogramo.

8 Retângulo É um quadrilátero cujos quatro ângulos são retos. Veja: A = B = C = D = 90 Obs.: um retângulo também é um paralelogramo.

9 Quadrado É um quadrilátero cujos quatro lados são congruentes e cujos quatro ângulos são retos. Veja: AB = BC = CD = DA, por isso todo quadrado é um losango. A = B = C = D = 90, por isso todo quadrado é um retângulo.

10 Capítulo 19: Propriedades dos Quadriláteros Notáveis. A a O b B Paralelogramo d c D C Propriedades dos ângulos e dos lados Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. a = c e b = d Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes. AB = DC e AD = BC Em um paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. AO = OC e BO = OD Obs.: as propriedades vistas são válidas também para o retângulo, losango e quadrados, pois são casos particulares de paralelogramos

11 Retângulo Todo retângulo é um paralelogramo. Por isso, em qualquer retângulo: A B.... D C Ângulos opostos são congruentes Lados opostos são congruentes Diagonais cortam-se ao meio Em todo retângulo as diagonais são congruentes. AC = BD Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

12 Losango Todo retângulo é um paralelogramo. Por isso, em qualquer retângulo: d a c Ângulos opostos são congruentes Lados opostos são congruentes Diagonais cortam-se ao meio b Em todo losango as diagonais são perpendiculares. Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.

13 Conclusões: Em todo paralelogramo: os lados opostos são congruentes; os ângulos opostos são congruentes; as diagonais cortam-se ao meio; os ângulos consecutivos são suplementares. No retângulo (além das propriedades acima): as diagonais são congruentes. No losango (além das propriedades acima): as diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. No quadrado (além das propriedades acima): as diagonais são congruentes, perpendiculares entres si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

14 Exemplo: No losango ABCD, determine: A y D B x x+37 a) as medidas x e y indicadas; b) as medidas dos quatro ângulos do losango. IV) Logo, as medidas dos ângulos do losango são: 106º, 106º, 74º e 74º. C I) Sabendo-se que as diagonais do losango são perpendiculares, então: x + 37º = 90º x = 53º. II) Sendo as diagonais bissetrizes dos ângulos, temos: ângulo B = 2x; ângulo B = 106º. III) Sabendo-se que A + B + C + D = 360º e os ângulos opostos são congruentes, temos: 106º + 106º + 2y + 2y = 360º 4y = 360º - 212º 4y = 148º y = 37º

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